江蘇省射陽(yáng)縣第六中學(xué)(224300)

陳廣州●

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構(gòu)造幾何圖形，巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題

江蘇省射陽(yáng)縣第六中學(xué)(224300)

陳廣州●

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決有賴(lài)于數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，一個(gè)好的數(shù)學(xué)方法可以幫助我們更快更順利的解決問(wèn)題.我們常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法有代數(shù)、算術(shù)等.圖形可以直觀地展示問(wèn)題，因此，通過(guò)幾何圖形來(lái)解題，是不錯(cuò)的切入點(diǎn)，在很大程度上可以簡(jiǎn)化解題步驟.基于此，我將通過(guò)實(shí)例，探討如何使用圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

一、巧解角的度數(shù)問(wèn)題

例1 在同一平面內(nèi)，若∠AOB=70°,∠BOC=15°，求∠AOC的度數(shù).

解析 下面是一位同學(xué)的解題過(guò)程，我們來(lái)看看是否正確.∠AOC=∠AOB-∠BOC=70°-15°=55°，則∠AOC=55°.答案正確，但用上述方法解題時(shí)造成了丟解的情形，此時(shí)圖形法的優(yōu)勢(shì)顯現(xiàn)了出來(lái).

我們可以畫(huà)出各個(gè)角的相對(duì)位置，那么在畫(huà)圖的時(shí)候我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，會(huì)有兩種情況，如圖所示，第二種情況就是∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+15°=85°，則∠AOC=85°.

對(duì)于忽略第二種答案的思維定勢(shì)，通過(guò)圖形的構(gòu)造打開(kāi)了思維，得到問(wèn)題的最終答案.圖形法在解題的同時(shí)提供給學(xué)生一個(gè)新的思考方式，可以激發(fā)學(xué)生的探索興趣.

二、巧證不等式問(wèn)題

例2 已知六個(gè)正數(shù)A、B、C、a、b、c滿(mǎn)足A+a=B+b=C+c=K,求證：aB+bC+cA

解析 如果只用代數(shù)或者算術(shù)知識(shí)很難解出此問(wèn)題，但是我們可以根據(jù)題中的條件構(gòu)造出一個(gè)邊長(zhǎng)為K的正三角形，然后再根據(jù)三角形的面積等關(guān)系解決此問(wèn)題.設(shè)△DEF是一個(gè)邊長(zhǎng)為K的等邊三角形，GHI各頂點(diǎn)分別為DE，EF，F(xiàn)D上的點(diǎn)，且DG=A，GE=a，EH=B，HF=b,FI=C，ID=c，如圖所示.

題中所給的等式條件與等邊三角形的三邊正好符合，三角形的圖形構(gòu)建就隨之而來(lái)，再運(yùn)用面積關(guān)系求解，這種構(gòu)造圖形的思路正是解此類(lèi)題目的精髓所在.

三、巧解比賽問(wèn)題

例3 五人進(jìn)行羽毛球單打比賽，已知A比賽4場(chǎng)，B比賽3場(chǎng)，C比賽2場(chǎng)，D比賽1場(chǎng)，那么E比賽幾場(chǎng)？

解析 此題憑借列式求解會(huì)相當(dāng)繁瑣，但只要我們換個(gè)角度，將文字描述轉(zhuǎn)化為二維圖形，便可輕松求解.

如圖所示只要我們畫(huà)出這個(gè)圖形，以平面內(nèi)任意三點(diǎn)之間的連線(xiàn)來(lái)表示一場(chǎng)比賽，那么此圖就是我們所求問(wèn)題的解.

此題中構(gòu)造圖形方法的神奇之處在于并沒(méi)有列式計(jì)算就得出了答案，在化繁為簡(jiǎn)的同時(shí)開(kāi)拓學(xué)生的思維，提高解題效率.

四、巧解人數(shù)問(wèn)題

例4 某班有50個(gè)人，會(huì)體操的有18人，會(huì)游泳的有27人，游泳體操都不會(huì)的有15人，那么即會(huì)體操又會(huì)游泳的有多少人.

解析 這是數(shù)學(xué)問(wèn)題在實(shí)際生活中的應(yīng)用，并不是所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都需要代數(shù)運(yùn)算，正如本文介紹的那樣，巧妙的構(gòu)造圖形可以讓計(jì)算更簡(jiǎn)便，思路更清晰.

畫(huà)出三個(gè)圓圈，分別代表本班的全部人數(shù)，會(huì)游泳的人數(shù)和會(huì)體操的人數(shù).這也是韋恩圖的正確使用方法.游泳體操都不會(huì)的有15人，那么至少會(huì)一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的有35人，則由圖可知兩項(xiàng)都會(huì)的有27+18-35=10人.

本題本身沒(méi)有幾何圖形，但是我們可以通過(guò)觀察，從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，構(gòu)造出一個(gè)圖形，使題中已知的數(shù)量關(guān)系在圖形上得到完美體現(xiàn)，用圖形關(guān)系解題.

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題并不是非要用代數(shù)方法來(lái)解決的，通過(guò)轉(zhuǎn)換思路，改變思維，在平面幾何的領(lǐng)域構(gòu)造出圖形，在鍛煉學(xué)生的創(chuàng)造力與想象力的同時(shí)加深對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，讓難以解決的問(wèn)題峰回路轉(zhuǎn).

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