李 娜

滿模擬下的一些保持性*

李 娜

令F和F'是兩個(gè)模態(tài)框架,本文(不用對(duì)應(yīng)理論)首先證明當(dāng)f是F到F'上的滿同態(tài)時(shí),f具有一些保持性;第二,證明了如果Z是框架F到F'上的一個(gè)滿模擬,那么Z具有一些保持性質(zhì)。第三,證明了模擬的等價(jià)條件和互模擬的等價(jià)條件以及滿模擬和互模擬關(guān)系;第四,定義了生成子框架并證明了:如果F'是F的生成子框架,那么F'也具有一些保持性質(zhì);第五,定義了F和F'的不交并FF'并證明了它也具有一些保持性質(zhì)。最后,證明了任意的非空模型M與一個(gè)禁自返模型之間存在一個(gè)滿模擬。關(guān)鍵詞:滿同態(tài);滿模擬;互模擬;不交并

一、引言

數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家都很少孤立地考察兩個(gè)集合A和A′之間的關(guān)系。而是考察帶有運(yùn)算°和°′的兩個(gè)集合〈A,°〉和〈A′,°′〉，這樣的集合通常稱為結(jié)構(gòu)。他們不僅對(duì)不同結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系感興趣，而且還對(duì)結(jié)構(gòu)本身所具有的各種不同的性質(zhì)感興趣。他們研究哪些結(jié)構(gòu)的性質(zhì)在這樣的關(guān)系或運(yùn)算下保持？例如，如果兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)〈A,°〉與〈A′,°′〉是同態(tài)的，那么當(dāng)°滿足結(jié)合律時(shí)，°′也滿足結(jié)合律，并稱同態(tài)保持運(yùn)算的結(jié)合性。本文在模態(tài)邏輯的框架中討論，對(duì)于兩個(gè)框架(結(jié)構(gòu))F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉，在什么樣的條件下，當(dāng)R具有某種性質(zhì)φ時(shí)，R′也具有。特別地，給出比同態(tài)弱的概念——滿模擬關(guān)系，證明：當(dāng)R具有某些性質(zhì)φ時(shí)，R′也具有。即框架的自返性、對(duì)稱性、傳遞性、等價(jià)性、確定性、持續(xù)性、歐性、孤立性、稠密性等等在滿模擬下保持。

二、基本概念

定義1 設(shè)F=〈W,R〉是任意的一個(gè)二元組，F(xiàn)=〈W,R〉是一個(gè)框架，當(dāng)且僅當(dāng)，W是任意的一個(gè)非空集合，R是W上的任意的一個(gè)二元關(guān)系，即R?W×W。

