蘇華春

（福建省寧德市民族中學(xué)）

搭建數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)平臺促進(jìn)課堂教學(xué)思維優(yōu)化

蘇華春

（福建省寧德市民族中學(xué)）

結(jié)合教學(xué)實際，對新課程課堂教學(xué)中如何搭建數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)平臺，發(fā)展學(xué)生思維，提高數(shù)學(xué)的素養(yǎng)談一些體會。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；發(fā)展思維；實踐體會

新課標(biāo)版考試大綱在考查要求中指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各部分知識的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，要善于從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進(jìn)而通過分類、梳理、綜合，構(gòu)建數(shù)學(xué)試卷的框架結(jié)構(gòu)?！苯暝诟呖季砀峭怀隽烁髦R中數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，課堂關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)，經(jīng)歷過程、教少學(xué)多，成為有效教學(xué)的根本。

數(shù)學(xué)本質(zhì)屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)范疇，人們從不同的角度看數(shù)學(xué)，便對數(shù)學(xué)的本質(zhì)有不同的認(rèn)識。張奠宙教授在討論數(shù)學(xué)本質(zhì)時指出其內(nèi)涵是：數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系；數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程；數(shù)學(xué)思想方法的提煉；數(shù)學(xué)理性精神（依靠思維能力對感性材料進(jìn)行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理，這種認(rèn)識為理性認(rèn)識，重視理性認(rèn)識活動，以尋找事物的本質(zhì)、規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系，這種精神稱為理性精神）的體驗等方面。筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該通過數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、抽象、簡潔等的本質(zhì)特點(diǎn)，感受數(shù)學(xué)理性的精神力量，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，因此張教授對數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵的概述對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更具有指導(dǎo)意義。本文結(jié)合教學(xué)實踐對新課程課堂教學(xué)中如何搭建數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)平臺，發(fā)展學(xué)生思維，提高數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，談?wù)勛约旱囊恍┐譁\的體會。

一、搭建知識橫向聯(lián)系的平臺，完善學(xué)生知識組塊整合，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣泛性和靈活性

學(xué)生形成數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵在于所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗的結(jié)構(gòu)化程度。在日常教學(xué)實踐中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生平時對三基的學(xué)習(xí)是零散的、孤立的，認(rèn)知是“斷點(diǎn)”的，體現(xiàn)在問題的解決過程中聯(lián)系性、綜合性、靈活性都較弱，因此在教學(xué)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識間聯(lián)系的教學(xué)，促成學(xué)生知識與能力的轉(zhuǎn)化。新課程理念提供了對教材進(jìn)行二次加工的機(jī)會，在教學(xué)中，不能只關(guān)注于研究“怎么教”的問題，“教什么”也不能局限于教材上的內(nèi)容。為了提高對數(shù)學(xué)教材的理解水平，我們應(yīng)注意開闊視野，結(jié)合學(xué)生原有的學(xué)習(xí)實際情況，在學(xué)生已有的知識組塊間尋找教學(xué)銜接點(diǎn)，聯(lián)系擴(kuò)展到更寬的領(lǐng)域，促進(jìn)學(xué)生知識組塊整合。在聯(lián)系觀點(diǎn)指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，無論是新知識的引入和理解，還是鞏固和應(yīng)用，尤其是知識的復(fù)習(xí)和整理，應(yīng)多從知識間的聯(lián)系出發(fā)，幫助學(xué)生對所學(xué)過的知識有新的理解與認(rèn)識，幫助學(xué)生形成有序的知識體系，階段性完成知識模塊的重新組合，并在對新知識的理解中使學(xué)生的認(rèn)知水平、思維能力和分析解決問題的能力都得到提高。

案例1：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對數(shù)符號的認(rèn)識對中等以下的學(xué)生是個難點(diǎn)，在對數(shù)概念教學(xué)中我們可以通過提供以下兩個問題來引入對數(shù)的概念。

問題1：已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2%，求20年后國民生產(chǎn)總值是原來的多少倍？（解析：設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，則20年后國民生產(chǎn)總值y=（1+7.2%）20=1.07220，所以20年后國民生產(chǎn)總值是原來的1.07220倍.這是數(shù)學(xué)中知道底數(shù)和指數(shù)，求冪值的問題。）

問題2：已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2%，問經(jīng)過多少年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍？（解析：設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，需經(jīng)x年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍。列方程得:1. 072x=4。這是知道底數(shù)和冪值，求指數(shù)的問題，是上述問題的逆問題，為求對數(shù)的問題。）

在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生回顧初中為了解方程xn=N而引入開根號運(yùn)算（記作）、并拓展在解三角方程引入反三角符號等，讓學(xué)生理解引入數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)運(yùn)算常用的手法、是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然、抽象性、簡潔性的體現(xiàn)。通過橫向的符號引入上的聯(lián)系讓學(xué)生理解對數(shù)是一種新的運(yùn)算，一種知道底和冪值求指數(shù)的運(yùn)算，記作logaN。

