劉榮強(qiáng)， 趙浩江， 李長(zhǎng)洲， 郭宏偉，鄧宗全

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱　150001)

?

三組元柵格板的振動(dòng)特性研究

劉榮強(qiáng)， 趙浩江， 李長(zhǎng)洲， 郭宏偉，鄧宗全

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150001)

依據(jù)聲子晶體的局域共振機(jī)理提出了一種三組元板狀周期柵格結(jié)構(gòu)。利用有限元法分析計(jì)算了這種新型柵格結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系和特征模態(tài)的位移場(chǎng)。由能帶結(jié)構(gòu)圖和振動(dòng)傳遞的有限元仿真結(jié)果可知，柵格結(jié)構(gòu)擁有多個(gè)方向的低頻振動(dòng)帶隙。局域共振帶隙是由行進(jìn)波和振子的共振相互作用產(chǎn)生的。以第一個(gè)彎曲振動(dòng)帶隙為例，結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙的影響可以用等效的質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)模型來(lái)解釋。這種三組元板狀周期柵格結(jié)構(gòu)有望應(yīng)用于低頻振動(dòng)的隔振設(shè)計(jì)中。

柵格板；局域共振；帶隙；有限元法

抑制有害的結(jié)構(gòu)振動(dòng)一直是工程實(shí)踐中急需解決的問(wèn)題。聲子晶體的出現(xiàn)給減少有害的結(jié)構(gòu)振動(dòng)提供了一種新的方法[1-3]。在聲子晶體的帶隙頻率范圍內(nèi)聲和振動(dòng)無(wú)法傳遞，從而起到了隔振降噪的作用。帶隙的形成機(jī)理包括Bragg散射型和局域共振型[4-5]，其中局域共振型聲子晶體在低頻隔振領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

作為聲子晶體結(jié)構(gòu)的一種，柵格結(jié)構(gòu)已經(jīng)引起了廣泛的關(guān)注[6-13]。Martinssion等[6]調(diào)研了一種兩組元的柵格結(jié)構(gòu)，他們通過(guò)把柵格簡(jiǎn)化成不均一的彈簧，計(jì)算出了其能帶結(jié)構(gòu)。溫激鴻等[7-8]從理論上進(jìn)行了多方面的研究，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了帶隙的存在性。Jenson[9]利用質(zhì)量-彈簧模型計(jì)算了二維柵格結(jié)構(gòu)。Diaz等[10]分析了柵格單胞中附加質(zhì)量對(duì)帶隙的影響。隨后Wang等[11]研究了一種與之類(lèi)似的帶基板的柵格結(jié)構(gòu)。此外，Wang等[12]將電磁彈性體材料與柵格結(jié)構(gòu)相結(jié)合，分析了電磁彈性耦合及預(yù)應(yīng)力對(duì)柵格帶隙結(jié)構(gòu)的影響，研究結(jié)果表明柵格的帶隙寬度可以通過(guò)改變預(yù)應(yīng)力的大小進(jìn)行調(diào)節(jié)。以上研究的都是正方形柵格，黃毓等[13]還研究了三角形、米字形、六邊形、反六邊形、Kagome形以及鉆石形等六種典型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的柵格的帶隙特性，并與四邊形柵格進(jìn)行了對(duì)比。以上所研究的柵格結(jié)構(gòu)多是二組元結(jié)構(gòu)或單組元結(jié)構(gòu)，主要具有Bragg散射帶隙，不利于獲得低頻帶隙。

本文基于局域共振機(jī)理，提出了一種新型三組元柵格結(jié)構(gòu)(Three-Component Grid Plate，TCGP)。采用有限元法計(jì)算了該柵格結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)及其特征模態(tài)位移場(chǎng)，用多質(zhì)點(diǎn)-彈簧模型分析了柵格結(jié)構(gòu)的局域共振機(jī)理[14-16]，并討論了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙位置和寬度的影響。

1　模型與算法

1.1模型

本文提出的TCGP結(jié)構(gòu)是由傳統(tǒng)柵格板在厚度方向上增加局域共振單元組成，如圖1所示。圖1(a)表示TCGP的三維視圖，圖1(b)表示TCGP的一個(gè)單胞。假設(shè)Z軸沿厚度方向，XY平面垂直于厚度方向。a和b分別表示TCGP結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)和厚度，柵格壁厚為h，橡膠包覆層壁厚為l，包覆層高度為w。TCGP的骨架材料為鋁，其密度為2 780 kg/m3，楊氏模量為7.76×1010Pa，泊松比為0.35；包覆橡膠的密度是1 300 kg/m3，楊氏模量1.37×105Pa，泊松比0.46；其中作為質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)中集中質(zhì)量的鉛的密度是11 600 kg/m3，楊氏模量4.08×1010Pa，泊松比0.42。

