吳志健

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、工具與方法，一般指數(shù)字、字母、圖形和關(guān)系式等。數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)是指在感知、認(rèn)識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)的一種積極的心理傾向。數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的有效生成，是指在課堂教學(xué)中，通過(guò)某個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的引入、理解和運(yùn)算形成相應(yīng)的心理反應(yīng)。這里的“有效”，強(qiáng)調(diào)的是學(xué)與教的策略合理，數(shù)學(xué)活動(dòng)有針對(duì)性，心理反應(yīng)積極。由于“建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用，是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”，因此，培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)成為廣大教育工作者的一個(gè)重要課題。

一、 立足需求，培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號(hào)引入意識(shí)

數(shù)學(xué)符號(hào)引入意識(shí)是指在表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律時(shí)，能比較科學(xué)地引入相應(yīng)的符號(hào)來(lái)表達(dá)。這里主要指引入已知數(shù)表示不變量、引入字母表示變量或特定量、引入含有字母的算式表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律等。它不僅指初次接觸時(shí)能在教師引領(lǐng)下引入符號(hào)，更指在以后運(yùn)用所學(xué)解決其他問(wèn)題時(shí)能自覺(jué)地引入符號(hào)。

把生活元素融入主題情境，從情境中引出數(shù)學(xué)符號(hào)，已經(jīng)成為共識(shí)。但符號(hào)只有賦予了數(shù)學(xué)意義，才能成為數(shù)學(xué)符號(hào)，生活中的符號(hào)與數(shù)學(xué)符號(hào)常常同形不同義、同形不同法。筆者認(rèn)為，如果要從生活中引入，還得增添數(shù)學(xué)化環(huán)節(jié)，也就是要從數(shù)學(xué)的發(fā)展需要引入數(shù)學(xué)符號(hào)，讓數(shù)學(xué)符號(hào)的引入融入到數(shù)學(xué)發(fā)展的需要中。

1.注重表達(dá)的需求

實(shí)際上，原有的表達(dá)和引入符號(hào)后形成的新的表達(dá)，都有一定的、合理的存在基礎(chǔ)。由前者到后者，不僅有學(xué)習(xí)內(nèi)容上的轉(zhuǎn)變，而且有學(xué)習(xí)者心理上的認(rèn)同。判斷引入符號(hào)是否成功的維度有兩個(gè)：一是引入后表述的問(wèn)題是否更清楚，二是引入后學(xué)生能不能感悟到它的必要性。由此不難發(fā)現(xiàn)，需要關(guān)注表達(dá)過(guò)程與表達(dá)形式的需求。

第一，要讓學(xué)生自由表達(dá)，通過(guò)質(zhì)疑讓學(xué)生感悟到用符號(hào)表達(dá)的價(jià)值。例如，教學(xué)用數(shù)對(duì)表示物體的位置。當(dāng)學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)中的第幾排、第幾行入手，表達(dá)教室里某同學(xué)的位置時(shí)，產(chǎn)生同一位置有不同的表示方法，很難更方便表達(dá)、更準(zhǔn)確理解的疑問(wèn)，從而引出數(shù)對(duì)。

第二，要讓學(xué)生通過(guò)不同表達(dá)形式之間的比較權(quán)衡利弊。例如，教學(xué)乘法分配律，有的教師怕學(xué)生死記硬背，希望他們用自己的語(yǔ)言與方式來(lái)表達(dá)，故不出示運(yùn)算律的文字?jǐn)⑹?。這樣，學(xué)生就很難把文字?jǐn)⑹雠c符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行對(duì)比，從而明晰a×（b+c）=a×b+a×c的簡(jiǎn)潔性。為此，我們可以利用已有經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化比較，凸顯簡(jiǎn)潔。譬如，在讓學(xué)生做簡(jiǎn)便計(jì)算18×27+73×18時(shí)，可以提問(wèn)：你運(yùn)用了什么運(yùn)算律？并請(qǐng)學(xué)生用語(yǔ)言敘述一下。當(dāng)學(xué)生難以表達(dá)清楚時(shí)，請(qǐng)他用字母來(lái)表示。這樣，學(xué)生就會(huì)在無(wú)形中體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔性。

