吳麗英　劉書閩

[摘 要]

算術思維是程序性的，著重的是利用數(shù)量的計算求出答案的過程，這個過程具有情境性、特殊性、計算性的特點，甚至是直觀的。而代數(shù)思維是結(jié)構性的，側(cè)重的是關系的符號化及其運算，是無法依賴直觀的。義務教育階段的數(shù)學課程是“培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎課程，具有基礎性、普及性和發(fā)展性”。我們在教學中應當有一種整體的觀念。在小學階段的計算教學中，教師應當著眼于學生在中學以后的后續(xù)學習中需要發(fā)展怎樣的數(shù)學思維，絕不能為了讓學生在考試中更加保險地取得高分，而囿于單純的計算訓練。

[關鍵詞]

探索規(guī)律；符號意識；代數(shù)教學

對“代數(shù)思維”和“算術思維”聯(lián)系與區(qū)別的認識是本文的一個重要基礎。筆者認同這樣的觀點，即：從數(shù)學角度看，算術思維是程序性的，著重的是利用數(shù)量的計算求出答案的過程，這個過程具有情境性、特殊性、計算性的特點，甚至是直觀的。而代數(shù)思維是結(jié)構性的，側(cè)重的是關系的符號化及其運算，是無法依賴直觀的。正如壯惠鈴、孫玲在《從算術思維到代數(shù)思維》中所說：代數(shù)思維的培養(yǎng)并不是一個經(jīng)歷足夠多的練習便可跨越的量變過程，而是必須經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模等結(jié)構轉(zhuǎn)換才能實現(xiàn)的質(zhì)變過程。

那么，在小學階段怎樣做，才能為以后代數(shù)學習做好準備？能否找到低年級算術情境中相關聯(lián)的知識內(nèi)容、學習素材，向?qū)W生進行早期代數(shù)思想的滲透？筆者為培養(yǎng)低年級學生的代數(shù)思維在教學上做了新的嘗試，下面結(jié)合具體案例，闡述如下。

一、多維度建構，理解等號的意義

卡彭特等人認為：由算術思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)換標志之一是從等號的程序觀念到等號的關系觀念的轉(zhuǎn)變。這也就是說，如果我們能夠在小學低年級算術教學中一開始就關注“等號的關系性質(zhì)”，那么小學生就可以較早地接觸到代數(shù)思維，并能夠減少他們今后學習代數(shù)的困難。

學生初次接觸等號是與大于號、小于號同時學習的，用來比較兩個數(shù)的大小關系，是作為一種關系引入的，最初是認識“等號的關系性質(zhì)”。在后續(xù)運算學習的過程中，運用等號來連接算式和得數(shù)，此時學生只關注“等號的程序性質(zhì)”，而忽視了“等號的關系性質(zhì)”。所以，在學習運算的過程中，要遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律，選擇合適的時機，理解“等號的關系性質(zhì)”。

（一）性質(zhì)轉(zhuǎn)換，認識“等號的關系性質(zhì)”

在運算學習的初始階段，讓學生體會到等號是一個執(zhí)行運算的過程，等號右邊的數(shù)表示對左邊的算式執(zhí)行運算的結(jié)果，建立等號的程序觀念是必要的。在學生理解了“等號的程序性質(zhì)”之后，可以安排適當?shù)木毩?，讓學生理解“等號的關系性質(zhì)”。我們可以通過以下學習，讓學生建立等號的關系觀念。

案例一：天平的平衡

出示圖1，教師面帶笑容的發(fā)問：“孩子們！要使天平保持平衡，右邊可以放哪兩盤??？”“1個和4個”，一個孩子脫口而出，這個問題似乎過于簡單了?！盀槭裁匆@樣選呢？”那個帶眼鏡的男孩說“左邊有5個，右邊也要放5個，天平兩邊的個數(shù)一樣了，才能夠保持平衡”“說得很好！”得到老師的表揚，舉手的孩子多了起來，“老師，老師，還可以放2個和3個”……“你們能用算式來表示嗎？”“我能，我能……”孩子們個個不甘示弱?！?=4+1”“還可以5=1+4”“真會思考！你們能夠一邊擺一邊寫算式嗎？”（學生動手操作，寫出相應的算式：5=0+5，5=1+4，5=2+3，5=3+2，5=4+1，5=5+0）突然，有個孩子大聲叫了起來：“老師，今天寫的這些算式和咱們以前的不一樣?！苯處煿首鞑幻鳡睿骸澳睦锊灰粯恿?？”“這些算式的得數(shù)都在等號的左邊”“算式在等號的右邊……”孩子們跟著七嘴八舌起來，課堂異常熱鬧。教師順勢將以前所學算式列出來：0+5=5，1+4=5，2+3=5，3+2=5，4+1=5，5+0=5