圖1　局域共振柵格結(jié)構(gòu)三維模型和柵格單元Fig.1 Schematics of the LRGS and The unit cell of the LRGS

1.2計(jì)算方法

為了研究彈性波在TCGP中的傳播特性，利用有限元法計(jì)算了TCGP的色散關(guān)系和特征模態(tài)的位移場(chǎng)。在色散關(guān)系的計(jì)算中，直角坐標(biāo)系下的彈性波傳播計(jì)算公式如下：

(i=1,2,3)

(1)

式中：u表示位移，t表示時(shí)間，xj代表坐標(biāo)變量，cijlk代表彈性常量。

根據(jù)周期結(jié)構(gòu)的Bloch定理，第一布里淵區(qū)之外沒(méi)有新的特征值和特征模態(tài)。因此，聲子晶體的色散關(guān)系可以通過(guò)計(jì)算一個(gè)柵格基本單元(單胞)獲得。采用多物理場(chǎng)商業(yè)軟件COMSOL Mutiphysics中的固體力學(xué)特征頻率模塊進(jìn)行具體的有限元求解。在TCGP的上下表面施加自由應(yīng)力邊界條件，并在圖1(b)所示的相鄰柵格單胞分界面上施加周期邊界條件：

u(x+a1,y)=u(x,y)eik1·a1

(2a)

u(x,y+a2)=u(x,y)eik2·a2

(2b)

式中：k=(k1,k2)是被限制在第一不可約布里淵區(qū)的波矢，a1、a2表示柵格單胞的基矢。沿著第一不可約布里淵區(qū)的高對(duì)稱(chēng)邊界求解特征值方程，即可得到TCGP的能帶結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的模態(tài)位移場(chǎng)。

2　結(jié)果與討論

2.1能帶結(jié)構(gòu)

取TCGP的幾何參數(shù)為a=0.03 m，b=0.03 m，h=0.004 m，w=0.022 m，l=0.002 m，計(jì)算得到的沿高對(duì)稱(chēng)邊界MΓ-ΓX-XM的能帶結(jié)構(gòu)如圖2所示。從圖2(a)中可以看出，TCGP中存在一個(gè)頻率范圍從220 Hz到385 Hz的完全帶隙。顯然此頻率范圍內(nèi)的波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于柵格單胞的晶格常數(shù)a?？梢园l(fā)現(xiàn)除了Γ點(diǎn)及其附近領(lǐng)域，大多數(shù)頻帶都是平直的，因此這個(gè)帶隙具有局域共振特性。

(a)　MΓ-ΓX-XM能帶

(b)　ΓX能帶圖2　TCGP沿MΓ-ΓX-XM和ΓX方向的能帶結(jié)構(gòu)Fig.2 Band structure of the LRGS along

2.2特征模態(tài)

為了確定各條頻帶代表的振動(dòng)特性，圖3列出了對(duì)應(yīng)于圖2(b)中標(biāo)出的各點(diǎn)處的特征頻率對(duì)應(yīng)的特征模態(tài)的位移場(chǎng)。圖2(b)中從Γ點(diǎn)開(kāi)始的三個(gè)能帶分別表示反對(duì)稱(chēng)Lamb波(A0模態(tài))、對(duì)稱(chēng)Lamb波(S0模態(tài))和水平剪切波(SH0模態(tài))[17]。在頻率很低的范圍內(nèi)，對(duì)稱(chēng)Lamb波(S0)和水平剪切波(SH0)在TCGP中的傳播與在均勻平板中非常相似。如圖3(d)所示，對(duì)于A0點(diǎn)處的反對(duì)稱(chēng)Lamb波，TCGP的三種組元均沿著Z軸方向移動(dòng)，這一點(diǎn)同樣與在均勻平板中的運(yùn)動(dòng)相似。如圖3(a)所示，共振模態(tài)A1同樣沿著厚度方向移動(dòng)，因此它可以被反對(duì)稱(chēng)Lamb波激勵(lì)。由于和A1模態(tài)的強(qiáng)耦合作用，反對(duì)稱(chēng)Lamb波的能帶被截?cái)?，變成平直能帶。因此，第一彎曲振?dòng)間隙(圖2(b)間隙3)從這條被截?cái)嗟钠街蹦軒ч_(kāi)始；而如圖3(b)所示，模態(tài)T3下鋁柵格板沿Z軸發(fā)生明顯位移，表明彎曲振動(dòng)可以穿過(guò)柵格，第一彎曲振動(dòng)帶隙截止。傾覆振動(dòng)模態(tài)D和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)F在Z軸平行和垂直方向上均有位移，并且與之對(duì)應(yīng)的帶型以平直帶貫穿整個(gè)第一布里淵區(qū)，因此這兩個(gè)模態(tài)所在頻率的振動(dòng)可以穿過(guò)柵格板。對(duì)于共振模態(tài)E(圖3(c))，柵格單元在X軸方向上的鉛塊與在Y軸方向上的鉛塊的垂直振動(dòng)的位移等大反向，導(dǎo)致局域共振單元施加在豎直板上的合力趨近于零，由此如圖2(b)所示，模態(tài)E以貫穿整個(gè)第一布里淵區(qū)的平直帶形式在三組元柵格板中傳播。