定義2 令F=〈W，R〉是一個(gè)任意的框架，

(1)稱框架〈W,R〉是自返-框架，如果對(duì)于任意的w∈W，都有wRw。

(2)稱框架〈W,R〉是對(duì)稱-框架，如果對(duì)于任意的w,w′∈W，wRw′?w′Rw。

(3)稱框架〈W,R〉是傳遞-框架，如果對(duì)于任意的w,w′,w″∈W，wRw′并且w′Rw″?w′Rw″。

(4)稱框架〈W,R〉是等價(jià)-框架，如果R是自返的、對(duì)稱的和傳遞的。

(5)稱框架〈W,R〉是確定-框架，如果對(duì)于任意的w,w′,w″∈W，wRw′并且wRw″?w′=w″。

(6)稱框架〈W,R〉是持續(xù)-框架，如果對(duì)于任意的w∈W，存在u∈W使得wRu。

(7)稱框架〈W,R〉是歐性-框架，如果對(duì)于任意的u,v,w∈W，

uRv并且uRw?vRw或者wRv。

(8)稱框架〈W,R〉是孤立-框架，如果對(duì)于任意的x,a∈W，aRx?x=a。

(9)稱框架〈W,R〉是稠密-框架,如果對(duì)于任意的a,b∈W,aRb,存在一個(gè)x∈W使得

aRx并且xRb。

(10)稱框架〈W,R〉是樹狀-框架，如果對(duì)于任意a,b,c∈W使得

bRa并且cRa?bRc或者cRb。

(11)框架〈W,R〉的一個(gè)關(guān)系′是良基的,如果不存在如下的元素序列(ar|γ<ω)：

a0→a1→…→aγ→…(γ<ω)。

三、一些基本的保持性

定義3 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個(gè)框架。f是一個(gè)從W到W′的映射并且具有性質(zhì)：如果wRu那么f(w)R′f(u)(同態(tài)條件)，則稱f是框架F到框架F′的一個(gè)同態(tài)映射，記作 f：〈W,R〉→〈W′,R′〉。

定義4 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個(gè)框架。f是一個(gè)從W到W′的滿射并且具有性質(zhì)：對(duì)任意的w,u∈W，如果wRu，那么f(w)R′f(u)(同態(tài)條件)。則稱f是框架F到框架F′的一個(gè)滿同態(tài)并稱框架F和框架F′同態(tài)，記作 F～F′。如果存在一個(gè)從F到F′的一個(gè)雙射的同態(tài)，則稱F同構(gòu)于F′，記作F?F′。

在定義4中，f(R)={f(w)R′f(u)|wRu,對(duì)任意的w,u∈W}。

定理5 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個(gè)框架。若F～F′，則下面的結(jié)論(1)—(11)成立：

(1) 如果關(guān)系R在F中是自返的，那么關(guān)系R′在F′中也是自返的。

(2) 如果關(guān)系R在F中是對(duì)稱的，那么關(guān)系R′在F′中也是對(duì)稱的。

(3) 如果關(guān)系R在F中是傳遞的，那么關(guān)系R′在F′中也是傳遞的。

(4) 如果關(guān)系R在F中是等價(jià)的，那么關(guān)系R′在F′中也是等價(jià)的。

(5) 如果關(guān)系R在F中是確定的，那么關(guān)系R′在F′中也是確定的。

(6) 如果關(guān)系R在F中是持續(xù)的，那么關(guān)系R′在F′中也是持續(xù)的。

(7) 如果關(guān)系R在F中是歐性的，那么關(guān)系R′在F中也是歐性的。

(8) 如果關(guān)系R在F中是孤立的，那么關(guān)系R′在F′中也是孤立的。

(9) 如果關(guān)系R在F中是稠密的，那么關(guān)系R′在F′中也是稠密的。

(10)如果關(guān)系R在F中是樹狀的，那么關(guān)系R′在F′中也是樹狀的。

(11)如果轉(zhuǎn)換關(guān)系→在F中是傳遞的、良基的，那么轉(zhuǎn)換關(guān)系→′在F′中也是傳遞的、良基的。

證明因?yàn)镕～F′，所以，不妨設(shè)f是一個(gè)從W到W′的滿射并且滿足同態(tài)條件。

(1)對(duì)于任意的w′∈W′，因?yàn)閒是一個(gè)從W到W′的滿射，所以存在w∈W使得f(w)=w′。因?yàn)殛P(guān)系R在F中是自返的，即：wRw，再由f的同態(tài)性可得：f(w)R′f(w)。即：w′Rw′，故：關(guān)系R′在F′中也是自返的。

(2)對(duì)于任意的u′,v′∈W′，假設(shè)u′R′v′成立，因?yàn)閒是一個(gè)從W到W′的滿射，所以存在u,v∈W使得f(u)=u′并且f(v)=v′。由R′=f(R)可得：uRv。再由R的對(duì)稱性可得：vRu。再由R′=f(R)可得：f(v)R′f(u)。即：v′R′u′，故：關(guān)系R′在F′中是對(duì)稱的。