案例2:在高三函數(shù)的復(fù)習(xí)研究中，我們在對“對勾函數(shù)”（fx）= x+（a＞0）的圖象與值域進(jìn)行研究時，通過引導(dǎo)學(xué)生用均值不等

式求其最值找拐點(diǎn)，從極限的觀點(diǎn)理解函數(shù)圖象有漸近線，用函數(shù)的圖象來理解它的單調(diào)性與最值，用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性與最值，并給出不同的定義域幫助學(xué)生理解它的適用范圍等，在知識的橫向聯(lián)系中建立知識網(wǎng)絡(luò)，溝通內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感受到認(rèn)識單一知識在數(shù)學(xué)知識體系中的“坐標(biāo)”作用，只有全面把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系，才能完善對知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

案例3：在用“化曲（折）為直”思想研究某動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和最小值時，我們讓學(xué)生研究：

2.已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，又有點(diǎn)A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值時P點(diǎn)的坐標(biāo)。

在研究第1小題的解法時，學(xué)生還很難展開解題思路，這時我們讓學(xué)生回憶若雙曲線改成直線，問題則為欲在直線上求一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和最小，學(xué)生在學(xué)習(xí)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的應(yīng)用問題時有對這類問題的解題經(jīng)驗，從而引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)在雙曲線的兩支之間，如何“化曲（折）為直”求|PA|+|PF|的最小值？通過一番思維的自我調(diào)控，學(xué)生會注意到P是雙曲線上的動點(diǎn)，從而由雙曲線的定義及兩點(diǎn)間線段最短可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF′|+ 2a≥|AF′|=5+4=9（F′為雙曲線的右焦點(diǎn)）；在解決第2小題時注意拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d，求|PA|+|PF|的問題可轉(zhuǎn)化為|PA|+d的問題，運(yùn)用三點(diǎn)共線可使問題得到解決。通過解題方法、解題時所應(yīng)考慮到的解題背景等在思路上的聯(lián)系，學(xué)生對“化曲（折）為直”研究折線段和最小值有了深刻的認(rèn)識，促進(jìn)知識與方法的遷移，思維的廣泛性與靈活性也得到培養(yǎng)。

進(jìn)而給出2009年四川理科高考選擇題：已知直線l1：4x-3y+ 6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是（）

二、搭建知識縱向聯(lián)系的平臺，加深學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)知識有嚴(yán)密的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常為了重視雙基的教學(xué)，在課堂教學(xué)與課后練習(xí)中都大篇幅地安排時間與精力促進(jìn)學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本方法的掌握、理解與鞏固。這樣培養(yǎng)的學(xué)生在知識與方法的淺層次應(yīng)用與理解上都較熟練，但遇到情景的變化和適當(dāng)?shù)某橄笈c綜合后，學(xué)生的解題能力往往無所適從。在日常的教學(xué)特別是復(fù)習(xí)教學(xué)中搭建知識的縱向、縱深聯(lián)系的平臺，對學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升都大有裨益。

案例4：數(shù)列的本質(zhì)是離散型的函數(shù)，在數(shù)列的通項的教學(xué)中學(xué)生可得一定的認(rèn)知，但對其從思想上的、方法上的本質(zhì)的認(rèn)識還有一定的距離。在教學(xué)中我們通過搭建從特殊到一般、從具體到抽象，從數(shù)到形的研究問題的情境平臺，讓學(xué)生向縱深、縱向的理解把握數(shù)列知識的本質(zhì)。

如等差數(shù)列教學(xué)中給出問題：“等差數(shù)列中，α3=9，α9=3，求α12”讓學(xué)生求解，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生探究：“等差數(shù)列中：若αm= n，αn=m則αm+n=0”成立嗎？在研究中讓學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想來思考，在研究中讓學(xué)生理解該問題實質(zhì)上是研究：過點(diǎn)P（m，n），Q（n，m）兩點(diǎn)的直線是否過點(diǎn)（m+n，0）？作出圖象實質(zhì)上就是看點(diǎn)與x軸交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是否為m+n，而我們易知，直線PQ的斜率為-1，在△AQF中，易知：FA=FQ=m，∴xA=m+n。問題得以肯定，從中也讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：該結(jié)論的本質(zhì)就是三點(diǎn)（m，n）、（n，m）、（m+n，0）共線的問題，在實踐中讓學(xué)生深刻理解等差數(shù)列的本質(zhì)就是一次函數(shù)，其圖象是一條直線。

再如，等差數(shù)列的前n項和Sn=na1+）d=n2+（a1-）n。可知：Sn是關(guān)于n的二次式，且無常數(shù)項。由此在解決問題“若Sm= S（nm≠n），求Sm+n”時引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)或轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)后由相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)研究解決。解法一：令（fx）=x2+（a1-）x，由Sm=Sn得（fm）=（fn），則x=為此二次函數(shù)圖象的對稱軸，因