在XY面內(nèi)的振型中，對(duì)稱(chēng)Lamb波(模態(tài)S0)與其一階倍頻(模態(tài)S1)分別被共振模態(tài)C1(圖3(f))和C2(圖3(j))截?cái)?。因此，如圖2(b)所示，第一、第二個(gè)縱向振動(dòng)帶隙分別在C1、C2平直帶處形成。同時(shí)，水平剪切波(模態(tài)SH0)與其一階倍頻(模態(tài)SH1)分別被沿Y軸方向振動(dòng)的共振模態(tài)B1(圖3(e))和B2(圖3(i))截?cái)?。因此，第一、第二個(gè)水平剪切振動(dòng)帶隙分別在平直帶B1、B2處形成。注意到平直帶B1和C1彼此非常接近，而且第一個(gè)縱向振動(dòng)帶隙和第一個(gè)水平剪切振動(dòng)帶隙均終止于模態(tài)T1。如圖3(g)所示，T1模態(tài)是柵格板中鋁合金骨架部分沿X軸和Y軸方向振動(dòng)的耦合模態(tài)，這意味著縱向振動(dòng)和水平剪切振動(dòng)均可通過(guò)。并且，鉛芯的振動(dòng)方向與鋁合金骨架的振動(dòng)方向相反。類(lèi)似的，平直帶B2和C2也非常接近彼此，而且第二個(gè)縱向振動(dòng)帶隙和第二個(gè)水平剪切振動(dòng)帶隙均終止于模態(tài)T2。

圖3　與圖2各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的振型和位移矢量圖Fig.3 Eigenmode shapes and displacement vector fields of the corresponding points as shown in Fig.2b

2.3振動(dòng)傳遞特性

為了驗(yàn)證圖2中不同方向的振動(dòng)帶隙，建立了5×5單胞數(shù)的有限尺寸TCGP結(jié)構(gòu)，利用有限元軟件對(duì)其振動(dòng)傳遞特性進(jìn)行仿真。分別在TCGP結(jié)構(gòu)一端邊界上沿x,y,z三個(gè)方向施加單位位移激勵(lì)，仿真TCGP受剪切振動(dòng)、縱向振動(dòng)和彎曲振動(dòng)的情況；在另一端拾取位移響應(yīng)信號(hào)，與輸入信號(hào)對(duì)比得到振動(dòng)衰減幅值曲線，如圖4所示。其中，圖4(a)中陰影部分對(duì)應(yīng)圖2中前兩階剪切振動(dòng)帶隙的頻率范圍，圖4(b)中陰影部分對(duì)應(yīng)前兩階縱向振動(dòng)帶隙的頻率范圍，圖4(c)中陰影部分對(duì)應(yīng)第一階彎曲振動(dòng)帶隙的頻率范圍。

圖4　有限周期數(shù)的TCGP沿不同方向的振動(dòng)響應(yīng)Fig.4 Response curves of vibration along different directions in a TCGP structure with limited unit cells

由圖4可知，振動(dòng)響應(yīng)曲線在對(duì)應(yīng)圖2所得的各帶隙的頻率范圍內(nèi)都有不同程度的衰減，說(shuō)明圖2中理論帶隙存在。并且，x方向和z方向的振動(dòng)衰減幅度要大于y方向的振動(dòng)。響應(yīng)曲線中，除帶隙起止頻率對(duì)應(yīng)的峰谷外，還有結(jié)構(gòu)作為整體對(duì)應(yīng)的特征頻率。