(3) 對(duì)于任意的u′,v′,w′∈W′，假設(shè)u′R′v′并且v′R′w′成立，因?yàn)閒是一個(gè)從W到W′的滿射，所以存在u,v,w∈W使得f(u)=u′并且f(v)=v′并且f(w)=w′。又因R′=f(R)，所以，uRv并且vRw成立。由R在F中是傳遞的可得：uRw。再由R′=f(R)可得：f(u)R′f(w)，即：u′R′w′。故：關(guān)系R′在F′中是傳遞的。

(4)由(1)-(3)可得。

(5)對(duì)于任意的u′,v′,w′∈W′，假設(shè)u′R′v′并且u′R′w′成立，因?yàn)閒是一個(gè)從W到W′的滿射，所以存在u,v,w∈W使得f(u)=u′并且f(v)=v′并且f(w)=w′。又因R′=f(R)，所以，uRv并且uRw成立。由R在F中是確定的可得：v=w。再由f是一個(gè)從W到W′的映射可得：f(v)=f(w)，即：v′=w′。故：關(guān)系R′在F′中是確定的。

(6)對(duì)于任意的u′∈W′，因?yàn)閒是一個(gè)從W到W′的滿射，所以存在u∈W使得f(u)=u′。因?yàn)镽是持續(xù)的，所以存在v∈W使得uRv成立。又因f是一個(gè)從W到W′的映射，所以f(v)∈W′。在利用uRv可得：f(u)R′f(v)。故：關(guān)系R′在F′中是持續(xù)的。

(7)對(duì)于任意的u′,v′,w′∈W′，假設(shè)u′R′v′并且u′R′w′成立，因?yàn)閒是一個(gè)從W到W′的滿射，所以存在u,v,w∈W使得f(u)=u′并且f(v)=v′并且f(w)=w′。又因R′=f(R)，所以，uRv并且uRw成立。由R是歐性的得：vRw或者wRv。由f是一個(gè)從W到W′的映射并且R′=f(R)可得：f(v)R′f(w)或者f(w)R′f(v)成立，即：v′R′w′或者w′R′v′。故：關(guān)系R′在F′中是歐性的。

(8)對(duì)于任意的a′,x′∈W′，假設(shè)a′R′x′成立，因?yàn)閒是一個(gè)從W到W′的滿射，所以存在a,x∈W使得f(a)=a′并且f(x)=x′。又因R′=f(R)，所以，aRx。由R在F中是孤立的可得：x=a。由f是一個(gè)從W到W′的映射可得：f(x)=f(a)，即：x′=a′。故：關(guān)系R′在F′中是孤立的。

(9)對(duì)于任意的a′,b′∈W′，假設(shè)a′R′b′成立，因?yàn)閒是一個(gè)從W到W′的滿射，所以存在a,b∈W使得f(a)=a′并且f(b)=b′。又因R′=f(R)，所以，aRb。因?yàn)镽在F中是稠密的，所以存在x∈W使得aRx并且xRb。又因R′=f(R)，所以，f(a)R′f(x)并且f(x)R′f(b)成立，即：a′R′x′并且x′R′b′。故：關(guān)系R′在F′中是稠密的。

(10)對(duì)于任意的a′,b′,c′∈W′，假設(shè)b′R′a′并且c′R′a′成立，因?yàn)閒是一個(gè)從W到W′的滿射，所以存在a,b,c∈W使得f(a)=a′并且f(b)=b′并且f(c)=c′。又因R′=f(R)，所以，bRa并且cRa。由R在F中是樹狀的可得：bRc或者cRb成立。因?yàn)镽′=f(R)，所以f(b)R′f(c)或者f(c)R′f(b)成立，即：b′R′c′或者c′R′b′。故：關(guān)系R′在F′中是樹狀的。

