呂毅斌，賴富明，王櫻子，武德安

(1.昆明理工大學理學院，云南昆明650500）

(2.昆明理工大學計算中心，云南昆明650500）

(3.電子科技大學數(shù)學科學學院，四川成都611731）

基于GMRES（m）法的雙連通區(qū)域數(shù)值保角變換的計算法

呂毅斌1，賴富明1，王櫻子2，武德安3

(1.昆明理工大學理學院，云南昆明650500）

(2.昆明理工大學計算中心，云南昆明650500）

(3.電子科技大學數(shù)學科學學院，四川成都611731）

本文研究了基于模擬電荷法的雙連通區(qū)域的數(shù)值保角變換問題.利用限制Krylov子空間最大維數(shù)的算法-GMRES（m）算法，求解基于模擬電荷法的雙連通區(qū)域數(shù)值保角變換中的約束方程，獲得了模擬電荷和變換半徑，構(gòu)造了近似保角變換函數(shù).數(shù)值實驗表明了本文算法的有效性.

模擬電荷法；雙連通區(qū)域；Krylov子空間；GMRES（m）法

1　引言

保角變換是復變函數(shù)的一個基本問題，廣泛應用于物理學與工學［1-3］.保角變換的主要求解方法：解析法和數(shù)值計算法.解析法指出了變換函數(shù)的存在，但是只能給出一些特殊區(qū)域的變換函數(shù)表達式.基于實際問題的復雜性，必須通過數(shù)值計算方法求變換函數(shù).目前的保角變換分為兩類：一類是單連通區(qū)域的保角變換，另一類是多連通區(qū)域的保角變換.

1969年，德國的Steinbigler提出了在計算空氣中回轉(zhuǎn)對稱電極周圍電場時可以用設置在電極內(nèi)部的若干個虛設的模擬電荷來計算電極表面上電荷分布的電場的計算方法，形成了模擬電荷法（Charge Simulation Method）的基本思想［4］.自20世紀80年代起，天野要等對模擬電荷法、數(shù)值保角變換、數(shù)值保角變換的模擬電荷法以及數(shù)值保角變換中模擬電荷點的計算方法做了許多研究工作，提出了基于模擬電荷的保角變換計算法（天野法）［5-8］.在復雜的數(shù)值保角變換的計算中，相比傳統(tǒng)的數(shù)值計算法，基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換計算法具有計算精度高、誤差評價容易、計算時間短等優(yōu)勢.

廣義極小殘量法（Generalized Minimum Residual Methods）［9-11］是在Krylov子空間進行迭代的計算方法，但是GMRES法的儲存量和正交化工作量會隨著迭代次數(shù)的增加而增加，因此，一般需要利用限制Krylov子空間最大維數(shù)的算法-GMRES（m）法求解計算問題.本文利用GMRES（m）求解出了雙連通區(qū)域模擬電荷法中的約束方程，得到了模擬電荷和變換半徑，從而得到近似保角變換函數(shù)，最后利用數(shù)值實驗驗證了算法的有效性和結(jié)果的正確性.

2　基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換計算法

本節(jié)主要闡述基于模擬電荷法的雙連通區(qū)域保角變換的數(shù)值計算法［12-13］.對于z平面上的一個有限雙連通區(qū)域D，它由兩條封閉的Jordan曲線C1和C2所圍成.通過保角變換把它變成了w平面的一個圓環(huán)μ＜|ω|＜1，C1和C2分別是外部邊界和內(nèi)部邊界.

圖1：基于模擬電荷法的雙連通區(qū)域數(shù)值保角變換

在不失一般性的情況下，假定f（0）=0，f（z）滿足正規(guī)化條件f（∞）=∞，f＇（∞）＞0時，可以表示成

g（z）是Dirichlet型勢場問題

的解，h（z）是g（z）的共軛調(diào)和函數(shù)［14］.由模擬電荷法可知g（z）可以用C1和C2所圍成的區(qū)域外部配置N個電荷點作為極的對數(shù)勢場的一次結(jié)合

高度近似.因此g（z）在區(qū)域D內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù)h（z）可以用

近似.另外，μ由M近似.ζi（i=1，2，···，N）為電荷點，分布在給定區(qū)域的外部，即N/2個點分布在邊界C1的外部，另外N/2個點分布在邊界C2的內(nèi)部.根據(jù)（2.2）式，雙連通區(qū)域的數(shù)值保角變換是單連通區(qū)域的內(nèi)部保角變換與外部保角變換的組合，因此邊界條件可以看成內(nèi)部保角變換邊界條件與外部保角變換邊界條件的組合.未知電荷Qi可以用邊界上選擇的約束點zj在滿足Dirichlet邊界條件時進行求解，即

又由于g（∞）=0，h（∞）=0，根據(jù)（2.3）和（2.4）式可推導出

上述（2.5）式中zj（j=1，2，···，N/2）取在邊界C1上.類似的，（2.6）式中zj（j=N/2+ 1，N/2+2，···，N）取在邊界C2上.