2.注重思考的需求

從數(shù)學(xué)思考的過(guò)程來(lái)看，數(shù)學(xué)符號(hào)的合理引入，有助于壓縮思考過(guò)程，提高有效性。從數(shù)學(xué)思考的結(jié)果來(lái)看，引入數(shù)學(xué)符號(hào)，有助于突出思考結(jié)果的本質(zhì)屬性，有利于進(jìn)行判斷與推理、分析與綜合。這里的數(shù)學(xué)思考包含三個(gè)內(nèi)容：首先是引入數(shù)學(xué)符號(hào)的緣由，其次是引入數(shù)學(xué)符號(hào)的過(guò)程，第三是根據(jù)引入的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題?？梢?jiàn)，這種數(shù)學(xué)思考的需求，必須體現(xiàn)在相應(yīng)的學(xué)與教的過(guò)程中。但是在用字母表示公式的教學(xué)中，有兩種傾向值得關(guān)注。一是忽視鞏固公式時(shí)數(shù)學(xué)思考上的需求。例如，教學(xué)平行四邊形面積計(jì)算時(shí)，教師能注重分層引導(dǎo)學(xué)生用字母表示公式，但是在運(yùn)用公式做習(xí)題時(shí)，只是讓學(xué)生指出平行四邊形底與相應(yīng)的高各是多少，而不去引導(dǎo)學(xué)生先想一想字母公式。二是忽視在推導(dǎo)新的字母公式時(shí)運(yùn)用已學(xué)過(guò)的相應(yīng)的字母公式。例如，在教學(xué)三角形面積的計(jì)算時(shí)，有些教師沒(méi)有利用平行四邊形面積計(jì)算的字母公式去引導(dǎo)學(xué)生獲得三角形面積計(jì)算的字母公式。

二、 彰顯變化，建立數(shù)學(xué)符號(hào)理解意識(shí)

數(shù)學(xué)符號(hào)理解意識(shí)是指能闡述數(shù)學(xué)符號(hào)在具體情境中的含義。關(guān)于數(shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)于“教”來(lái)講，其順序是“引入→理解→運(yùn)算”；但是對(duì)于“學(xué)”而言，其順序是“理解→運(yùn)算→引入”，或者“理解→引入”。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)符號(hào)理解意識(shí)直接影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)引入意識(shí)和運(yùn)算意識(shí)，它是學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的重要基石。這里的重點(diǎn)有三：其一，梳理結(jié)合具體情境的各種含義；其二，賦予數(shù)學(xué)符號(hào)以具體情境；其三，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行更換或者一般化。由此可以看出，建立數(shù)學(xué)符號(hào)理解意識(shí)，離不開(kāi)數(shù)學(xué)符號(hào)形式與含義的變式訓(xùn)練。

1.注重形式的變化

理解數(shù)學(xué)符號(hào)，關(guān)鍵是對(duì)其內(nèi)涵及外延的正確把握，而學(xué)生往往受數(shù)學(xué)符號(hào)形式的困擾，難以甄別。因此，若是關(guān)系式，就要用各種形式去表示，或具象化，或抽象化。例如，教學(xué)乘法分配律?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生列舉25×（16+37）=25×16+25×37等整數(shù)形式，4.3×6.1-5.9×4.3=（6.1—5.9）×4.3等小數(shù)形式，×（+-）=×+×-×等分?jǐn)?shù)形式，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出“長(zhǎng)方形面積圖”（見(jiàn)圖1）等幾何形式，還可以引導(dǎo)學(xué)生用文字或字母進(jìn)行表述。

若是數(shù)，就要變換情境，或序數(shù)、或基數(shù)、或數(shù)量。例如，教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義，當(dāng)學(xué)生明確的含義后，可以引導(dǎo)學(xué)生做以下兩道題目。（1）一根木料鋸成兩段，第一段長(zhǎng)米，第二段長(zhǎng)，哪一段長(zhǎng)一些？（2）有兩根同樣長(zhǎng)的木料，第一根用去米，第二根用去，哪一根剩下的長(zhǎng)一些？通過(guò)畫(huà)圖、解題，使學(xué)生明白題中米和的單位“1”各指的是什么，能不能相同，從而加深對(duì)其含義的理解。

同時(shí)，也要用字母表示數(shù)，或改變?nèi)≈捣秶蚋倪\(yùn)算符號(hào)。例如，教學(xué)公因數(shù)與公倍數(shù)。先讓學(xué)生做習(xí)題：16÷2=8，16和2的最大公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象，用字母表示數(shù)，形成如下題目并解答。（1）a÷b=8（且a、b都是不為0的自然數(shù)），a和b的最大公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。（2）b=8a（且a、b都是不為0的自然數(shù)），a和b的最大公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。