(11)由(3)可得傳遞性成立。假設(shè)在W′中存在如下的元素序列：

因?yàn)閒是一個(gè)從W到W′的滿射，所以存在W中的元素aγ∈W(γ<ω)使得f(aγ)=aγ′。又因→′=f(→)，所以有a0→a1→…→aγ→…(γ<ω)，此與已知矛盾。于是，在W′中不存在如下的元素序列：

故：轉(zhuǎn)換關(guān)系→′在F′中也是良基的。

推論6 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個(gè)框架。若F?F′，則定理5中的(1)—(11)成立。

證明由F′F′可得：F～F′。利用本節(jié)的定理5可得本推論的證明。

定義7 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個(gè)框架。令Z?W×W′是一個(gè)非空二元關(guān)系，如果W′的每一個(gè)元素w′至少由W中的一個(gè)元素w使得wZw′，那么稱Z為W到W′的滿關(guān)系。特別地，當(dāng)Z是集合W到集合W′上的一個(gè)映射時(shí)，并且W′的每一個(gè)元素w′至少由W中的一個(gè)元素w使得wZw′，那么Z叫做W到W′的滿射。

定義8 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個(gè)框架，令Z?W×W′是一個(gè)非空二元關(guān)系，如果下面的條件成立：

定義9 令F=〈W，R〉和F′=〈W′，R′〉是兩個(gè)框架，令Z?W×W′是一個(gè)非空的二元關(guān)系，如果下面的條件成立，則稱Z是從F到F′的一個(gè)互模擬。

(1)如果wZw′并且wRv，那么存在一個(gè)v′∈W′使得w′R′v′并且vZv′(向前條件)。

(2)如果wZw′并且w′R′v′，那么存在一個(gè)v∈W使得wRv并且vZv′(向后的條件)。

定理10 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個(gè)框架。令Z?W′W′是一個(gè)非空的二元關(guān)系，則下面的條件等價(jià)：

(1)Z是F到F′的一個(gè)模擬；

(2)Z(R)?R′，其中Z(R)={Z(w)R′Z(v)|wRv}。

證明(1)?(2)。設(shè)(Z(w),Z(v))∈Z(R)，因?yàn)閆是F到F′的一個(gè)模擬，由定義定義8得：如果wZw′并且對(duì)所有的v∈W，wRv，那么存在v′∈W′使得w′R′v′并且vZv′。由wZw′得：w′=Z(w)并且由vZv′得：v′=Z(v)。再由w′R′v′得：Z(w)R′Z(v)。故，Z(R)?R′。

(2)?(1)。如果wZw′并且對(duì)所有的v∈W，wRv，可得Z(w)R′Z(v)。取v′=Z(v)，即：w′R′v′并且vZv′。故，于Z是F到F′的一個(gè)模擬。

定理11 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個(gè)框架。令Z是W到W′的一個(gè)非空滿的二元關(guān)系，則下面的條件等價(jià)：

(1)Z是F到F′上的一個(gè)互模擬；

(2)Z(R)=R′，其中Z(R)={Z(w)R′Z(v)|wRv}；

證明(1)?(2)。因?yàn)閆是F到F′上的一個(gè)互模擬，由定義9的條件(1)可得：如果wRv，則Z(w)R′Z(v)；由定義9的條件(2)可得：如果Z(w)R′Z(v)，則wRv。

(2)?(1)。如果wZw′并且wRv，由(2)可得：Z(w)R′Z(v)。取v′=Z(v)∈W′并且w′=Z(w)，于是，w′R′v′并且vZv′。即：互模擬定義的條件(1)滿足。如果wZw′并且w′R′v′，取w′=Z(w)。由于Z是滿的，所以對(duì)于任意的v′∈W都存在v∈W使得v′=Z(v)。即：Z(w)R′Z(v)。由(2)可得：wRv。于是，互模擬定義的條件(2)滿足。

定理12 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個(gè)框架，并且令Z是W到W′的一個(gè)非空的二元關(guān)系，如果Z是F到F′上的一個(gè)滿模擬，那么Z是F到F′上的一個(gè)互模擬。

