陳　思，曾　培，周惠君，王思慧

(南京大學 物理學系，江蘇 南京　210093)

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激光雙光柵法測物體微小位移方法的改進與應用

陳思，曾培，周惠君，王思慧

(南京大學 物理學系，江蘇 南京210093)

從激光雙光柵測量微小位移實驗的基本原理出發(fā)，提出一種利用計算機程序進行函數(shù)反解和適當變換得到完整位移-時間圖像的方法，拓寬了雙光柵實驗方法的應用范圍；隨后以音叉的小振動實驗驗證了方法的可行性與合理性，再運用該方法對“高斯炮”的碰撞過程進行了探究，得到了其中磁鐵運動的速度-時間圖像.

雙光柵;還原運動圖像;音叉振動;高斯炮

激光雙光柵法測量物體的微小位移是面向本科生的大學物理實驗，其通過兩個相鄰光柵之間的相對位移產(chǎn)生光拍，通過記錄光電流隨時間變化圖像中每半個周期內(nèi)的波數(shù)來計算物體振動的振幅[1].然而，i-t圖上的信息卻遠不止如此，其包含了物體在整個振動過程中的所有運動信息.因此，還原物體的小振幅運動完整過程是一個有趣并富于應用價值的課題.如通過物體振動的具體x-t關(guān)系來研究各種非線性、非周期的振動.

本文提出了一種利用計算機程序反解的方法，通過求解電流信號的反余弦函數(shù)值并作適當基于物理的變換來提取i-t圖中的完整信息，成功地還原了物體的小振動圖像.我們還應用該方法對“高斯炮”發(fā)射過程中磁鐵的運動情況進行了研究.

1　基本原理與改進方法

一束激光垂直照射到沿Y方向運動的光柵上時，會發(fā)生頻移.我們用v(t)表示光柵的運動速度，用x(t)表示位移量，設光柵衍射角為θ.Y方向的位移量相應于出射光波相位的變化量為ΔΦ(t)：

(1)

由光柵方程式得

(2)

不妨假設在光電流接收到原來的激光時，固有相位為Φ0=ω0t+φ，那么經(jīng)過多普勒頻移后光強為

(3)

本實驗中，我們使兩片完全相同的光柵盡可能地緊貼，使后面一塊光柵運動，前面的光柵靜止，那么由式(3)可知激光經(jīng)過雙光柵之后的光強：

光束1E1=E10cos(ω0t+φ)

我們考慮兩束光的疊加.假設光電流的光電轉(zhuǎn)換常數(shù)為ξ.由于ω0本身值非常大，光電池無法檢測，最終只有兩個光頻的差值對應的光拍可以被檢測到.最終光電流的形式為

(4)

通常實驗[1]中在此舍棄了大多數(shù)信息，其通過對以上公式的簡單應用，試圖求出微弱振動的振幅：

式中F(t)為拍頻，即單位時間內(nèi)波的個數(shù).通過半個周期內(nèi)波數(shù)的測量，得到物體微小振動的振幅A.

事實上，可以通過直接反解式(4)來還原振動的x-t圖像.將式(4)變形如下：

(5)

然而，這種方法只對特定形式的物體運動有效，以下將說明該方法存在的問題.

2　實驗方法的初步驗證與完善

我們先利用模擬仿真的方法進行一定的理論分析.

理想情況下，音叉的小幅度振動應當滿足如下形式：

x(t)=Acos(ωt+θ)

代入式(5)，可得光電流信號的形式：

(6)

在式(6)中,我們將測到的光電流信號歸一化，并且定義

理想情況下的光電流信號應當如圖 1(上)，相應的實驗圖如圖 1(中).可見實驗圖像與理論是一致的.

圖1　理論上音叉受迫振動情況下光電流隨時間變化i-t圖像(上)與實驗記錄的i-t圖像(中)對比；直接反解的相位時間圖像(下)

我們將圖 1(上)中的信號作為我們的“模擬信號”，用式(5)來進行計算，得到的相位時間圖像如圖 1(下).

結(jié)果在Ψ=±π處發(fā)生了轉(zhuǎn)折，而這是不符合真實物理過程的.事實上，轉(zhuǎn)折點出現(xiàn)的位置都是arccos函數(shù)的多值分叉點.arccos函數(shù)是多值函數(shù)，當物體振幅過大，使Ψ的變化范圍超過[0,π)時，函數(shù)值就不再一一對應，見圖 2.基于以上問題，通過考慮反三角函數(shù)的多值修正，可以獲得真實的運動圖像.

圖2　直接反解圖像與實際圖像對比；arccos函數(shù)的多值修正(右上)

下面將以上修正應用于實驗數(shù)據(jù)的處理.在原來的實驗平臺基礎之上，我們將電流信號導入到電腦中，在采樣率較高的情況下(1 MHz)，記錄下音叉在502.8 Hz的振動頻率下光電流隨時間變化曲線如圖 3(右上).

