陳小麗

摘 要： 本文緊扣住數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用這條主線，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)了數(shù)形結(jié)合的相關(guān)應(yīng)用及應(yīng)用技巧，闡述了運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決一些抽象數(shù)學(xué)問題.

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 研究圖像 幾何方法

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題都能簡化，且解法簡單，讓人對(duì)所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)有更深的認(rèn)識(shí)和理解.恩格斯曾說：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué).”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義，以形助數(shù)，以數(shù)輔形，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡.

數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透.在近年高考試題中，若能巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，可收到意想不到之效.因此掌握了數(shù)形結(jié)合思想方法，不僅能提高數(shù)形轉(zhuǎn)化的能力，還可以提高思維遷移能力，下文結(jié)合例子說明數(shù)形結(jié)合思想在解題中的靈活應(yīng)用.

一、已知集合關(guān)系利用數(shù)軸求參數(shù)的范圍

這是數(shù)形結(jié)合思想在集合運(yùn)算中的滲透，解決此類題目的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確利用數(shù)軸表示相關(guān)的集合，要根據(jù)端點(diǎn)值的取舍情況正確選用實(shí)心點(diǎn)或空心點(diǎn)標(biāo)注對(duì)應(yīng)集合，從而求出參數(shù)的范圍.要盡量避免因區(qū)間端點(diǎn)值的取舍錯(cuò)誤造成參數(shù)取值范圍的漏解或增解的情況.

例1：已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，且A∪B=A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：由A∪B=A得B？哿A，則有B=？覫或B≠？覫，因此對(duì)集合B而言要分類討論.針對(duì)每一類情況，在討論參數(shù)范圍時(shí)我們均需要采用數(shù)軸這個(gè)工具實(shí)現(xiàn)對(duì)集合的準(zhǔn)確把握，所以本道題同時(shí)滲透進(jìn)了數(shù)形結(jié)合思想.

解答：∵A∪B=A，∴B？哿A，由條件知A≠？覫，∴B=？覫或B≠？覫

當(dāng)B=？覫時(shí)，得m+1>2m-1，解得m<2.

當(dāng)B≠？覫時(shí)，觀察下圖，由數(shù)軸可得m+1≤2m-1-2≤m+12m-1≤5，解得2≤m≤3.

綜上所述，m的取值范圍是m≤3.

總結(jié)：已知集合關(guān)系求參數(shù)范圍問題的基本步驟：第一步一般是解不等式；第二步是畫出數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸列出不等式（組）；第三步是解不等式求出所求參數(shù)的范圍.

二、利用數(shù)形結(jié)合思想求函數(shù)最值

三、利用數(shù)形結(jié)合思想求與向量相關(guān)的最值問題

平面向量本身兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量最值、范圍問題的基本思想是數(shù)形結(jié)合.這類試題的基本類型是根據(jù)給出的條件求某個(gè)量的最值、范圍，如一個(gè)向量模的最值、兩個(gè)向量夾角的范圍等.一般可通過建系或者向量之間的轉(zhuǎn)化兩種方法來實(shí)現(xiàn).

數(shù)形結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面上，其類型和方法還有很多，這里不再一一列舉.數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是將圖像作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的簡捷性和靈活性.這就要求在平時(shí)教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生由數(shù)思形，以形助數(shù).適時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，不僅可將復(fù)雜題目簡單化，更能幫助學(xué)生不斷提高解題的靈活性與準(zhǔn)確性.