2.注重含義的變化

對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)的含義，我們通常讓學(xué)生在具體的生活情境中獲取，導(dǎo)致學(xué)生獲得的“含義”既具有相對(duì)的情境性、初步的獨(dú)立性，又具有一定的抽象性。即學(xué)生頭腦里的“含義”可能全部?jī)?nèi)容都在變化，也可能部分內(nèi)容在變化。因此，加強(qiáng)“含義”的變式訓(xùn)練，有助于學(xué)生建立數(shù)學(xué)符號(hào)理解意識(shí)。

第一，要引導(dǎo)學(xué)生分析同一個(gè)符號(hào)的不同含義。例如，教學(xué)用字母表示。可以運(yùn)用下面的題組，幫助學(xué)生對(duì)a的含義進(jìn)行對(duì)比。（1）擺1個(gè)三角形，要用3根小棒；增加1個(gè)三角形，共要用5根小棒。那么，增加a個(gè)三角形，共要用小棒（ ）根。（2）擺1個(gè)三角形，要用3根小棒；擺2個(gè)三角形，要用5根小棒。那么，擺a個(gè)三角形要用小棒（ ）根。其中，第1小題可以填“3+2a”，也可以填“1+2（a+1）”；第2小題可以填“3+2（a-1）”，也可以填“1+2a”。這里，每一個(gè)數(shù)（含表示數(shù)的字母）、每一步算式的含義都要讓學(xué)生結(jié)合題意弄清楚。不僅要明白每一題前后兩式之間的聯(lián)系與區(qū)別，而且要知道每一道算式所表達(dá)的規(guī)律，更要清楚兩題中變量a的含義的變化。

第二，要引導(dǎo)學(xué)生綜合各個(gè)情境的不同含義。例如，教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義?？梢赃\(yùn)用填空題“把（ ）平均分成（ ）份，表示這樣的（ ）份”，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)月餅圖、長(zhǎng)方形圖、長(zhǎng)度單位圖、桃子圖各自表示的分?jǐn)?shù)，歸納出單位“1”及分?jǐn)?shù)的含義。

第三，要引導(dǎo)學(xué)生推理同一道算式的不同含義。例如，教學(xué)長(zhǎng)方形面積計(jì)算。在學(xué)生學(xué)完字母公式S=a×b進(jìn)行綜合練習(xí)時(shí)，可以引導(dǎo)他們推理出a×b= S，進(jìn)而推出a×b=c，再根據(jù)“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”進(jìn)行類(lèi)推，等等。讓學(xué)生明白a×b=c可以表示兩個(gè)數(shù)相乘的積，也可以表示長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，還可以表示其他的數(shù)量關(guān)系式。

三、 把握關(guān)系，發(fā)展數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算意識(shí)

數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算意識(shí)主要是指主動(dòng)地對(duì)含有字母的算式進(jìn)行運(yùn)算或推理，獲得新結(jié)論，它包括能解釋原式與化簡(jiǎn)結(jié)果。這里的算式，指簡(jiǎn)單的整式和簡(jiǎn)易方程。它的運(yùn)算前提有二，一是掌握運(yùn)算方法，二是明確對(duì)運(yùn)算結(jié)果的要求。

在小學(xué)階段，整式的化簡(jiǎn)主要集中在形如ax±bx，aπ±bπ之類(lèi)，運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)；較復(fù)雜的簡(jiǎn)易方程主要有ax±bx=c， ax±b=c之類(lèi)，運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程。我們知道，通過(guò)有效的訓(xùn)練，學(xué)生能夠掌握此類(lèi)運(yùn)算。問(wèn)題主要有二：一是學(xué)生只是抽象地按規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，不去具象化思考，不去運(yùn)用多種方法，不去尋找方法之間的關(guān)系；二是學(xué)生只是機(jī)械地解決此類(lèi)問(wèn)題，不去靈活思考結(jié)果之間的關(guān)系。換句話講，我們要讓學(xué)生把握好以上兩種關(guān)系來(lái)全面發(fā)展數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算意識(shí)。

1.注重方法之間的關(guān)系

就習(xí)題來(lái)講，分析的角度和思路不同，就會(huì)形成不同的解題方法。如何呈現(xiàn)解題方法是教學(xué)的關(guān)鍵所在，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中提高運(yùn)算能力是教學(xué)的重要舉措。筆者認(rèn)為，對(duì)于學(xué)生而言，解題方法的意義，不僅僅在于找到題目的答案，更在于發(fā)展他們的數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算意識(shí)。也正因?yàn)楹笳?，才有了?duì)方法的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行教學(xué)的可能性，才有了對(duì)方法進(jìn)行比較的價(jià)值，才有了對(duì)方法進(jìn)行訓(xùn)練的必要性。