證明因?yàn)閆是F到F′上的一個(gè)模擬，由定義8，向前的條件成立；又因?yàn)閆是F到F′上的一個(gè)滿關(guān)系，所以對(duì)于任意的w′∈W′，都存在一個(gè)w∈W使得wZw′成立。如果wZw′并且w′R′v′，那么對(duì)于v′取存v∈W使得vZv′成立。因?yàn)閣′R′v′,即：Z(w)R′Z(v),所以wRv。因此，向后的條件。故，Z是F到F′上的一個(gè)互模擬。

由定理12可知：滿模擬關(guān)系要比互模擬關(guān)系強(qiáng)。但是，作者將(另文)利用對(duì)應(yīng)定理證明：在互模擬下，框架F=〈W,R〉具有性質(zhì)φ當(dāng)且僅當(dāng)框架F′=〈W′,R′〉也具有性質(zhì)φ。

令Z={(a,1),(b,2),(c,3),(d,3),(e,4),(f,5),(f,6)}，下圖是框架〈W，R〉到〈W′，R′〉的一個(gè)滿的互模擬。其中：W={a,b,c,d,e,f}，R={(a,b),(b,c),(b,d),(c,e),(d,e),(e,f)}，W(={1,2,3,4,5,6}，R(={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(4,6)}。

〈W,R〉 〈W′,R′〉

互模擬框架[1]

上圖中，Z是W到W′的一個(gè)滿的關(guān)系并且Z(R)={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(4,6)}=R′。

命題13(不用對(duì)應(yīng)理論) 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個(gè)框架。令Z是F到F′的一個(gè)滿模擬，那么定理5中的(1)—(11)成立。

證明(1)對(duì)于任意的w′∈W′，因?yàn)閆是F到F′的一個(gè)從W到W′的滿關(guān)系，所以存在w∈W使得wZw′。又因關(guān)系R在M中是自返的，所以wRw。由于Z是F到F′的模擬，由定義8，取v′=Z(w)=w′并且w′R′w′。故，關(guān)系R′在M′中也是自返的。

(2)對(duì)于任意的w′,v′∈W′,假設(shè)w′R′v′，因?yàn)閆是一個(gè)從W到W′的滿關(guān)系，所以，存在w,v∈W使得wZw′并且vZv′。因?yàn)镽是對(duì)稱的，所以，如果wRv，那么vRw。又因?yàn)閆是一個(gè)模擬，由vZv′并且vRw可得：存在w′∈W′使得wZw′并且v′R′w′。故，關(guān)系R′在F′中也是對(duì)稱的。

(3)對(duì)于任意的u′,w′,v′∈W′,假設(shè)u′R′w′并且w′R′v′，因?yàn)閆是一個(gè)從W到W′的滿關(guān)系，所以，存在u,w,v∈W使得uZu′并且wZw′并且vZv′。因?yàn)镽是傳遞的，所以，如果uRw并且wRv，那么uRv。又因?yàn)閆是一個(gè)模擬，由uZu′并且uRv可得：存在v′∈W′使得vZv′并且u′R′v′。故，關(guān)系R′在F′中也是傳遞的。

(4)由(1)-(3)可得。

(5)對(duì)于任意的u′,v′,w′∈W′，假設(shè)u′R′v′并且u′R′w′成立，因?yàn)閆是一個(gè)從W到W′的滿關(guān)系，所以存在u,v,w∈W使得uZu′并且wZw′并且vZv′。因?yàn)镽是確定的，所以，如果uRv并且uRw，那么v=w。又因?yàn)閆是一個(gè)模擬，由uZu′并且uRv(=w)可得：存在v′(=w′)∈W′使得u′R′v′(=w′)。即：v′=w′。故，R′是確定的。