聯(lián)立（2.5）-（2.7）式，化為N+1維約束方程

其中aij=log|zj-ζi|.最后，利用zi，ζi，Qi，M計算雙連通保角變換.

3　基于GMRES（m）法的模擬電荷的求解

將約束方程（2.8）式寫成標準線性方程組Ax=b的形式，其中

約束方程的系數(shù)矩陣A非對稱的，廣義極小殘量法（GMRES）是當前求解大型非對稱線性方程非常有效的算法之一.它是在Krylov子空間

的基礎上發(fā)展起來的算法，通過尋找近似解xm∈x0+Km（A，r0），來逼近約束方程（2.8）的準確解.但是GMRES法在求解約束方程時，隨著電荷點數(shù)的增加，計算量和儲存量都會隨著迭代次數(shù)的增加而大大增加.為了避免這種情況，每m步必須重新啟動，這就是GMRES（m）法［15］.GMRES（m）算法是GMRES算法的進一步改進，根據(jù)文獻［16］，可以得到求解模擬電荷的GMRES（m）法，其算法步驟如下：

Algorithm 1 GMRES（m）Algorithm

上述算法中，x0是給定的初始近似解，取為零向量，r0=b-Ax0為初始向量，ε是給定精度.

4　數(shù)值實驗

在MATLAB 7.0環(huán)境下，以橢圓為邊界的雙連通區(qū)域C1：x2/a21+y2/b21=1，C2：x2/a22+y2/b22=1為例，C1和C2為邊界.利用模擬電荷法對雙連通區(qū)域的保角變換進行數(shù)值實驗，保角變換誤差由

確定，檢驗GMRES（m）法的有效性，具體步驟如下：

步驟1設定電荷點ζi（i=1，2，···，N），約束點zi（i=1，2，···，N）以及各個參數(shù)；

步驟2根據(jù)邊界條件確定關于模擬電荷Qi（i=1，2，···，N）和變換半徑M的約束方程；

步驟3通過GMRES（m）法求解約束方程，得到模擬電荷Qi（i=1，2，···，N）和變換半徑M，從而構(gòu)造近似保角變換函數(shù)f（z）.

例1 a1=7，b1=5，a2=5，b2=1時.分別用Method 1和Method 2表示天野法和基于GMRES（m）法的雙連通區(qū)域保角變換的計算法.圖2給出的是這兩種方法數(shù)值保角變換誤差.由圖2可知電荷點數(shù)增加時，誤差會隨著電荷點數(shù)的增加而減小.當電荷點數(shù)多于90時，Method 2的保角變換誤差要小于Method 1.電荷點數(shù)N=200時，Method 2的保角變換誤差為4.1729×10-6，而Method 1的保角變換誤差為8.7557×10-6，說明本文所采用的算法可以得到更高精度的模擬電荷Qi（i=1，2，···，N）和變換半徑M.圖3給出的模擬電荷點數(shù)N為200時，模擬電荷點的分布情況.

圖2：數(shù)值保角變換誤差（例1）

圖3：模擬電荷點分布（例1）

為進一步驗證本文算法的有效性，取以

為邊界的內(nèi)部區(qū)域的等高線.圖4中，粗實線表示的邊界，細線表示的等高線.電荷點數(shù)取200，利用GMRES（m）法求解約束方程，從而構(gòu)造變換函數(shù).圖5為區(qū)域及其等高線的映射結(jié)果，可以看出，對于C1和C2的所圍成的區(qū)域內(nèi)的任意部分，經(jīng)過保角變換，對應的仍然是變換后所圍成區(qū)域的內(nèi)部.且邊界經(jīng)過保角變換對應的同心圓也是變換后圖像的邊界，從而驗證了基于GMRES（m）法的雙連通區(qū)域保角變換的計算法的有效性.

圖4：邊界及區(qū)域等高線（例1）

圖5：邊界及區(qū)域等高線保角變換（例1）

例2 a1=8，b1=4，a2=4，b2=2時.類似于圖2和圖3，圖6和圖7分別給出了兩種方法的數(shù)值保角變換誤差和模擬電荷點的分布.從圖6中可以看出，電荷點數(shù)越多，兩種方法的保角變換誤差越小.但是，當電荷點數(shù)大于180時，Method 2的保角變換誤差明顯要小于Method 1.電荷點數(shù)為300，Method 2的保角變換誤差已經(jīng)達到3.7814×10-13.圖8中細線表示以

為邊界的內(nèi)部區(qū)域的等高線，粗線表示邊界.從圖9可以看出，Method 2可以得到了很好的保角變換結(jié)果.

