黃國和

(廣州市番禺區(qū)象賢中學(xué)，廣州511483)

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分式線性遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)
——問題Whc116的解決

黃國和

(廣州市番禺區(qū)象賢中學(xué)，廣州511483)

利用一個二階齊次線性遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出分式線性遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式，得出了分式線性遞歸數(shù)列有關(guān)項(xiàng)數(shù)的結(jié)論, 并給出了判定分式線性遞歸數(shù)列的斂散性與周期性的充要條件.

分式線性遞歸數(shù)列； 項(xiàng)數(shù)； 有窮； 收斂； 最小正周期； 周期數(shù)列

1　引　　言

近三十年來，對于分式線性遞歸數(shù)列{xn}

的通項(xiàng)公式與性質(zhì)的研究，有許多文章刊登在中等類或高等類的數(shù)學(xué)期刊上.但一些文章由于忽略或回避了討論它的項(xiàng)數(shù)出現(xiàn)有窮的情況，因此所得出的{xn}的斂散性與周期性的結(jié)論并不準(zhǔn)確.

實(shí)質(zhì)上, 1993年，文[2]提出的問題Whc116正是關(guān)于分式線性遞歸數(shù)列{xn}的項(xiàng)數(shù)問題：

設(shè)首項(xiàng)為x1的數(shù)列{xn}滿足

問x1，a，b，c，d滿足什么條件時(shí)，{xn}是n0項(xiàng)的有窮數(shù)列？n0有一個計(jì)數(shù)公式嗎？

二十多年來，一些文章對此做了有益的工作，其中文[3]給出了這一問題的一種解決途徑，但它的一些結(jié)論在具體應(yīng)用時(shí)不十分方便，文[4]給出了解決這一問題的一個結(jié)論，但它未能有機(jī)地嵌入到{xn}的斂散性與周期性的判定中.

另外，許多此類文章在研究{xn}的周期性時(shí)沒有甄別它出現(xiàn)常數(shù)數(shù)列的情況，因而得出它的周期性判定的結(jié)論也不準(zhǔn)確.

目前，一般是用不動點(diǎn)(特征根) 法、矩形法、換元法或構(gòu)造法推導(dǎo){xn}的通項(xiàng)公式，再利用推導(dǎo)出的通項(xiàng)公式研究它的性質(zhì). 本文將利用一個二階齊次線性遞歸數(shù)列，求出{xn}的通項(xiàng)公式的另一表達(dá)形式，并得出與{xn}的項(xiàng)數(shù)有關(guān)的結(jié)論，進(jìn)而給出{xn}的斂散性與周期性的確切的充要條件.

2　兩個引理

由

于是

由

即

于是

從而有

b2=b1+β，bn+2=bn+βbn+1，

3　分式線性遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式

以下，a+d≠0且ad≠bc時(shí)，記

δ<0 ，δ>4或δ為虛數(shù)時(shí)，記

0<δ<4時(shí)，記

于是有

定理1設(shè)數(shù)列{xn}首項(xiàng)為x1，且滿足

則數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式可表述如下

(i)ad=bc時(shí)

(ii)a+d=0時(shí)

(iii)δ<0，δ>4或δ為虛數(shù)時(shí)

(iv)δ=4時(shí)

(v)0<δ<4時(shí)

證(i)ad=bc時(shí)，

顯然成立;

(ii)a+d=0時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明

①n=1及n=2時(shí)顯然成立，

② 假設(shè)n=k時(shí)所證成立，則

k為奇數(shù)時(shí)，xk=x1，那么

即n=k+1時(shí)所證也成立.于是a+d=0時(shí)，{xn}的通項(xiàng)公式為

a+d≠0且ad≠bc時(shí)，令

于是由引理2即得定理1的(iii)，(iv)，(v).

4　關(guān)于分式線性遞歸數(shù)列的項(xiàng)數(shù).問題whc116的解決

定理2{xn}是項(xiàng)數(shù)為N(N≥2)的有窮數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下四個條件之一:

即

得a=0，I=bi，這與I2為虛數(shù)矛盾.

于是由定理1 即得

{xn}是項(xiàng)數(shù)為N(N≥2)的有窮數(shù)列

δ=4時(shí)，由定理1得

0<δ<4時(shí)，由定理1得

{xn}是項(xiàng)數(shù)為N的有窮數(shù)列 ?α·sinNθ+tanθ·cosNθ=0.