′6)對(duì)于任意的w′∈W′,因?yàn)閆是一個(gè)從W到W′的滿關(guān)系，所以，存在w∈W使得wZw′。因?yàn)镽是持續(xù)的，所以，對(duì)于w∈W，存在u∈W使得wRu。因?yàn)閆是一個(gè)模擬，由wZw′并且wRu可得：存在u′∈W′使得w′R′u′。故，R′是持續(xù)的。

(7)對(duì)于任意的u′,v′,w′∈W′，假設(shè)u′R′v′并且u′R′w′成立，因?yàn)閆是一個(gè)從W到W′的滿關(guān)系，所以存在u,v,w∈W使得uZu′并且wZw′并且vZv′。因?yàn)镽是歐性的，所以，對(duì)于任意的u,v,w∈W，uRv并且uRw?vRw或者wRv。因?yàn)閆是一個(gè)模擬，由vZv′并且vRw可得：存在w′∈W′使得v′R′w′；或者，由wZw′并且wRv可得：存在v′∈W′使得w′R′v′。故，R′是歐性的。

(8)對(duì)于任意的x′,a′∈W′，如果a′R′x′成立，因?yàn)閆是一個(gè)從W到W′的滿關(guān)系，所以存在x,a∈W使得xZx′并且aZa′。因?yàn)镽是孤立的，所以，對(duì)于任意的x,a∈W，aRx?x=a。因?yàn)閤=a，所以，aRa。因?yàn)閆是一個(gè)模擬，由aZa′并且aRa可得：存在a′∈W′使得aZa′并且a′R′a′；由xZx′并且xRx可得：存在x′∈W′使得xZx′并且x′R′x′。由x′和a′的任意性可得：x′=a′。故，R′是孤立的。

(9)對(duì)于任意的a′,b′∈W′，假設(shè)a′R′b′成立，因?yàn)閆是一個(gè)從W到W′的滿關(guān)系，所以存在x,a∈W使得aZa′并且bZb′。因?yàn)镽是稠密的，所以，對(duì)于任意的a,b∈W,aRb,存在一個(gè)x∈W使得aRx并且xRb。因?yàn)閆是一個(gè)模擬，由aZa′并且aRx可得：存在x′∈W′使得a′R′x′；由xZx′并且xRb可得：存在b′∈W′使得x′R′b′。于是，任意的a′,b′∈W′，當(dāng)a′R′b′成立時(shí)，存在x′∈W′使得a′R′x′并且x′R′b′。故，R′是稠密的。

(10)對(duì)于任意的a′,b′,c′∈W′，如果b′R′a′并且c′R′a′成立，因?yàn)閆是一個(gè)從W到W′的滿關(guān)系，所以存在a,b,c∈W使得aZa′并且bZb′并且cZc′。因?yàn)镽是樹狀的，所以，對(duì)于任意a,b,c∈W，bRa并且cRa?bRc或者cRb。因?yàn)閆是一個(gè)模擬，由bZb′并且bRc可得：存在c′∈W′使得b′R′c′；或者，由cZc′并且cRb可得：存在b′∈W′使得c′R′b′。故，R′是樹狀的。

(11)對(duì)于任意的a0′,a1′,…,aγ′,…∈W′(γ<ω)，如果存在如下的元素序列(ar′|γ<ω)：

由于Z是一個(gè)從W到W′的滿關(guān)系，所以存在a0,a1,…,aγ,…∈W(γ<ω)使得a0Za0′并且a1Za1′并且…并且aγZaγ′…(γ<ω)。即：

Z(a0)→′Z(a1)→′…→′Z(aγ)→′… (γ<ω)

因?yàn)閆是一個(gè)模擬，由Z(→)?→′可得：是良基的，因此，不存在如下的元素序列(ar|(γ<ω)：

a0→a1→…→aγ→… (γ<ω)

