王 淑 萍

(中國石油大學(xué)(北京)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，北京 102249)

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一階變時滯微分方程解的零點間距上界估計

王 淑 萍

(中國石油大學(xué)(北京)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，北京 102249)

給出了一階變時滯微分方程的零點存在條件，從而相應(yīng)地給出該方程解零點震蕩的條件以及零點間距的上界估計，給出了關(guān)于方程零點分布更廣泛的結(jié)論.

零點間距；震蕩；變時滯

1　引　論

本文給出下述一階變時滯微分方程的零點存在的判定條件，從而進(jìn)一步得到該微分方程零解震蕩的判定條件以及零點間距的上界估計.

考慮如下變時滯微分方程

x′(t)+p(t)x(τ(t))=0,t≥t0

(1)

關(guān)于時滯微分方程的零解震蕩性以及零點間距上界的估計，到目前為止這方面的著述頗豐[1-13]，具體的內(nèi)容綜述，筆者在這里不再贅述.

至于本文所涉及的研究內(nèi)容，最新的進(jìn)展可追溯到HassanA·El-Morshedy，F(xiàn)aroqA.Baker，LynnErbe，HongwuWu等諸多文獻(xiàn)中，較為開端性的工作可以從B·G·Zhang[2]和YongZhou[4]的文獻(xiàn)中讀到，El-Morshedy[8]給出了一階常時滯微分方程的零點分布的諸多性質(zhì)；之后HongwuWu等[6，9，10]給出了更多的推廣以及一些新的結(jié)論；可以在文獻(xiàn)[11]中看到他們在中立型泛函微分方程零解分布方面的結(jié)果，文獻(xiàn)[12]的結(jié)果對于一階變時滯微分方程的零點分布作了更進(jìn)一步的推廣，無疑結(jié)果是令人興奮的.本文是對El-Morshedy[8]一些結(jié)論的推廣，而其中的證明思想正是源于上述的諸多文獻(xiàn).

本文會多處用到τ(t)的逆函數(shù)，為了簡明陳述文中的結(jié)論，引入下面的記號：

τ0(t)=t

τ-i(t)=τ-1(τ-(i-1)(t)),i=1,2,…

我們定義d(x)表示相鄰零點間的最大距離.

2　主要結(jié)論

定理1：設(shè)x(t)是方程在[t0,∞)的解，假設(shè)T≥t0，并且S∈(τ-2(T),τ-3(T))，如果

(2)

那么區(qū)間(T,S]至少包含x(t)的一個零點，進(jìn)一步，如果對于所有的t≥t0，

(3)

那么方程存在震蕩解x(t).

證明：我們假設(shè)對于t∈(T,S)，x(t)≠0 ，S∈(τ-2(T),τ-3(T))，不失一般性，我們不妨設(shè)t∈(T,S)，x(t)>0于是

x(τ(t))>0,t∈(τ-1(T),S)，

并且

x′(t)=-p(t)x(τ(t))≤0，t∈(τ-1(T),S).

因此，x(τ(t))在區(qū)間(τ-2(T),S)上非增，于是我們可以得到：

因為 x(τ-2(T))≤x(τ(S))，

因此0

推論1：設(shè)x(t)是方程在[t0,∞)的解，假設(shè)t≥t0，并且St∈(τ-2(t),τ-3(t)]，如果

(4)

那么d(x)≤supt≥t0(St-t).

注：如果我們令τ(t)=t-τ，上述結(jié)論便簡化為文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果，顯然上述結(jié)論是對文獻(xiàn)[8]中定理2.2給出結(jié)論的推廣.在推論1中，如果我們用τ-n(t)代替其中的t可得到下述結(jié)論

推論2：設(shè)x(t)是方程在[t0,∞)的解，假設(shè)t≥t0，并且St∈(τ-n-2(t),τ-n-3(t)]，如果

(5)

那么d(x)≤supt≥t0(St-τ-n(t)).

下面定義序列{Qn(t)}滿足

Q0(t)=p(t),t≥T

定理2：設(shè)n為一正整數(shù)并且有下式成立

(6)

那么方程在(T,S)上有零解.進(jìn)一步，對于任意，如果

(7)

那么方程存在震蕩解，且零點間的距離為

d(x)supT≥t0(St-t),St∈(τ-3n-2(t),τ-3n-3(t)).

證明：不失一般性，對于T≥t0不妨設(shè)在(T,S)上x(t)>0為方程的任一解，S∈(τ-3n-2(T),τ-3n-3(T))，于是我們得到：

容易看出

t∈(τ-2(T),S).

于是

迭代n次后我們得到

yn(S)-yn(τ-3n-2(T))+

S∈(τ-3n-2(T),τ-3n-3(T))

進(jìn)而得到

yn(S)-yn(τ-3n-2(T))+

-yn(τ-3n-2(T))≥-y(τ(S))

于是

由yn(S)>0知上式不成立，從而推斷出區(qū)間(T,S)上至少有x(t)的一個零點.相應(yīng)地，我們可以得到解的震蕩性以及零點間距的上界.

設(shè)x(t)是方程(1)在[t0,∞)上的解并且在區(qū)間[T0,T]上大于0，這里T0≥t0,T≥τ-3(T0)，并且我們假設(shè)

(8)

我們?nèi)菀字纗′(t)<0,t∈[τ-1(T0),T].因此，當(dāng)t>τ-3(T0)時，x(τ(s))在區(qū)間[τ(t),t]上遞減，且有

從而有

進(jìn)一步，當(dāng)t≥τ-4(T0)時，我們有

我們看到式(1)滿足

兩邊積分可得到

從而得到

通過歸納法可證明：

(9)

接下來我們定義序列{Pn(s)},s∈(τ(t),t)如下

定理3：設(shè)有正整數(shù)n滿足

(10)

那么方程(1)有震蕩解，且d(x)≤supT0≥t0(τ-n-2(T0)-T0).

證明：假設(shè)x(t)>0，t∈[T0,T]且T>τ-n-2(T0),T0≥t0.首先，我們?nèi)菀椎玫较率?/p>

利用歸納法可知

另一方面，由式(9)知

于是

從而得到

于是有

x(t)-[1-

(11)

對于所有的t∈[τ-n-2(T0),T]，式(11)與我們給出的假設(shè)矛盾，結(jié)論成立.

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Upper bounds estimation of distances between consecutivezerosoffirstorderdifferentialequationwithvariabledelay

WANGShu-ping

(China University of Petroleum (Beijing), Science Department of Mathematics, Beijing 102249，China)

Inthispaper,aconclusionfortheexistenceofzerosoffirstorderdifferentialequationwithavariabledelaywasgiven,provedatheoremontheoscillationofzerosofsuchequationsandanestimationofdistancebetweenconsecutivezeroswillbeproved.Ageneralconclusiononthedistributionofzerosofsuchequationswasgiven.

distancebetweenconsecutivezeros;oscillation;variabledelay

2015-09-09.

國家自然科學(xué)基金(11071257)；中石油創(chuàng)新基金項目(2011D-5006-0307)

王淑萍(1989-)，女，碩士，研究方向：微分方程與動力系統(tǒng).

O175

A

1672-0946(2016)04-0473-03