α·sinNθ+tanθ·cosNθ=0 ?α=-tanθ·cotNθ，

于是

有且共有q個不同值，要使{xn}是項(xiàng)數(shù)為N的有窮數(shù)列，必有

5　關(guān)于分式線性遞歸數(shù)列的斂散性與周期性

定理3當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下五個條件之一時(shí){xn}是常數(shù)數(shù)列:

(iii)δ=4，α=0；

(iv)δ<0 ，δ>4或δ為虛數(shù)，α=±I；

(v) 0<δ<4，α=±i·tanθ.

證由定理1，(i)，(ii)，(iii)顯然成立.

(iv)δ<0 ，δ>4或δ為虛數(shù)時(shí)，有I2≠1，即I≠±1，于是由定理1及定理2得

{xn}是常數(shù)數(shù)列 ? {xn}是無窮數(shù)列且x1=x2

(v) 0<δ<4時(shí)，{xn}是常數(shù)數(shù)列?{xn}是無窮數(shù)列且x1=x2

定理4當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下三個條件之一時(shí){xn}是收斂的無窮非常數(shù)數(shù)列:

(iii)δ<0，δ>4或δ為虛數(shù)，α≠±I且

此時(shí)

定理5(i) {xn}是常數(shù)數(shù)列的充要條件是

(ii) {xn}是以2為最小正周期的周期數(shù)列的充要條件是

(iii) {xn}是以q(q≥3，q∈+)為最小正周期的周期數(shù)列的充要條件是

且

證(i)是顯然的，(ii)可直接由定理1給出

xn+q≡xn

于是由定理3得

{xn}是以q(q≥3，q∈+)為最小正周期的周期數(shù)列

? α≠±itanθ，{xn}是無窮數(shù)列，且使sinqθ=0的q(q≥3，q∈+)為最小

因此，由定理2的(iv)即得定理5的(iii).

定理6可由定理2、定理3、定理4定理5直接得到.

定理7如果δ是大于0小于4且不等于1，2，3的有理數(shù)，α≠±i·tanθ，且對一切正整數(shù)n都有α≠-tanθ·cotnθ，那么{xn}是既不收斂也無周期的無窮數(shù)列.

6　應(yīng)用舉例

利用以上定理，可以構(gòu)造出任意指定性質(zhì)的分式線性遞歸數(shù)列.

例1求數(shù)列{xn}：

的通項(xiàng)公式，并指出其性質(zhì).

解由定理1得

(vii)x1=0，b=-8；(viii)x1=1,b=-2i.

解 由定理1得

例3由定理2得，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下四個條件之一時(shí){xn}是項(xiàng)數(shù)為100的有窮數(shù)列

(i)δ<0 ，δ>4或δ為虛數(shù)，且

例4由定理3得，滿足以下條件之一時(shí)，{xn}是常數(shù)數(shù)列:

例5由定理5得

(ii) {xn}是以4為最小正周期的周期數(shù)列的充要條件是δ=2，且α≠±i,±1,0；

(iii) {xn}是以6為最小正周期的周期數(shù)列的充要條件是δ=3，且

(iv) {xn}是以8為最小正周期的周期數(shù)列的充要條件是

(v) {xn}是以素?cái)?shù)q(q≥3)為最小正周期的周期數(shù)列的充要條件是

且

(*)

若n為正整數(shù)，則

k<-1時(shí)，

② -1

于是由定理2、定理4得

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GeneralTermFormulaofFractionalLinearRecursiveSequenceandtheNature——TheSolutionoftheProblemWhc116

HUANG Guo-he

(GuangzhouPanyuXiangxianHighSchool,Guangzhou511483,China)

Usingthegeneraltermformulasofasecond-orderhomogeneouslinearrecurrentsequences,theauthorfindsoutthegeneraltermformulasoffractionalrecurrentsequences,concludesrelatednumberofitemsofthefractionalrecurrentsequencesandgivesthenecessaryandsufficientconditionsfordeterminingconvergenceanddivergenceandperiodicityoffractionalrecurrentsequences.

fractionalrecurrentsequence;numberofterms;finiteness;convergence;minimalpositiveperiod;periodicseries

2015-12-26；[修改日期]2016-04-09

黃國和(1963-)，男，學(xué)士，廣州市番禺區(qū)象賢中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

Email：18028629950@163.com

Vol.32,№.3

COLLEGEMATHEMATICS

O171

C

1672-1454(2016)03-0117-10