譚啟軍（重慶房地產(chǎn)職業(yè)學院，重慶 401331）

?

帶積分邊界條件的四階常微分方程邊值問題

譚啟軍
（重慶房地產(chǎn)職業(yè)學院，重慶 401331）

摘要：本文應用不動點定理研究一類非局部四階邊值問題正解的存在性和非存在性[1].以往大部分文章中的四階問題邊值條件是局部的，本文研究含有一個系數(shù)的非局部邊值問題正解的存在性和非存在性.

關鍵詞：邊值問題；積分邊界條件；不動點定理；正解；四階常微分方程

0　引言

本文研究如下邊值問題：

其中，ω在t=0和（或者）t=1處奇異[2]，f∈C[0,1]×[0,+∞)×(-∞,0],[0,+∞)],g,h∈L1[0,1]非負.

假設滿足如下條件：

（H2）f∈C([0，1]×[0，+∞)×(-∞，0]，[0，+∞));

（H3）g，h∈L1[0,1]非負，μ∈[0，a)，v∈[0，a).其中

J=[0,1],E∈C2[0,1].

顯然，(E，||x||2)是一個Banach空間，簡記為E.

令K是E中的錐，

Kr={x∈K∶||x||2≤r},鄣Kr={x∈K∶||x||2=r},Kr,R={x∈K∶r<||x||2≤R}.

其中，0

1　預備知識

引理1假設條件(H0)和(H3)成立，且μ≠a，v≠a.則對任意的y∈C[0，1]，x是如下邊值問題的解：

當且僅當

其中

其中σ=a2+2abτ.

1.1首先證明必要性

令z=x''則邊值問題（2）可變?yōu)?/p>

上式通過反復計算可得

類似地，由

得

類似地，式（8）代入式（9）得

因此，必要性已證.

1.2下證充分性

根據(jù)H1的定義以及式（10），z(s)是如下邊值問題的解：

類似地，式（11）蘊含著x(t)是如下邊值問題的解

由（12）以及（13）式，充分性得證.

命題1假設條件(H0)和(H3)成立，且μ≠a，v≠a。則有

在E中構造錐K:

易知K是E的閉凸錐，且

定義算子T∶C2[0,1]→C2[0,1]∶

記

由式（20）可知H(t，s)有如下性質(zhì).

命題2假設條件(H0)和(H3)成立，且μ≠a，v≠a.有

引理2假設條件(H0)-(H3)成立.如果x∈C2[0,1]積分方程

引理3假設條件(H0)-(H3)成立.則T(k)∪K且T∶K→K全連續(xù).

2　主要定理

下面給出幾個記號

其中β表示0或者∞，且

定理1Ω1和Ω2是實Banach空間E中的有界開集，，P是E中的錐，全連續(xù).如果下列條件滿足

定理2假設條件(H0)-(H3)成立.邊值問題（1）至少有一個正解[3]，當且僅當下列條件之一成立

其中，λF(f0+ε1)≤1

這意味著

其中ε2>0，滿足(f0-ε2)∧≥1

因此

這意味著

定理3假設條件(H0)-(H3)成立，且則邊值問題（1）沒有正解.

證明假定x是邊值問題（1）的一個正解，則對任意0≤t<1得x∈K，x(t)>0

并且

因此，對任意t∈J，x∈K,x(t)>0得

這是一個矛盾[6].故定理成立.

類似地，可得出以下結論：

定理4假設條件(H0)-(H3)成立，且λ∧f(t,x,y)>|x|+|y|,坌t∈J,坌|x|+|y|>0

則邊值問題（1）沒有正解.

此定理的證明類似于定理（26）的證明，故證明細節(jié)省掉.

參考文獻:

[1]馬如云.非線性常微分方程非局部問題[M].北京：科學出版社，2004.

[2]馮美強，張學梅，葛渭高.四階微分方程奇異邊值問題的正解[J].應用數(shù)學學報，30（2007）452-461.

[3]李永祥.四階非線性邊值問題解得存在性與上下解解法[J].數(shù)學物理學報，2003(23):245-252.

[4]郭大鈞，孫經(jīng)先，劉兆理.非線性常微分方程泛函方法[M].濟南：山東科學出版社,2005.

[5]李永祥.四階邊值問題正解的存在性和多解性[J].應用數(shù)學學報，2003（26）：109-116.

[6]葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京：科學出版社，2007.

責任編輯李燕

中圖分類號：O175

文獻標識碼：A

文章編號：1674－5787（2016）01－0141－06

DOI：10.13887/j.cnki.jccee.2016（1）.40

收稿日期：2015-11-12

作者簡介：譚啟軍（1987—），男，重慶房地產(chǎn)職業(yè)學院，助教，研究方向為數(shù)學建模。

Boundary Value Problems of Fourth-Order Ordinary Differential Equations with Integral Boundary Conditions

TAN Qijun
(Chongqing Real Estate College,Chongqing 401331,China)

Abstract:The author uses the fixed point theorem to study existence and non-existence of positive solutions for a class of non-local fourth-order boundary value problems.In the past,the fourth order boundary problem value conditions are partial in most of the articles,but this paper contains a coefficient’s nonlocal boundary value problem’s positive solution existence and non-existence.

Keywords:boundary value problem;integral boundary condition;fixed point theorem;positive solution; fourth order ordinary differential equation