此與→是良基的矛盾。故，→′是良基的。

定義14 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個(gè)框架。如果W′?W，R′是R在W′上的限制′即：R′=R∩(W′×W′)),那么稱F′是F的一個(gè)子框架。如果F′是F的一個(gè)子框架并且對(duì)所有的w∈W，下面的條件成立：

如果w∈W′并且Rwv，那么v∈W′，

定義16 令F1=〈W1,R1〉和F2=〈W2,R2〉是兩個(gè)框架。如果W1∩W2=?，稱框架F1和F2不相交。對(duì)于不相交的框架F1和F2，它們的不交并是F1F2=〈W,R〉，這里W=W1∪W2，R=R1∪R2。

命題17 令F1=〈W1,R1〉和F2=〈W2,R2〉是兩個(gè)框架。如果F1F2，那么定理5中的(1)—(11)成立。其中(11)滿足：如果轉(zhuǎn)換關(guān)系→在F1F2中是傳遞的、良基的，那么轉(zhuǎn)換關(guān)系→i在Fi中是傳遞的、良基的(i∈{0,1})。這里→=→1∪→2。

證明(1)對(duì)于任意的w1∈W1，因?yàn)閃=W1∪W2，所以w1∈W并且w1Rw1。因?yàn)镕1F2，所以，w1R1w1。即：關(guān)系R1在F1中是自返的。同理可證：關(guān)系R2在F2中是自返的。(2)-(11)的證明也類似。

四、滿模擬下的模型性

定義18 設(shè)〈W,R〉是任意的框架，V是〈W,R〉上對(duì)LPM公式的一個(gè)賦值，當(dāng)且僅當(dāng)，V是LPM公式集Form(LPM)與W的笛卡爾乘積Form(LPM)(W到集合{0,1}上的映射，即

V：Form(LPM)×W→{0,1}

并且滿足下面的條件：對(duì)任意的LPM公式φ，φ，ψ和任意的w∈W，

(1)如果φ是命題變項(xiàng)p，那么V(p,w)=1或者V(p,w)=0，且二者只居其一。

(3)如果φ是φ∨ψ，那么V(φ∨ψ,w)=0當(dāng)且僅當(dāng)V(φ,w)=0并且V(ψ,w)=0。

(4)如果φ是φ∧ψ，那么V(φ∧ψ,w)=1當(dāng)且僅當(dāng)V(φ,w)=1并且V(ψ,w)=1。

(5)如果φ是φ→ψ，那么V(φ→ψ,w)=0當(dāng)且僅當(dāng)V(φ,w)=1并且V(ψ,w)=0。

(6)如果φ是◇φ，那么V(◇φ,w)=1當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)w′∈W，若wRw′,則V(φ,w′)=1。

由定義18可得：

V(□φ,w)=1當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的w′∈W，若wRw′,則V(φ,w′)=1。

定義19 令M=〈W,R,V〉和M′=〈W′,R′,V′〉是兩個(gè)模型，令Z?W×W′是一個(gè)非空二元關(guān)系，如果下面的條件成立：

(1)對(duì)所有命題變項(xiàng)p，w∈V(p)當(dāng)且僅當(dāng)w′∈V′(p)；

定義20 令M=〈W,R,V〉和M′=〈W′,R′,V′〉是兩個(gè)模型，令Z是W到W′上的一個(gè)非空的二元關(guān)系，并且滿足定義19中的(1)和(2)以及下面的條件：

對(duì)于任意的w′∈W′，都存在一個(gè)w∈W使得wZw′成立，

則稱Z是從M到M′的一個(gè)滿模擬。

定理21 令M=〈W,R,V〉和M′=〈W′,R′,V′〉是兩個(gè)模型，并且令Z是W到W′的一個(gè)非空的二元關(guān)系，如果Z是M到M′上的一個(gè)滿模擬，那么Z是M到M′上的一個(gè)互模擬。

