黃振明

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六階微分方程組次特征值的定量估計(jì)

黃振明

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

運(yùn)用Sturm-Liouville特征值定性理論，對(duì)六階微分方程組廣義低階特征值進(jìn)行估計(jì)，獲得用主特征值來(lái)估計(jì)次特征值上界的顯式不等式，其估計(jì)上界與所論區(qū)間的長(zhǎng)度有關(guān)，而與區(qū)間在數(shù)軸上的具體位置無(wú)關(guān).

Sturm-Liouville特征值定性理論；六階微分方程組；廣義低階特征值；次特征值

1 問(wèn)題提出

19世紀(jì)30年代，法國(guó)巴黎大學(xué)教授斯圖姆和法蘭西學(xué)院教授劉維爾共同研究了熱傳導(dǎo)的微分方程，創(chuàng)造了逐次逼近法，隨后他們研究了更一般的二階微分方程，以及確定帶邊界條件的常微分方程的特征值與特征函數(shù)的問(wèn)題，直接從方程本身入手，研究解的存在性及解的性質(zhì)，得到了一系列重要結(jié)論，如特征值問(wèn)題的零點(diǎn)比較、特征函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、特征函數(shù)族的完備性及特征值的漸進(jìn)公式等，形成了比較系統(tǒng)的斯圖姆－劉維爾理論體系，這個(gè)理論在應(yīng)用數(shù)學(xué)中十分重要，尤其是在使用分離變量法求解偏微分方程. 近年來(lái)，一些學(xué)者利用上述經(jīng)典的特征值定性理論，對(duì)廣義特征值問(wèn)題進(jìn)行分析和研究，在特征值定量估計(jì)方面取得了豐碩的成果[1-7]，其中文獻(xiàn)[1]討論了某類六階微分方程的廣義特征值估計(jì)問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]討論了一類六階微分方程組常義下的特征值估計(jì)問(wèn)題. 本文在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮如下由個(gè)函數(shù)、個(gè)方程構(gòu)成的六階微分方程組廣義低階特征值的估計(jì)問(wèn)題

其中(,)ì是一個(gè)有界開(kāi)區(qū)間，p()?3[,]，q()?[,]，s()?2[,]，且滿足p()=p()， q()=q()，s()=s(),=1,2,…,. 為方便推導(dǎo)，引入下列函數(shù)矩陣和向量的記號(hào)：P()=(p())′，Q()=(q())′，S()=(s())′，u=(1,2,…,y)T，首先將上述方程組寫成如下等價(jià)的矩陣形式

且滿足如下條件：對(duì)任意x=(1,2,…,)T有

1|x|2≤xTP()x≤2|x|2(2)

1|x|2≤xTS()x≤2|x|2(3)

xTQ()x≥0 (4)

上述,(=1,2)均為正常數(shù).

問(wèn)題(1)的廣義特征值估計(jì)結(jié)果可視作是文獻(xiàn)[1,2]結(jié)論的進(jìn)一步推廣，在許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題、量子物理學(xué)問(wèn)題中有著一定的參考作用[8-10].

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)對(duì)應(yīng)于問(wèn)題(1)的主特征值1的特征向量為u，且滿足

由問(wèn)題(1)、式(3)和(5)得，再由式(6)和(2)，得

設(shè)試驗(yàn)函數(shù)j()=(-)u，式中常數(shù)，根據(jù)的定義和式(5)得

則j與u廣義正交，且滿足奇次邊界條件j(k)()=j(k)()=0 (=1,2). 由廣義Rayleigh-Ritz定理得

因此

根據(jù)上式和(9)得

3 主要定理及證明

在上述準(zhǔn)備工作之下，可得到如下一系列引理及定理.

引理1 設(shè)>>0，函數(shù)()?[,]，￠()?2[,]，且滿足() =()=0，則有

引理2 設(shè)u是問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)主特征值1的特征向量，則(Ⅰ)；(Ⅱ)； (Ⅲ)(其中>0).

證明：利用式(6)、分部積分和Cauchy-Schwarz不等式、式(3)和(7)得

化簡(jiǎn)上式即得引理2(Ⅰ).

即得引理2 (Ⅱ).

利用P()的正定性、式(2)、(3) 、(6)和帶的Young不等式，得

即得引理2 (Ⅲ).

引理3 設(shè)1是問(wèn)題(1)的主特征值，則

證明：利用分部積分和j的定義，計(jì)算可得

引理4 對(duì)于上述定義的j與1，則不等式成立.

證明：利用分部積分和j的定義得

整理即得引理4.

最后，可獲得本文的主要結(jié)果：用主特征值來(lái)估計(jì)次特征值上界的不等式，且估計(jì)上界與所論區(qū)間的長(zhǎng)度()有關(guān)，而與區(qū)間在數(shù)軸上的具體位置,無(wú)關(guān).

定理 設(shè)1,2分別是問(wèn)題(1)的主、次特征值(0<1<2)，則

證明：根據(jù)引理3和引理4，并選擇0<≤4/3，利用引理2(Ⅰ)，從式(10)，可得

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(責(zé)任編輯：饒 超)

Quantitative Estimate of Second Eigenvalue for Sixth-order Differential Equations

HUANG Zhenming

(Department of Mathematics and Physics, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China)

With the help of classical Sturm-Liouville’s eigenvalue qualitative theory, estimate of generalized lower-order eigenvalue for sixth-order differential equations is considered. The explicit inequality of the upper bound of second eigenvalue is estimated from the first one. The estimated upper bound is relevant to the length of the interval, but not to its location on the axis of coordinates.

Sturm-Liouville’s eigenvalue qualitative theory; Sixth-order differential equations; Generalized lower-order eigenvalue; Second eigenvalue

O175.1

A

2095-4476(2016)02-0005-04

2015-11-23

黃振明(1962— ), 男, 江蘇蘇州人, 蘇州市職業(yè)大學(xué)數(shù)理部副教授.