王海峰

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將估算作為發(fā)展學(xué)生數(shù)感和應(yīng)用意識、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和推理能力的重要途徑和手段。盡管從宏觀課程的層面來看，估算越來越被重視，但從微觀教學(xué)的層面來看，一線教師對估算教學(xué)仍然存在很多困惑，往往浮光掠影、淺嘗輒止。究其原因，是未能真正理解小學(xué)估算教學(xué)的內(nèi)涵，厘清估算的脈絡(luò)，把握估算教學(xué)的實(shí)施策略。下面筆者以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的估算為例，嘗試對小學(xué)估算教學(xué)的內(nèi)涵、脈絡(luò)與實(shí)施進(jìn)行解讀。

一、 估算教學(xué)的內(nèi)涵

估算主要是指在計(jì)算或者測量中，無法或無須精確計(jì)算時所采用的一種數(shù)學(xué)方法。廣義的估算包括對于計(jì)算的估算、對于數(shù)量的估算以及對于測量的估算，分別簡稱估算（狹義）、估數(shù)、估測。估算是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分。作為教師，不能僅僅將估算作為一種計(jì)算方法教給學(xué)生，其教學(xué)內(nèi)涵還應(yīng)包括通過估算培養(yǎng)數(shù)感、錘煉數(shù)學(xué)思維、提高問題解決的能力。蘇教版教材在設(shè)計(jì)編排估算教學(xué)內(nèi)容時，就充分體現(xiàn)了這三個方面的內(nèi)涵。

1.以數(shù)感培養(yǎng)為目標(biāo)

數(shù)感是課程標(biāo)準(zhǔn)提出的十個關(guān)鍵詞中的第一個，足見其對學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)的重視。蘇教版教材在編排估算教學(xué)內(nèi)容時，將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感作為首要目標(biāo)。例如，一年級上冊安排了數(shù)量估計(jì)的教學(xué)內(nèi)容，在20以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識之后，設(shè)計(jì)了一個實(shí)踐活動，讓學(xué)生抓一把黃豆，估一估大約有多少粒黃豆，再數(shù)一數(shù)，豐富學(xué)生對20以內(nèi)的數(shù)的實(shí)際感受。四年級下冊安排了估計(jì)10 000張紙的厚度、推算1 000 000張紙的厚度等估算活動，豐富學(xué)生對大數(shù)的體驗(yàn)和感知。再如，在學(xué)習(xí)兩、三位數(shù)的乘法時，教材常常要求學(xué)生先估算再計(jì)算，通過估算形成對結(jié)果的初步判斷，再通過精確計(jì)算得出準(zhǔn)確結(jié)果，并與估算結(jié)果進(jìn)行比較。精算與估算緊密配合、相得益彰，在提高學(xué)生對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行估計(jì)的能力的同時，培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感。

2.以錘煉思維為核心

數(shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)所需要的知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。[1]估算是對數(shù)與數(shù)量的體驗(yàn)和感悟，是對運(yùn)算過程的加工改造和對運(yùn)算結(jié)果的預(yù)測估計(jì)的過程。可以說，在估算過程中蘊(yùn)含著復(fù)雜的思維活動，估算對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力具有不可忽視的作用。蘇教版教材充分把握估算的特點(diǎn)，尊重估算目標(biāo)的主觀性、估算策略的開放性、估算結(jié)果的或然性[2]，通過精心設(shè)計(jì)估算教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測、計(jì)算、推理和驗(yàn)證等活動過程，啟迪數(shù)學(xué)思維方式，錘煉數(shù)學(xué)思維能力。例如，教材在三年級下冊安排了這樣一道估算問題。（見圖1）

這個問題對于三年級學(xué)生來說并不簡單，需要經(jīng)歷嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過程才能作出判斷。學(xué)生可以先將48估作50，50×5=250，實(shí)際座位數(shù)應(yīng)該比估算出的250個少一些，而估計(jì)的座位數(shù)250又比村民人數(shù)272要少，由此判斷5輛車不夠坐。在將估算結(jié)果與精確結(jié)果以及實(shí)際需要進(jìn)行比較的過程中，學(xué)生不僅掌握了估算的基本方法，數(shù)學(xué)思維能力也得到了較好的鍛煉。

3.以問題解決為載體

問題解決是課程標(biāo)準(zhǔn)具體闡述的四個方面的目標(biāo)之一，旨在讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法。蘇教版教材在安排估算教學(xué)內(nèi)容時，以問題解決為重要載體，以兒童的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)為生長點(diǎn)，精心選擇學(xué)生喜聞樂見的問題情境，讓學(xué)生在解決問題的過程中增強(qiáng)應(yīng)用能力、發(fā)展創(chuàng)新意識。例如，教材有多處安排了類似下面的問題。（見圖2）