“你發(fā)現(xiàn)了什么？”舉手的孩子越來越多，“小卷毛”說：“我發(fā)現(xiàn)了等號兩邊的加號和得數(shù)的位置不一樣”，“他們交換了位置”一個梳小辮的女孩補充道，“就像翹翹板上的兩個人換了一下位置”，呵呵，孩子們的語言可真豐富！“真會動腦筋！”教師及時表揚，“還有什么發(fā)現(xiàn)？”“這些算式的得數(shù)都是5”“中間都是用等號連接的”“等號兩邊都是相等的”……教師適時小結(jié)：以前的算式放在左邊，與它相等的數(shù)放在右邊，現(xiàn)在我們把算式放在右邊，與它相等的數(shù)放在左邊，也就是把以前的算式兩邊換了一下位置，不管怎么樣寫，兩邊都是相等的，所以中間都用等號連接。

上述教學過程中，借助于天平的平衡概念建構相等關系，并基于這個相等關系抽象出等式，讓學生把抽象的“等號的關系性質(zhì)”依附著具體的天平的平衡概念而存在。在新舊算式的對比中，學生主動運用“等號的關系性質(zhì)”去重新認識原有的算式，通過把以前學過的算式等號兩邊調(diào)換位置，把“等號的程序性質(zhì)”向“等號的關系性質(zhì)”進行轉(zhuǎn)換，加深對等號“關系性質(zhì)”的理解。

（二）類比遷移，理解“等號的關系性質(zhì)”

等號是一個關系符號，在抽象出等號的“關系性質(zhì)”后，還需要讓學生再基于原有關系符號體系“>、<、=”來認識等號的“關系性質(zhì)”，把運用關系符號描述數(shù)與數(shù)之間大小關系的經(jīng)驗，主動遷移到描述算式與數(shù)以及算式與算式之間的大小關系中來，從另一個維度加深對等號“關系性質(zhì)”的認識。我們可以在“10以內(nèi)的加法和減法”的學習過程中，穿插著進行以下兩個層次的練習，第一層次：6○4+2，4+5○8，2+4○5；第二層次：4+5○6+2，2+3○9-4，4-0○2+2。通過以上練習，讓學生理解關系符號不僅僅可以用來描述數(shù)與數(shù)之間的大小關系，還可以描述數(shù)與算式、算式與算式之間的大小關系，豐富學生對關系符號意義和作用的認識，加深學生對等號“關系性質(zhì)”的理解。

二、探索規(guī)律，發(fā)展學生的符號意識

《美國學校教育的原則和標準》指出：“在孩子們正式入學之前，他們就已經(jīng)開始形成關于模式、函數(shù)、代數(shù)的概念了。他們學習含有重復節(jié)拍的歌曲、韻律歌謠以及有規(guī)律的詩歌。這種認識、比較和分析模式的能力，是兒童智力發(fā)展的重要組成部分?！薄澳Ｊ绞菍W生們認識規(guī)律并整合自己世界的方法?！边@些觀點給我們的寶貴啟示是：在小學低年級應當為兒童創(chuàng)造更多的識別模式、探索規(guī)律的機會，發(fā)展他們的代數(shù)思維。

（一）用符號表示規(guī)律

案例二：重復的奧妙（新北師版二年級下冊）

孩子們很輕松地將主題圖里呈現(xiàn)的規(guī)律找了出來（隊伍：男、女、男、女……燈籠：大、小、大、小……氣球：黃、黃、紅、黃、黃、紅……彩旗：紅、紅、藍、紅、紅、藍……花盆：綠、綠、紅、紅、綠、綠、紅、紅……）