此，（fm+n）=（f0）=0，即Sm+n=0。解法二：由Sn=d2n2+（a1-）n得=n+a1-，可知：Sn是關(guān)于n的一次式，則三點(diǎn)（m，），（n，n），（m+n，）共線，易求得Sm+n=0。

案例5：在空間幾何體中證明線面平行問題是考查證明空間平行問題的知識、方法的一個綜合問題，其本質(zhì)是證明線線平行問題，但由于學(xué)生的空間想象能力不足，在解題中常見學(xué)生“橫拿竹竿進(jìn)城門”，不得其要。在教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生理解線線平行的基礎(chǔ)是線線共面，關(guān)鍵在于理解在解題中應(yīng)在已知的平面中尋找與已知直線能確定一個平面的要素為突破口。

如在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。求證：AC1//平面CDB1。（如圖），解析：由直線AC1與點(diǎn)D確定一平面，考慮過點(diǎn)D找直線AC1的平行線，由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，聯(lián)想到連接BC1與B1C相交于點(diǎn)E，得點(diǎn)E是BC1的中點(diǎn)，從而DE//AC1。

三、搭建思想方法應(yīng)用提煉的平臺，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想內(nèi)化，培養(yǎng)學(xué)生理性的思維方法

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)體現(xiàn)，是對數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括，是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和文化、數(shù)學(xué)的精神和態(tài)度。運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題，可為分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題提供指導(dǎo)方針和解題策略，使得學(xué)生將許多零散的知識點(diǎn)建成一個有序的思維網(wǎng)絡(luò)，推動學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、分析問題和解決問題的能力以及數(shù)學(xué)探究與創(chuàng)新能力的發(fā)展。但學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷一個從模糊到了解到清楚，從有意識應(yīng)用到自然應(yīng)用的較長發(fā)展過程，需要在反復(fù)的體驗和實踐中才能逐漸認(rèn)識、理解、內(nèi)化為其內(nèi)在的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因而數(shù)學(xué)教學(xué)必須通過對數(shù)學(xué)知識的教學(xué)和適當(dāng)?shù)慕忸}活動搭建數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用提煉平臺來對學(xué)生產(chǎn)生潛移默化的影響。

案例6：函數(shù)思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題的能力不會因為學(xué)完函數(shù)的知識就能形成，需要在教學(xué)過程中抓住知識與思想方法的關(guān)聯(lián)處，不斷創(chuàng)設(shè)完整的函數(shù)思想使用、體驗、學(xué)習(xí)的機(jī)會，由淺入深，有啟發(fā)、有層次地展示函數(shù)思想方法解題的全過程，產(chǎn)生“潤物細(xì)無聲”的效果。

例：不等式x2-ax-2≤0對x∈［-1，1］恒成立時求實數(shù)a的取值范圍。這是一個含參數(shù)的不等式恒成立的問題，如何讓學(xué)生理解函數(shù)思想的應(yīng)用，從而培養(yǎng)函數(shù)思想的應(yīng)用意識呢？筆者在教學(xué)中先讓學(xué)生回顧不等式與函數(shù)的關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生想到解此題要把代數(shù)式x2-ax-2看作函數(shù)，記φ（x）=x2-ax-2，指出這是函數(shù)思想起作用。這樣使φ（x）≤0對x∈［-1，1］恒成立，只要φmax（x）≤0就可以了。所以問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)φ（x）在區(qū)間x∈［-1，1］上求最大值問題。而后用一元二次函數(shù)圖象與性質(zhì)來求得最大值則屬于函數(shù)知識與方法的應(yīng)用，屬于技能范疇，不是函數(shù)思想的體現(xiàn)。解決本題的關(guān)鍵在函數(shù)思想的應(yīng)用不在函數(shù)知識的應(yīng)用，讓學(xué)生體驗應(yīng)用函數(shù)思想解題的事實就是有沒有用函數(shù)和變量去思考，是一個想得到與想不到的問題，提高學(xué)生用函數(shù)思想解決問題的意識。

著名數(shù)學(xué)家克萊因說：“一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考”。一個學(xué)生僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數(shù)思想，才能主動去思考一些問題。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。這就要求我們在日常教學(xué)工作中將教學(xué)側(cè)重點(diǎn)轉(zhuǎn)移，“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，為學(xué)生思維發(fā)展而教”是為師之本，教學(xué)之道。在教學(xué)中我們應(yīng)努力幫助學(xué)生在知識的體系中認(rèn)識新的事物、新的知識，從發(fā)展思維的高度開展數(shù)學(xué)問題的解題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生懂得想、敢于想、善于想，使我們的課堂教學(xué)真正起到發(fā)展學(xué)生思維，提高數(shù)學(xué)的素養(yǎng)。

許志儒.新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)［N］.學(xué)知報，2010

·編輯李建軍