學(xué)生憑借生活經(jīng)驗(yàn)就知道，這個問題不需要筆算出精確結(jié)果，直接估算就能解決。然而這個問題又不只是簡單地估算出結(jié)果就行了，在估算出5輛兒童車的總價(jià)是1 000元后，還要思考因?yàn)榘?10看作200估小了，所以準(zhǔn)確的總價(jià)應(yīng)該比估得的1 000元要多，因此1 000元不夠買5輛兒童車。買2張兒童床的問題與此類似。這里，學(xué)生是以解決實(shí)際問題為目標(biāo)，他們的思維就不會只停留在估算方法與結(jié)果的層面。教材一以貫之地將估算包含在問題解決的過程中，既有利于學(xué)生體會估算的實(shí)際意義與應(yīng)用價(jià)值，也有利于學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)。

二、 估算內(nèi)容的脈絡(luò)

要全面認(rèn)識和把握小學(xué)估算教學(xué)，就必須明確課程標(biāo)準(zhǔn)對于各學(xué)段估算內(nèi)容的具體要求，了解估算在小學(xué)各年級的分布，理清估算在小學(xué)數(shù)學(xué)中的脈絡(luò)，把握前后知識之間的聯(lián)系和區(qū)別。筆者對估算內(nèi)容各學(xué)段的目標(biāo)與要求進(jìn)行了梳理。

第一學(xué)段：1.在生活情境中感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì)；2.能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡單估算，體會估算在生活中的作用；3.能估測一些物體的長度，并進(jìn)行測量；4.會估計(jì)給定簡單圖形的面積。

第二學(xué)段：1.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì)；2.在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算；3.會根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，并會根據(jù)其中一個量的值估計(jì)另一個量的值；4.會用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。

兩個學(xué)段均安排了估數(shù)、估算和估測三個方面的內(nèi)容，隨著學(xué)段的提升，教學(xué)內(nèi)容保持了很好的連貫性，且在難度要求上有所增加。蘇教版教材按照課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于估算教學(xué)的課程目標(biāo)，基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、知識背景和活動經(jīng)驗(yàn)，合理地安排估算內(nèi)容，通盤考慮，分步實(shí)施。筆者對蘇教版教材例題及習(xí)題中與估算（包括估數(shù)和估測）有關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行了細(xì)致地統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)估算內(nèi)容主要集中在二至五年級，在這四個年級教材中出現(xiàn)的次數(shù)占總數(shù)的91.2%。這種分布情況與小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程有關(guān)。在二至五年級，學(xué)生重點(diǎn)學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算以及平面圖形的周長和面積，與之相關(guān)的估算內(nèi)容也就自然而然地伴隨著這些知識的學(xué)習(xí)。五年級之后，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)即將進(jìn)入代數(shù)學(xué)習(xí)階段，因此估算的內(nèi)容也隨之減少。

此外，基于對估數(shù)、估算和估測三個類別出現(xiàn)次數(shù)的統(tǒng)計(jì)，筆者得出，蘇教版教材中估數(shù)內(nèi)容約占20.4%，計(jì)算估算約占57.5%，估測內(nèi)容占22.1%。計(jì)算估算在小學(xué)估算內(nèi)容中占了過半的比例，足見小學(xué)階段對學(xué)生計(jì)算能力培養(yǎng)的高度重視。

三、 估算教學(xué)的實(shí)施

與估算在課程標(biāo)準(zhǔn)中地位的提升相適應(yīng)，估算教學(xué)的實(shí)踐愈來愈受到關(guān)注。而要真正提高估算教學(xué)的實(shí)效，教師須對教材編寫的意圖與特點(diǎn)有很好的理解和把握。對于蘇教版教材估算內(nèi)容的編排與教學(xué)，筆者以為應(yīng)領(lǐng)會以下幾點(diǎn)。

1. 整體與局部統(tǒng)一

估算內(nèi)容的教學(xué)必須以與之相關(guān)的其他教學(xué)內(nèi)容相融合，這也決定了估算內(nèi)容的安排不可能特立獨(dú)行，而要圍繞小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心與主線，將估算內(nèi)容合理穿插其中，逐級遞進(jìn)、螺旋上升，做到整體與局部的有機(jī)統(tǒng)一。

通過對蘇教版教材估算內(nèi)容的梳理和統(tǒng)計(jì)不難發(fā)現(xiàn)，教材對估算內(nèi)容的安排并不是平均分布、平均用力的。一方面，在小學(xué)階段，由于數(shù)與量的認(rèn)識相比數(shù)與量的運(yùn)算要少得多，所以估數(shù)和估測相比估算的內(nèi)容安排也要少得多。另一方面，小學(xué)二至五年級是學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算的重點(diǎn)時段，因而對于估算內(nèi)容的安排相對其他年級也就比較密集。蘇教版教材不同年級對估數(shù)、估測和估算都有選擇、有重點(diǎn)地進(jìn)行安排，很好地體現(xiàn)了教材從整體謀劃到局部刻畫的有機(jī)統(tǒng)整。

教師應(yīng)整體認(rèn)識小學(xué)階段估算內(nèi)容的安排及不同年段的教學(xué)要求，在相應(yīng)年段完成預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，做到不越位、不缺位，從而在整體上達(dá)成估算教學(xué)的總目標(biāo)。