教師試探性地問“你們能把這些規(guī)律進行分類嗎？”“分類？”孩子們好像沒有想到老師會提這樣的問題，茫茫然不知所措。教師趕緊提示“這些規(guī)律是怎么重復的？”“怎么重復？……”思考片刻，一個穿紅衣服的男孩怯怯舉起了手，“我認為燈籠的規(guī)律和隊伍的規(guī)律是一樣的……”教師像抓住了救生圈，“怎么一樣了？”“都是一男一女，一大一小。”經(jīng)過紅衣男孩的提示，同學們似乎有點明白了，“我知道了！”一個花穿格子衣服的女孩說：“他們都是兩個兩個不斷重復的?！苯淌依锿蝗幌裾ㄩ_了花，舉手的孩子瞬間多了起來。“氣球的規(guī)律和彩旗的一樣，都是3個3個不斷重復的，還有彩旗的形狀也是3個3個重復的”，小平頭補充道?！盎ㄅ璧念伾王r花的排列一樣，都是4個4個重復的”……

當孩子們用自己喜歡的方式來表示這些規(guī)律后，教師繼續(xù)試探：“1、2、1、2……它除了能表示燈籠的規(guī)律，還可以表示什么規(guī)律？”這個問題似乎又有點難，一下子還沒人接過話茬。過了一會兒，一個“羊角辮”弱弱地說：“白天、黑夜、白天……”哈哈，話匣子終于打開了，教師暗暗開心?！癆、A、B、A、A、B還可以表示什么規(guī)律呢？”“音樂節(jié)奏嘭、嘭、嚓……”“舞蹈動作拍手、拍手、跺腳……”天馬行空，五花八門。教師繼續(xù)深挖：“如果給這些排隊的同學編號，你知道第11個是男生還是女生嗎？”教室里沒了聲音……以為孩子們被我難倒了，正在想如何引導他們解決問題，“小眼鏡”開始發(fā)話：“是男生！”“肯定嗎？”回答斬釘截鐵：“肯定、一定是男生?！薄盀槭裁矗俊薄八麄兌际?個2個重復的，單數(shù)都是男生，女生都是雙數(shù)……”，精彩的回答贏來了大家的掌聲，但他似乎還沒有說完，“也可以用算式11÷2=5（組）……1（個）來算，余數(shù)是1，就是第1個，所以是男生”掌聲似乎更熱烈了……“要是給彩旗也編上號，第20面是什么顏色？什么形狀？”……這個問題迎刃而解。

上述教學過程，鼓勵學生對情境圖中的規(guī)律進行分類，滲透分類的思想，在分類的基礎上，引導學生發(fā)現(xiàn)同類規(guī)律的共同特點，通過分類，學生應當認識到，這些有重復模式的物體在形式上是相同的，不同的情境可以具備相同的數(shù)學性質(zhì)。如：燈籠的規(guī)律、隊伍的規(guī)律、白天黑夜的規(guī)律……，都可以描述為具有AB、AB、AB的形式，有助于學生了解代數(shù)的威力。在給規(guī)律分類的基礎上，教師有意識地引導學生用符號或字母來表示規(guī)律，幫助學生認識到通過字母或符號的表示，規(guī)律的呈現(xiàn)形式更加簡潔，還能表示多個物體的規(guī)律，將自然語言描述規(guī)律用符號語言予以簡化，并對符號所代表的規(guī)律進行討論，體現(xiàn)符號語言的概括化與一般化，從而體驗到符號化表達所帶來的代數(shù)思考的優(yōu)勢，這有助于培養(yǎng)學生的符號意識和代數(shù)思想，發(fā)展學生的抽象概括能力。第20面旗是什么顏色？假設n表示任意的自然數(shù)，那么彩旗的排列可以用3n+1、3n+2、3n來表示，能表示為3n+1和3n+2的都是紅旗，能表示為3n的是藍旗，對于二年級孩子來說，他們雖然不會用這種方式表示自己的發(fā)現(xiàn)，但他們確實能夠領悟到其中的規(guī)律，并能利用有余數(shù)的除法來解決這類問題，就是用數(shù)學模型（除法）表示和解決問題。從直觀運算的策略發(fā)展到算法運算的策略，是思維水平提高的一次飛躍。為今后學習用字母表示數(shù)做準備。