我們對其用arccos函數(shù)直接反解，得到的結(jié)果如圖 3(右上).圖中果然出現(xiàn)了許多拐點.考慮反三角函數(shù)的多值修正以后，得到的最終處理圖如圖 3(下).

圖3　i-t圖像與直接反解圖像的結(jié)果(右上)；編程修正后的結(jié)果(下)

可見音叉的振動曲線符合正弦曲線的形狀.我們對修正后的曲線進行擬合，得出其頻率為503.2 Hz，實驗與理論值的相對誤差為0.08%，可見我們的計算方法是正確的.

3　“高斯炮”中的碰撞過程的應用

我們將以上的實驗方法應用于研究一個碰撞模型——“高斯炮”.在一個非磁性軌道上，放置一塊磁鐵，磁鐵一側(cè)排好一列相同的鋼球，磁鐵另一側(cè)也可以排列較少數(shù)量的鋼球，一個鋼球從鋼球少的一端接近裝置并發(fā)生碰撞，磁鐵另一側(cè)的最外邊的鋼球便會發(fā)射出去. 如圖 4(左上)

我們搭建的實驗平臺如圖 4(下). 我們在導軌上放置靜光柵，在磁鐵頂部粘附動光柵，并且調(diào)整兩個光柵之間的距離和角度為適當值，在磁鐵前側(cè)放置一個鋼球，后側(cè)放置4個鋼球，從前側(cè)打入鋼球進行實驗.

圖4　高斯炮原理示意圖(左上)；高斯炮實驗裝置示意圖(下)

最終得到的實驗i-t圖如圖 5(上)，虛線方框圈出的部分反映了高斯炮發(fā)射過程中磁鐵的運動，左邊為該局域放大圖.

圖5　高斯炮發(fā)射過程中i-t圖像以及局部數(shù)據(jù)(上)；高斯炮預處理后數(shù)據(jù)(下)

i-t圖并非上下對稱，并且出現(xiàn)了漂移.這時候的電流信號形式應修正為

其中，第二項直流項、第三項噪聲誤差項影響非常小.因此我們提取出交流信號并進行歸一化，結(jié)果如圖 5(下)所示.

應用上一節(jié)的算法處理信號，得到的x-t結(jié)果圖如圖 6. 可以看出，磁鐵的運動基本沿著同一方向進行，只是在方框處出現(xiàn)了一個明顯的先減速后加速的過程.

圖6　高斯炮的處理結(jié)果(x-t圖)

我們又在相同條件下重復了幾次實驗，為了將速度變化過程看得更清楚，我們對于處理后得到的x-t數(shù)據(jù)進行擬合，并進行微分，以得到相應的v-t圖，結(jié)果如圖 7所示.

圖7　高斯炮重復實驗的速度-時間圖

可以看到，速度的變化趨勢具有相同的規(guī)律，重復性非常高.這說明實驗的結(jié)果是可信的.從圖中也可以看出“高斯炮”實驗過程中磁鐵的運動規(guī)律：在高斯炮的運動過程中，存在一個磁鐵小球相互吸引加速，碰撞減速，再反向加速的過程.對于高斯炮碰撞后的運動現(xiàn)象，仍然有待進一步的討論.

4　總結(jié)

綜上，我們通過理論推導和算法改進，建立起了還原到物體運動圖像的方法.我們首先通過探究音叉的周期小振動驗證了我們整套方案的可行性和正確性；然后將我們的方法應用到非周期運動中，比如“高斯炮”的碰撞過程，初步還原出了磁鐵在整個高斯炮發(fā)射過程中的運動情況.

致謝：感謝南京大學物理基地人才培訓項目(0204131631)支持

[1]蘇為寧，王思慧，高文莉，等.大學物理實驗(理科)第二冊[M].南京:南京大學出版社,2014.

Improvement and application on method of measuring the tiny displacement with double-grating

CHEN Si, ZENG Pei, ZHOU Hui-jun, WANG Si-hui

(Department of Physics , Nanjing University, Nanjing, Jiangsu 210093, China)

Based on the double grating method of measuring tiny displacement, we have proposed a method to recover a complete picture of displacement versus time (x-tdiagram), and broadened the scope of its application. We verify our method with the measurement on the vibration of a tuning fork, and further extend this method to study the motion of the magnet during collision in Gaussian cannon.

double grating; recover diagram of motion; tuning fork vibration; Gaussian cannon

2014-09-12；

2015-08-02

南京大學物理基地人才培訓項目(0204131631)資助

陳思(1994—)，男，湖南瀏陽市人，南京大學物理學院2012級本科生.

周惠君，E-mail:zhouhuijun2000@163.com

O 434.19

A

1000- 0712(2016)01- 0053- 04