2.4幾何參數(shù)的影響

以第一階彎曲振動(dòng)帶隙為例，分析包覆層和芯體的整體填充率和柵格板厚度等幾何參數(shù)對(duì)帶隙特性的影響。以下針對(duì)不同填充率進(jìn)行一系列計(jì)算，在計(jì)算過(guò)程中保持a=0.03 m,h=0.004 m,b=0.03 m，l=w/4不變。由圖5(a)可以看出，隨著填充率的增加，帶隙起始頻率單調(diào)下降，而帶隙終止頻率先下降后上升，且在f=0.5附近達(dá)到最低點(diǎn)，導(dǎo)致帶隙隨著填充率的增加而變寬。保持a=0.03 m,h=0.004 m,l=b/8,w=b/2不變，進(jìn)一步研究柵格板厚度b對(duì)第一階彎曲帶隙的影響，結(jié)果如圖5(b)所示。帶隙的起始頻率fs和終止頻率ft都隨板厚b的增加而下降，且終止頻率的下降速度快于起始頻率，導(dǎo)致帶隙隨板厚b的增加而變窄并向低頻移動(dòng)。

圖5　整體填充率和柵格板厚對(duì)第一彎曲振動(dòng)帶隙的影響Fig.5 The first flexural vibration band gap as a function

為了進(jìn)一步揭示整體填充率和柵格板厚對(duì)第一彎曲振動(dòng)帶隙的產(chǎn)生影響的機(jī)理，給出對(duì)應(yīng)該帶隙的起始模態(tài)A1和終止模態(tài)T3的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)模型，如圖6所示。在模態(tài)A1的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)模型中，鉛芯對(duì)應(yīng)質(zhì)量塊MA，橡膠對(duì)應(yīng)彈簧Ke，鋁合金骨架可被視為剛體。而終止模態(tài)T3對(duì)應(yīng)于含兩個(gè)質(zhì)量塊的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)模型：除了質(zhì)量塊MA之外，鋁合金骨架對(duì)應(yīng)質(zhì)量塊MB。當(dāng)模態(tài)T3達(dá)到其平衡狀態(tài)時(shí)，質(zhì)量塊MA和MB同時(shí)移向或遠(yuǎn)離振動(dòng)靜止點(diǎn)。

這兩個(gè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的固有頻率可由如下公式進(jìn)行計(jì)算：

(3a)

(3b)

式中：fs和ft分別是第一階彎曲帶隙的起始頻率和終止頻率。

圖6　第一彎曲振動(dòng)帶隙起止頻率質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)模型Fig.6 Mass-spring system models for mode

整體填充率增加則等效質(zhì)量塊MA增加，由公式3(a)可知，起始頻率fs下降。對(duì)于終止頻率ft，隨著填充率增加，等效質(zhì)量塊MB和MA先后起主導(dǎo)作用。由式3(b)和圖6(b)可知，終止頻率ft先下降后上升，與此同時(shí)靜止點(diǎn)由MB移向MA，與圖5(a)的計(jì)算結(jié)果一致。另外，格柵板厚的增加使等效質(zhì)量MB和MA增加。由式(3)可知，隨著厚度b的增加，fs和ft均下降，且ft下降趨勢(shì)比f(wàn)s更快，與圖5(b)的計(jì)算結(jié)果一致。

3　結(jié)　論

本文提出了一種新型的三組元柵格板結(jié)構(gòu)，并對(duì)該結(jié)構(gòu)中的彈性波的傳播特性進(jìn)行了深入的理論研究。該柵格結(jié)構(gòu)由鋁柵格板、鉛芯、包覆橡膠組成，利用有限元法計(jì)算了其色散關(guān)系和對(duì)應(yīng)振型的位移場(chǎng)。通過(guò)分析各條能帶結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的振型，發(fā)現(xiàn)三組元柵格板沿不同方向的局域共振模態(tài)分別與反對(duì)稱(chēng)Lamb波、對(duì)稱(chēng)Lamb波和水平剪切波產(chǎn)生強(qiáng)耦合作用，從而產(chǎn)生了彎曲、縱向和水平剪切局域共振帶隙。根據(jù)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的有限元仿真，證明了各帶隙的存在，并且發(fā)現(xiàn)，振動(dòng)在剪切振動(dòng)帶隙和彎曲振動(dòng)帶隙頻率范圍內(nèi)的衰減幅度要大于縱向振動(dòng)帶隙。根據(jù)一階彎曲振動(dòng)帶隙的起始模態(tài)和終止模態(tài)的振型特征，建立了兩個(gè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)模型。該模型可以很好的解釋一階彎曲振動(dòng)帶隙隨填充率和柵格板厚度這兩個(gè)參數(shù)變化的規(guī)律。本文提出的新型三組元周期柵格板結(jié)構(gòu)具有低頻寬帶隙，為低頻隔振提供了一個(gè)新思路。

[1] Sigalas M M,Economou E N.Elastic and acoustic wave band structure [J]. J. Sound Vib.,1992,158(2):377-382.

