安徽省蕪湖市鏡湖區(qū)教育局(241000)
吳定根●
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代數(shù)搭橋,巧算面積
安徽省蕪湖市鏡湖區(qū)教育局(241000)
吳定根●
馬克思說過:“代數(shù)是懶人的算術”.一語道破了代數(shù)解題的便捷性.學會用代數(shù)法解題,就好比掌握了解題的“金鑰匙”.
一些數(shù)量關系較為隱蔽的幾何圖形的面積計算,僅機械地應用幾個求積公式,是難以解答的.如果能運用代數(shù)思想,抓住問題與條件間的紐帶,充分利用已知條件中的數(shù)值,讓代數(shù)牽線搭橋,就可巧算面積.下面就是幾個很好的實例.
例1 已知圖中四分之一圓的面積為157cm2,求陰影部分的面積.
怎樣計算正方形面積,是解答本題的關鍵.可以1/4圓的面積157cm2為突破口,追本求源.借助代數(shù),將1/4圓的半徑(正方形邊長)設為rcm,其面積可表示為:πr2/4,先求出r2值. 因為πr2/4 = 157, 所以r2=157÷(1/4)÷3.14=200(cm2),而r2的值所表示的意義,不正是正方形面積嗎?這樣,問題就迎刃而解了,陰影部分的面積是: 200-157=43(cm2).
例2 已知右圖中的兩個正方形相差400 cm2.求圓A比圓B的面積多多少平方厘米.
乍看此題,好像這兩幅圖沒有直接關系.其實,題中的兩個正方形的面積差,已將本無直接關系的兩圖緊系在一起了.
從兩個正方形的關系入手,創(chuàng)設新的條件后,再解決兩圓面積差的問題.
令大正方形邊長為A圓的兩個半徑(2R),那大正方形的面積可表示為: 2R×2R=4R2. 再設小正方形邊長為B圓的兩個半徑(2r),那么小正方形面積可表示為: 2r×2r=4r2.由兩個正方形的面積差400cm2可知:4R2-4r2=4(R2-r2)=400, 那么,R2-r2=400÷4=100(cm2) .
這個條件的創(chuàng)設,為求兩個圓面積差鋪平了道路: 3.14×R2-3.14×r2=3.14×(R2-r2)=3.14×100=314(cm2)
例3 如圖,任意五邊形ABCDE的周長為64cm,O點到各邊的距離都是12cm,求五邊形ABCDE的面積.
例4 求右圖的面積.
例5 右圖長方形面積為35cm2,左邊直角三角形的面積為5cm2,右上角直角三角形面積為7cm2,求陰影部分的面積.
因此,圖中的陰影面積為:35-(7+5+7.5)=15.5(cm2)
以上各題都是抓住題中隱蔽條件的連接點,依據(jù)已知條件的數(shù)值,用代數(shù)法求出相關未知量的數(shù)值,以轉化條件,達到化難為易之目的,巧算面積.這里,代數(shù)僅起到橋梁作用,而并不需要求代數(shù)的解.可見,學會從代數(shù)的視角思考算術求積問題,讓代數(shù)與算術完美結合,確實是將復雜問題簡單化的有效策略.當然,上述各題也可以用其他方法解答.本文只是以此為例,談如何運用代數(shù)法求積而已.
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1008-0333(2016)23-0007-01