（二）算式的結(jié)構關系

早期代數(shù)思維并不是一個獨立的教學主題，它跟計算的學習是整合在一起的，可以使計算的學習更加容易而且豐富。

案例三：10的分解與組合

教室中有10位小朋友，請問有幾位男生幾位女生？教師通常會引導學生說出不同的組合，從10位男生0位女生、9位男生1位女生一直到0位男生10位女生，以此完成對10的可能的分解與組合的所有情況。事實上，如果教師能在這樣的教學設計上再深入一點，在列出男生女生組合的所有情況后，引導學生觀察其變化的規(guī)律，幫助學生發(fā)現(xiàn)在總?cè)藬?shù)為10的情況下，有“9+1=8+2=……”這么多種不同的組合。進而，在所有組合的比較中可以發(fā)現(xiàn)，若男生數(shù)量減少了1，則女生數(shù)量必然需要增加1，以確保總?cè)藬?shù)不變。通過這樣的教學，學生比較容易理解加法算式的結(jié)構以及其中數(shù)與數(shù)之間的關系。

師：觀察這些算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)這些算式的得數(shù)都是10。

生：左邊的男生是斜著排的，越來越少，右邊的女生也是斜著排的，越來越多。

生：也就是從上往下看算式，第一個數(shù)每次減少了1，第二個數(shù)每次增加了1，結(jié)果不變。

師：真厲害，你是從上往下看的。想一想：為什么第一個數(shù)減少了1，第二個數(shù)就增加1，得數(shù)卻不變呢？

生：看圖就知道了，一共都是10個，左邊少了1個，右邊就多了1個。

生：如果從下往上看，第一個數(shù)每次增加1，第二個數(shù)每次減少1，結(jié)果不變。

師：其實不管是從上往下看，還是從下往上看，這里變化的關系有什么相同的地方？

生：一個數(shù)增加1，另一個數(shù)減少1，得數(shù)不變。

師：想一想，這其中變化的關系，我們以前遇到過嗎？

生：這個就和以前涂色是一樣的，總的圓圈不變，涂的個數(shù)多了1個，沒有涂的個數(shù)就少了1個。

生：在擺一擺，找數(shù)的分與合中也有這樣的關系，總的個數(shù)不變，左邊多擺了1個，右邊就少擺了1個。

師：真厲害，這里雖然是算式中的變化關系，但是，這種關系和以前發(fā)現(xiàn)的涂色中的關系以及數(shù)的分與合中的關系都是相同的。

上述過程，把操作的結(jié)果與算式一起有序呈現(xiàn)，通過數(shù)形結(jié)合，讓學生加深對“a+b=（a+1）+（b-1）”這個代數(shù)關系和結(jié)構的理解與記憶。通過讓學生回憶過去學習過程中與此相類似的關系，把基于運算意義與基于數(shù)的認識、數(shù)的分解與組合對上述代數(shù)關系和結(jié)構的認識整合起來，加深對上述代數(shù)關系和結(jié)構的理解，形成多元表征。

三、在計算中進行“代數(shù)教學”

澳大利亞有研究者指出，在計算教學中可以使用“皮特的算法”這樣的情境，皮特在計算“32-5”時，使用了“32+5-10”的方法。讓學生評價皮特的算法，找出其中包含的數(shù)學原理，并思考這一方法是否總是有用，這樣的思考是由具體的計算技巧向一般化的數(shù)學模式的升華。這一問題的巧妙之處還在于接下來的變式，讓學生利用“皮特的算法”來計算“73-6”，看學生是將其轉(zhuǎn)化成“73+4-10”還是“73+6-10”，以此來檢驗學生將“32-5”轉(zhuǎn)化為“32+5-10”是已經(jīng)認識到了因為“5+5=10”，所以可以將“-5”轉(zhuǎn)化成“+5-10”?；蛟S只是湊巧，學生對這一模式的認識是減去一個數(shù)，可以加上這個數(shù)再減去10。