[2] Kushwaha W S, Halevi P, Dobrzynshi L, et al. Acoustic band structure of periodic elastic composites [J]. Phys. Rev. Lett.,1993, 71(13):2022-2025.

[3] Kushwaha M S. Classical band structure of periodic elastic composites [J]. Int. J. Mod. Phys. B 1996, 10(9): 977-1094.

[4] Liu Z Y, Zhang X, Mao Y, et al. Locally resonant sonic materials [J]. Science, 2000, 289:1734-1736.

[5] Wang G, Wen X S, Wen J H, et al. Two dimensional locally resonant phononic crystals with binary structures[J]. Phys. Rev. Lett.,2004, 93(15): 154302.

[6] Martinsson P G，Movchan A B. Vibrations of lattice structures and phononic band gaps [J]. Q. J. Mech. Appl. Math., 2003, 56:45-64.

[7] 溫激鴻, 郁殿龍, 王剛，等. 薄板狀周期柵格結(jié)構(gòu)中彈性波傳播特性研究[J]. 物理學(xué)報(bào)，2007, 56(4):2298-2304.

WEN Ji-hong,YU Dian-long,WANG Gang, et al. The characteristics of wave propagation in laminated grid structure[J].Acta Physica Sinica, 2007, 56(4):2298-2304.

[8] Wen J H，Yu D L，Liu J W,et al. Theoretical and experimental investigations of flexural wave propagation in periodic grid structures designed with the Idea of phononic crystals[J]. Chinese Physics B, 2009, 18(6):2404-2411.

[9] Jensen J S. Phononic band gaps and wibrations in one-and two-dimensional mass-spring structures[J]. Journal of Sound and Vibration, 2003,266(5): 1053-1078.

[10] Diaz A R，Haddow A G，Ma L. Design of band-gap grid structures[J]. Struct Multidisc Optim, 2005, 29: 418-431.

[11] Wang J W,Wang G, Wen J H. Flexural vibration band gaps in advanced composite grid structures using finite element method[C]//ICSV16, Kraków, Poland, 5-9 July,2009.

[12] WANG Y Z, LI F M. Band gap properties of magnetoelectroelastic grid structures with initial stress [J]. CHIN. PHYS. LETT., 2012, 29(3): 034301.

[13] 黃毓，劉書(shū)田. 二維柵格材料帶隙特性分析與設(shè)計(jì)[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2011,43(2): 316-329.

HUANG Yu,LIU Shu-tian,Analysis and design of two dimensional lattice materials with band-gap characteristics[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2011,43(2): 316-329.

[14] Khelif A, Aoubiza B, Mohammadi S,et al. Complete band gaps in two-dimensional phononic crystal slabs [J]. Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys,2006, 74(4):046610.

[15] Mohammadi S, Eftekhar A A, Khelif A,et al. Simultaneous two-dimensional phononic and photonic band gaps in opto-mechanical crystal photonic band gaps in opto-mechanical crystal slabs [J]. Optics Express,2010,18(9):9164-9172.

[16] Wang Y F, Wang Y S, Su X. Large band gaps of two-dimensional phononic crystals with cross-like holes [J]. J. Appl. Phys., 2011, 110(11): 113520.

[17] Oudich M, Li Y, Assouar B M, et al. A sonic band gap based on the locally resonant phononic plates with stubs[J]. New Journal of Physics, 2010, 12(8): 083049.

Vibration characteristics of three-component grid plates

LIU Rongqiang, ZHAO Haojiang, LI Changzhou, GUO Hongwei, DENG Zongquan

(School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

A three-component grid plate structure inspired due to the local resonance mechanism of phononic crystals was presented. The dispersion relation and displacement field of eigenmodes of this novel grid structure were calculated with the finite element method. According to energy band structure figures and vibration response curves obtained with FE simulation, it was shown that the proposed grid structures possess low frequency vibration band gaps along different directions; the local resonant band gaps are caused due to the interaction between traveling wave modes and local resonances; taking the first flexural vibration band gap as an example, the effects of geometric parameters on the band gap can be explained with an equivalent mass-spring system model; these properties of band gaps in three-component grid plates can potentially be applied to design devices for low-frequency vibration reduction.

grid plate; local resonance; band gap; finite element method

“111”工程(B07018)

2015-04-20修改稿收到日期：2015-07-16

劉榮強(qiáng) 男，博士，教授,博士生導(dǎo)師，1965年10月生

郭宏偉 男，博士，副教授，1980年12月生

O734

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.010