證明由定義19和定理20可得。

定理22 令M=〈W,R,V〉是任意的非空模型，則它與一個(gè)禁自返模型之間存在一個(gè)滿模

擬。

證明令M=〈W,R,V〉是已知模型，如果M本身是禁自返的，那么取M上的自同構(gòu)即可。如果M不是禁自返的，那么構(gòu)造模型M=〈W,R,V〉滿足：

(1)W=W+∪W-={w+|對(duì)每個(gè)w∈W}∪{w-|對(duì)每個(gè)w∈W}。

(2)R定義為：對(duì)每個(gè)w∈W，如果Rww，那么Rw+w-和Rw-w+，此時(shí)Rw+w+和Rw-w-不成立；對(duì)每個(gè)w∈W，如果并非Rww，那么Rw+w-和Rw-w+不成立，同時(shí)，Rw+w+和Rw-w-也不成立；對(duì)任意的w,w′∈W如果Rww′并且w≠w′，那么Rw+w′+,Rw-w′-,Rw+w′-,Rw-w′+。

(3)對(duì)所有命題變項(xiàng)p，w∈V(p)當(dāng)且僅當(dāng)w+∈V(p)或者w-∈V(p)；

顯然，模型M=〈W,R,V〉是禁自返的。現(xiàn)在定義從M到M上的一個(gè)關(guān)系：

Z={(w,α)|對(duì)于任意的w∈W存在α∈W使得σ=w+或者α=w-}，

現(xiàn)在只需驗(yàn)證：Z是從M到M上的一個(gè)滿模擬。

(1)根據(jù)V定義，對(duì)于每一個(gè)變?cè)猵和每一個(gè)w∈W，都有w∈V(p)?α∈V(p)，這里α=w+或者u=w-，因此Z滿足互模擬定義19的條件′1)。

′2)對(duì)于任意的w,w′∈W,wZα(α=w+或者α=w-)并且Rww′，如果w=w′，根據(jù)R定義可得：Rw+w-和Rw-w+。如果α=w+,則取Rw+w-，并且wZw-成立；如果α=w-，則取Rw-w+，并且wZw+成立。如果w≠w′,并且α=w+，因?yàn)镽ww′，根據(jù)R的定義可得：存在w′+(w′-)并且Rw+w′+(Rw+w′-)，由Z的定義可知：w′Zw′+(w′Zw′-)；如果w≠w′，并且α=w-，因?yàn)镽ww′，根據(jù)R定義可得：存在w′+(w′-)并且Rw-w′+(Rw-w′-)，由Z的定義可知：w′Zw′+(w′Zw′-)。因此，Z是W到W的一個(gè)模擬。

(3)由W的定義可知，對(duì)于每一個(gè)w∈W，都存在α∈W(α=w+或者α=w-)并且wZα，由此可得：Z是W到W上的一個(gè)模擬。反之，由Z的構(gòu)造可知：對(duì)于每一個(gè)α∈W(α=w+或者α=w-)，存在w∈W并且wZα，由此可得：Z是W到W上的一個(gè)滿模擬。

推論23 一個(gè)模型與一個(gè)禁自反模型之間存在一個(gè)互模擬。

證明由定理21和22可得。

[1]李娜等.互模擬的一些基本性質(zhì)[J].云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，(5).

責(zé)任編輯：陳 剛

PreservationundertheCircumstanceofFullSimulation

LI Na

With F and F’ as two modes, this paper studies the preservation for f, supposing it as an epimorphis from F to F, as well as some other logic values and transformations in terms of generation, framework and sub-frameworks and features.

epimorphism; full simulation; mutual simulation; disjoint

* 國(guó)家社科基金項(xiàng)目“超集、雙仿及其在模態(tài)邏輯計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用研究”[項(xiàng)目編號(hào)：08BZX049]。

B81

A

1003-6644(2016)05-0093-10作者李娜,女,漢族,河南開封人,碩士,南開大學(xué)哲學(xué)院教授(天津 300350)。