可能有教師會說，上述方法無非就是另一種形式的“湊整”，而我們的學生在小學階段的學習中經(jīng)常會用“湊十”“湊百”的方法來使得計算簡便?！捌ぬ氐乃惴ā备皽愓痹谛问缴虾孟裼蓄愃频牡胤剑瑢嵸|(zhì)卻大不相同，湊整更多強調(diào)的是一種技巧，其目的僅是為使計算更加快速，不強調(diào)發(fā)現(xiàn)其中所包含的數(shù)學模式，不是數(shù)學學習中強調(diào)的通式通法，更沒有上升到對算式的結(jié)構與關系的一般化的探討的高度。而以“皮特的算法”為例，早期代數(shù)思維的運用也能使計算簡便，但最終目的不是為了快速計算，而是要幫助學生理解數(shù)的關系與結(jié)構，使學生認識到這些關系與結(jié)構是適合所有數(shù)的，而不僅僅是某些特殊的數(shù)。甚至有些時候，還可以“湊不整”。

案例四：計算100-48

由于被減數(shù)的每一位都要退位，對于低年級學生而言非常煩瑣。但如果學生有這樣的意識，認識到減法算式存在這樣一種結(jié)構，被減數(shù)跟減數(shù)都是可以改變的，只要保持某種關系，差就不會改變。因此可以對該算式進行變換，被減數(shù)與減數(shù)都減少1，變成“99-47”，這里就隱含著一個代數(shù)關系和結(jié)構：a-b=（a-c）-（b-c）。變換之后的算式的差與原算式相同，而且避免了所有的退位。因此，早期代數(shù)思維的培養(yǎng)應該成為小學階段計算教學的最終目標與歸宿，而“湊整”只是其中的某種技巧與應用。

案例五：計算29+56

可以通過29“增加1”，56“減去1”轉(zhuǎn)化為30+55。這里就隱含著一個代數(shù)關系和結(jié)構：a+b=（a+c）+（b-c）。當兒童利用這種策略解決不同的數(shù)字問題時，他就表現(xiàn)了對“等價”和“抵消”等數(shù)字關系的理解。兒童顯示了在不依靠字母符號的情況下也可以實施概括策略。兒童的思考對象是算術的，但思維卻是代數(shù)的，即運用了關系性思維。這種思維反映了兒童數(shù)字運算的代數(shù)性質(zhì)，蘊含著對數(shù)字（下轉(zhuǎn)第62頁）（上接第53頁）語句中數(shù)字的關系和結(jié)構的解釋。如果兒童能夠合理進行這種思維，在遇到用字母表示的變量和代數(shù)式及其關系時，理解就不會那么困難。

義務教育階段的數(shù)學課程“是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎課程，具有基礎性、普及性和發(fā)展性”。因此，在教學中應當有一種整體的觀念。在小學階段的計算教學中，教師應當著眼于學生在中學以后的后續(xù)學習中需要發(fā)展怎樣的數(shù)學思維，絕不能為了讓學生在考試中更加保險地取得高分，而囿于單純的計算訓練。《課標（2011年版）》明確提出要培養(yǎng)學生的數(shù)學基本思想，在小學階段的計算教學中培養(yǎng)學生的早期代數(shù)思維應當成為應有之義，這才能為學生后續(xù)的良好的代數(shù)學習打下堅實的基礎，也使得提升學生的數(shù)學素養(yǎng)并鼓勵他們的創(chuàng)新精神成為可能。

[參 考 文 獻]

[1]曹一鳴，王竹婷.數(shù)學“核心思想”代數(shù)思維教學研究[J].數(shù)學教育學報，2007（1）.

[2]張曉霞，宋敏.小學生關系性思維的測試與分析[J].教育與教學研究，2009（7）.

[3]徐文彬.試論算術中的代數(shù)思維：準變量表達式[J].學科教育，2003（11）.

[4]Max Stephens，王旭.關系性思維中的一些重要關聯(lián)[J].數(shù)學教育學報，2008（5）.

[5]王永.數(shù)學化的視界[M].北京：北京師范大學出版社，2013（11）.

（責任編輯：李雪虹）