鄭潤華

最近，筆者給高三尖子生作函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊復(fù)習(xí)時遇到不少函數(shù)類壓軸小題，絕大部分試題要用到函數(shù)的圖象才能高效的突破.由于函數(shù)類壓軸小題在高考中的分值較大，通常都具有一定的難度，如果學(xué)生能把握好這些試題的解答，整張試卷得高分就成為可能.俗話說，得小題者得天下.本文略取兩個小題，還原高考的思維過程，探求在復(fù)習(xí)中該如何把握函數(shù)類問題的解法，體會數(shù)形結(jié)合思想在解題中的魅力.

一、試題再現(xiàn)

例1（2014年成都一診文數(shù)T10）已知函數(shù)fx= lnx ，1≤x≤4-2lnx，14≤x<1，若函數(shù)Fx=fx-kx在區(qū)間14，4上恰有一個零點，則k的取值范圍為

二、解法研究

例1試題平凡，題意清晰，以分段函數(shù)為載體，涉及分段函數(shù)的圖象、函數(shù)的零點、直線與曲線的交點個數(shù)，隱藏直線與曲線相切.根據(jù)“分段函數(shù)的圖象分段繪制”的原則，分別作出兩個區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象，如圖1.由函數(shù)的零點的定義得Fx=0，即fx=kx.此方程從函數(shù)與方程的角度來思考，即方程的根的個數(shù)是函數(shù)y=fx與y=kx的圖象交點個數(shù).于是，比較自然的思路是畫過原點的直線與曲線相交，此時需要計算y=kx與y=lnx相切時k的值.經(jīng)過簡單的計算（省略），當(dāng)直線與曲線相切時k=1e；當(dāng)直線過點14，4ln2時k=16ln2.若對例1作一個變式研究，自然是要討論k對函數(shù)Fx零點的個數(shù)的影響，這里留給讀者研討，不作贅述.

例2試題也較常規(guī)，但難度明顯大于例1，仍然以分段函數(shù)為載體，以圖象為突破口，不同之處是分界點未知，且區(qū)間是動態(tài)的（即第二段區(qū)間含有參數(shù)a）.筆者采取分步突破的辦法：一方面，先在每一段函數(shù)解析式有意義的前提下繪制出兩個部分的函數(shù)圖象；另一方面，根據(jù)分段點k和右端點a來截取部分圖象，使得此時的圖象所表示的函數(shù)值域為-1，1，如圖2所示.令x3-3x2+3=1解得x=1+3，又令log22-x=-1解得x=32，再通過圖象推算得2≤a≤1+3.

讀者必會有一個疑問是“存在一個分段點k使得值域為-1，1”中的 “存在”量詞如何理解呢？為了回答這個問題，筆者給出原試題的兩個變式，作了如下進(jìn)一步研究：

①若只把試題中的分段點k劃分到第一段區(qū)間，則a∈32，1+3；

②若只把試題中的“存在”量詞改為“對任意k∈0，a”，則a∈.

三、解法與學(xué)法反思

上面兩例僅涉及數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用，然而，數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中的滲透卻是方方面面的.下面從解法和學(xué)法兩個方面簡要闡述二者的聯(lián)系：

一方面，就解法而言，數(shù)形結(jié)合在處理函數(shù)問題時形象直觀、思路清晰、運算通常也比較簡便，尤其在處理函數(shù)類壓軸小題涉及零點、交點等問題時可減少分類討論，受到廣大師生的青睞，具有廣泛的應(yīng)用.另一方面，就學(xué)法而言，對學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)時提出了更高的要求，希望學(xué)生能從圖象的角度掌握函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性，周期性、單調(diào)性、凹凸性等.同時，能畫出基本函數(shù)的圖象更是深入學(xué)習(xí)其他復(fù)雜函數(shù)性質(zhì)的一把利器.只有畫好了函數(shù)的圖象才能在解題中無形的使用圖象，使數(shù)形結(jié)合思想貫穿在整個解題過程中.