圖6：數(shù)值保角變換誤差（例2）

圖7：模擬電荷點分布（例2）

圖8：邊界及區(qū)域等高線（例2）

圖9：邊界及區(qū)域等高線保角變換（例2）

5　結(jié)束語

本文利用GMRES（m）法求解出了雙連通區(qū)域保角變換模擬電荷法中的約束方程，進而提出了基于GMRES（m）法的雙連通區(qū)域數(shù)值保角變換的計算法.并通過數(shù)值實驗驗證了新算法的有效性，且用等高線模擬了保角變換的計算結(jié)果.本算法同樣可以運用解決其它的多連通區(qū)域數(shù)值保角變換問題.

［1］曹偉杰.保形變換理論及其應用［M］.上海：上?？茖W技術(shù)文獻出版社，1988.

［2］朱滿座．數(shù)值保角變換及其在電磁理論中的應用［D］.西安：西安電子科技大學，2008.

［3］林為干.微波理論與技術(shù)［M］.北京：科學出版社，1979.

［4］Singer H.A charge simulation method for calculation of high voltage field［J］.IEEE Trans.Power App.Sys.，1974，9（3）：1660-1668.

［5］Amano K.Numerical conformal mappings of exterior domains based on the charge simulation method［J］.Trans.Inform.Proc.Soc.Japan，1998，29（1）：62-72（in Japanese）.

［6］Amano K.Numerical conformal mappings of interior domains based on the charge simulation method ［J］.Trans.Inform.Proc.Soc.Japan，1988，29（7）：697-699（in Japanese）.

［7］Amano K.A bidirectional method for numerical conformal mapping based on the charge simulation method［J］.Trans.Inform.Proc.Soc.Japan，1991，28（4）：473-482（in Japanese）.

［8］Amano K.Numerical conformal mapping of doubly-connected domains based on the charge simulation method［J］.Trans.Inform.Proc.Soc.Japan，1988，29（7）：914-919（in Japanese）.

［9］Golub G H，Van Loan C F.Matrix computation（4th ed.）［M］.北京：人民郵電出版社，2014.

［10］全忠，向淑晃.基于GMRES的多項式預處理廣義極小殘差法［J］.計算數(shù)學，2006（4）：365-376.

［11］潘春平，王紅玉，趙偉良.一種求解鞍點問題的廣義對稱超松弛迭代法［J］.數(shù)學雜志，2011，31（3）：569-574.

［12］Amano K.A charge simulation method for numerical conformal mapping of interior，exterior and doubly-connected domains［J］.Comput.Appl.Math.，1994，53（30）：353-370.

［13］Lu Y，Wu D，Wang Y，et al.The accuracy improvement of numerical conformal mapping using the modified Gram-Schmidt method［C］.19th Intern.Confer.Indus.Engin.Engin.Manag.，Berlin Heidelberg：Springer，2013：555-56.

［14］戴濟能，杜金元.單準周期的Riemann邊值問題［J］.數(shù)學雜志，2006，26（5）：579-584.

［15］Saad Y.A Flexible inner-outer preconditioned GMRES algorithm［J］.SIAM J.Sci.Comp.，1993，14（2）：461-469.

［16］Habu M，Nodera F.GMRES（m）algorithm with changing the restart cycle adaptively［C］.Proc. Alg.2000 Confer.Sci.Comp.，2000：254-263.

THE GMRES（M）METHOD FOR NUMERICAL CONFORMAL MAPPING OF DOUBLY-CONNECTED DOMAIN

LU Yi-bin1，LAI Fu-ming1，WANG Ying-zi2，WU De-an3
（1.School of Science，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China）
（2.Computer Center，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China）
（3.School of Mathematical Sciences，University of Electronic Science and Technology，Chengdu 611731，China）

In this paper，we study the GMRES（m）method for numerical conformal mapping based on charge simulation method of doubly-connected domain.In this method，using the GMRES（m）method which limited the number of Krylov subspace's maximum dimension，the linear equation of charge simulation method is solved，and the approximate conformal mapping function is constructed by using the charges and conformal mapping radius.Numerical results show that the proposed method is effective.

charge simulation method；doubly-connected domains；Krylov subspace；GMRES（m）method

MR（2010）主題分類號：65E05；30C30O241.85

A

0255-7797（2016）05-1028-07

2015-07-17接收日期：2016-01-19

國家自然科學基金資助（11461037）.

呂毅斌（1972-），男，黑龍江牡丹江，副教授，主要研究方向：科學計算和圖像處理.

王櫻子.

2010 MR Subject Classification：65E05；30C30