在解決一些代數(shù)問(wèn)題時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生傾向于只是運(yùn)用算術(shù)方法，或者只是運(yùn)用代數(shù)方法，不去考慮同時(shí)運(yùn)用它們，也不去分析解題方法之間存在的聯(lián)系與區(qū)別。例如，做選擇題：a+124=b+257，a與b相比，（ ）。①a>b；②a2e4fa399b364da4e32d6ee8609985634

法交換律a+b=b+a，找出a與b的特殊值。筆者曾在某班作過(guò)調(diào)查，42名學(xué)生中只有2人用了兩種方法，其余學(xué)生都只使用了上面幾種方法中的某一種，找到答案就算完事了。理解是運(yùn)用的基礎(chǔ)，只有理解了才能使學(xué)生自覺(jué)運(yùn)用代數(shù)法進(jìn)行運(yùn)算，只有理解了才能反思代數(shù)法與算術(shù)法之間的關(guān)系。我們可以先組織學(xué)生獨(dú)立解答，然后引導(dǎo)學(xué)生分析并理解各個(gè)方法，從本質(zhì)上溝通方法之間的聯(lián)系。

2.注重結(jié)果之間的關(guān)系

運(yùn)算結(jié)果往往是學(xué)生解題的唯一目標(biāo)，對(duì)結(jié)果過(guò)于看重，也導(dǎo)致學(xué)生對(duì)其認(rèn)可趨向偏執(zhí)。尤其是對(duì)代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果不僅可以是一個(gè)數(shù)，而且可以是一道算式，學(xué)生往往難以接受，即使認(rèn)同，也是囫圇吞棗。對(duì)運(yùn)算結(jié)果的有效處理，不僅可以加深學(xué)生對(duì)運(yùn)算符號(hào)及其運(yùn)算本身的理解，還可以加深式與形、數(shù)與符號(hào)之間的理解，更可以通過(guò)結(jié)果之間關(guān)系的分析來(lái)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算意識(shí)。

第一，通過(guò)對(duì)算理的分析，加深對(duì)結(jié)果之間區(qū)別的認(rèn)識(shí)?？梢宰寣W(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)提出問(wèn)題、列式、說(shuō)說(shuō)算式每一步的意義等數(shù)學(xué)活動(dòng)，來(lái)進(jìn)一步明晰數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算的規(guī)則，尤其是對(duì)結(jié)果的規(guī)定性。例如下面這道習(xí)題：利民公司運(yùn)來(lái)a車(chē)蔬菜，每車(chē)裝5噸，供應(yīng)給菜場(chǎng)65噸。 ？學(xué)生能夠根據(jù)條件提出如下問(wèn)題：還剩多少噸蔬菜？列出如下算式：5a-65，5（a—65÷5）。通過(guò)討論得出結(jié)果的兩種形式：5（a—65÷5）=5a-65，5（a—65÷5）=5（a-13），它們分別使用了數(shù)量關(guān)系式“公司運(yùn)來(lái)蔬菜的總噸數(shù)-供應(yīng)給菜場(chǎng)的噸數(shù)=剩下的噸數(shù)”、“每車(chē)蔬菜的噸數(shù)×供應(yīng)菜場(chǎng)后剩下的車(chē)數(shù)=剩下的噸數(shù)”，這就是它們主要的區(qū)別所在。

第二，通過(guò)部分與整體的對(duì)比，加深對(duì)結(jié)果之間聯(lián)系的認(rèn)識(shí)?？梢宰寣W(xué)生分析代數(shù)式不含字母的前幾項(xiàng)的特征，找出算法，算出結(jié)果，再類(lèi)推出整個(gè)代數(shù)式的結(jié)果。例如，計(jì)算1+2+4+8+…+m?？梢韵茸寣W(xué)生計(jì)算1+2+4+8+16+32+64+128，找到算法“尾數(shù)×2-1”，再推出原代數(shù)式的結(jié)果2m-1，同時(shí)把結(jié)果255與“2m-1”進(jìn)行比較。也可以在教學(xué)相關(guān)例題之后的綜合練習(xí)中，把例題改編成含有字母的代數(shù)式，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)推。比如，把例題++++改編成+++++…+，讓學(xué)生由例題的結(jié)果1-推出改編題的結(jié)果1-。

綜上，數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)可以分成數(shù)學(xué)符號(hào)引入意識(shí)、理解意識(shí)和運(yùn)算意識(shí)三種，其有效生成，需要立足需要，彰顯變化，把握關(guān)系。

參考文獻(xiàn)

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【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】