2.意識與能力并重

估算教學(xué)不能滿足于僅讓學(xué)生掌握估算的方法，而是要通過估算教學(xué)，讓學(xué)生理解估算的意義，體會估算的作用，從被動估算過渡到自覺估算、自主估算，從而增強(qiáng)應(yīng)用能力與反思意識。蘇教版教材在安排估算教學(xué)內(nèi)容時，往往選擇學(xué)生身邊的實(shí)際問題作為教學(xué)素材，借助生活經(jīng)驗(yàn)啟發(fā)估算意識，使學(xué)生的估算能力與估算意識一起發(fā)展。例如，三年級上冊教材安排了這樣一個問題。（見圖3）

這個問題安排在整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)之后，普通兩位數(shù)乘一位數(shù)之前，學(xué)生無法通過計(jì)算出48×4的精確結(jié)果來判斷200元夠不夠買，這就“逼迫”學(xué)生另想它法。學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)自然地聯(lián)想到將48元看作50元，因?yàn)?0×4=200，所以48×4<200，200元夠買4箱西瓜。教材精心安排估算內(nèi)容的位置，讓學(xué)生在面對這一情境時，自發(fā)地產(chǎn)生估算的需要，進(jìn)而獲得估算解決問題的成功體驗(yàn)。在問題解決的過程中，學(xué)生不僅掌握了基本的估算技能，估算的意識也隨之得到發(fā)展。

3.過程與結(jié)果兼顧

由于不同問題對估算的要求有所不同，不同主體對估算的理解也不同，因此估算的過程相比精算更加開放，估算過程的差異也會導(dǎo)致估算結(jié)果不盡相同。這就要求教師在估算教學(xué)中既要重視估算過程中方法的選擇與指導(dǎo)，尊重估算方法的差異性，鼓勵估算方法的多樣化，又要承認(rèn)估算結(jié)果與精算結(jié)果的不一致（有時估算結(jié)果與精算結(jié)果可能相去甚遠(yuǎn)，但只要估算的目的是明確的，估算的方法是可取的，教師就要肯定估算結(jié)果的價(jià)值），讓學(xué)生既體會到估算的簡捷高效，又明白在某些特定問題中估算的局限性，客觀地處理好估算過程與結(jié)果的關(guān)系。

例如，教材在三年級上冊安排了這樣一個問題。（見圖4）

在估算3張?zhí)乜炝熊嚳偲眱r(jià)時，學(xué)生將312看作300，300×3=900，小于1 000元。此時，教師還應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考：如果特快列車票是340元一張，1 000元夠買3張嗎？學(xué)生通過估一估、算一算發(fā)現(xiàn)，雖然這個問題的估算過程和結(jié)果與剛才的問題相同，但實(shí)際上，1 000元是不夠買3張單價(jià)340元的車票的。這里，在估算出300×3=900之后，學(xué)生還需考慮12×3的結(jié)果小于100元，才能確定1 000元夠買3張312元的特快列車票。在解決這個問題的過程中，通過對估算過程的比較以及對估算結(jié)果的辨析，學(xué)生對估算的優(yōu)勢和局限會有更全面、更客觀的認(rèn)識。

4.情境與活動支撐

通過對估算內(nèi)容的整理，筆者發(fā)現(xiàn)蘇教版教材幾乎沒有單純地給出算式讓學(xué)生估算得數(shù)的題目，絕大部分估算問題都是鑲嵌在情境中的。情境架起了抽象的數(shù)學(xué)知識與具象的兒童思維之間的橋梁，它聯(lián)結(jié)起數(shù)學(xué)與生活，讓理性和感性相趨近，使抽象與具象相映照。[3]教材精心選取了生活中需要估算的問題情境，有利于激發(fā)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有經(jīng)驗(yàn)，促使他們積極主動地解決實(shí)際問題。此外，教材還精心設(shè)計(jì)了很多估算（估測）的實(shí)踐活動。例如，“升與毫升”單元就有很多類似下面的實(shí)踐活動。（見圖5）

這些估算（估測）活動寓教于做，讓學(xué)生在做一做、估一估、算一算和想一想的過程中，感悟估算的意義和價(jià)值、積累估算的經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)估算的能力。正如杜威所說，教學(xué)過程應(yīng)該就是“做”的過程，如果兒童沒有“做”的機(jī)會，那必然會阻礙兒童的自然發(fā)展。

作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，必須認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，領(lǐng)會課程標(biāo)準(zhǔn)對于估算教學(xué)的要求，把握教材對于估算內(nèi)容的編排意圖，以教材為藍(lán)本但又不囿于教材，適時拓展、開發(fā)估算教學(xué)資源，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用估算解決實(shí)際問題的過程中，體會估算的意義與價(jià)值，提升估算的意識與能力、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)創(chuàng)新品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

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【責(zé)任編輯：陳國慶】