虞仁良
“平面圖形的認識(二)”核心概念解讀
虞仁良
一、三線八角
兩條直線被第三條直線所截形成8個角,它們構成了同位角、內錯角、同旁內角.
如圖1,直線a、b被直線l所截
①∠1和∠5分別在被截直線a、b的上方,并且都在截線l的同側,這樣的一對角稱為同位角.圖1中∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8也是同位角,
圖1
②∠4和∠6分別在被截直線a、b之間,并且在截線l的兩旁,這樣的一對角稱為內錯角.圖1中∠3和∠5也是內錯角,
③∠4和∠5分別在被截直線a、b之間,并且在截線l的同旁,這樣的一對角稱為同旁內角.圖1中∠3和∠6也是同旁內角,
正確理解、識別這三類角應注意以下幾點:
(1)識別三類角首先要抓住“三條線”,即:哪兩條直線被哪條直線所截.
(2)抓住截線,截線的同側有哪些角,從中找同位角和同旁內角,在截線的兩側找內錯角.
(3)三線八角描述的只是位置關系,而不是大小關系,切不可誤認為同位角、內錯角一定相等,同旁內角一定互補.
二、平行線的判定
(1)兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么兩直線平行.
簡單說成:同位角相等,兩直線平行.
如圖2,若∠1=∠2,則a∥b.
(2)兩條直線被第三條直線所截,如果內錯角相等,那么兩直線平行.
簡單說成:內錯角相等,兩直線平行.
如圖2,若∠3=∠4,則a∥b.
(3)兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內角互補,那么兩直線平行.
簡單說成:同旁內角互補,兩直線平行.
如圖2,若∠3+∠2=180°,則a∥b.
圖2
圖3
例1如圖3,(1)∵∠1=∠B,
∴_______∥_______().
(2)∵∠2=∠3,
∴_______∥_______().
(3)∵∠BAD+∠D=180°,
∴_______∥_______().
【答案】AD,BC,同位角相等,兩直線平行;AB,DC,內錯角相等,兩直線平行;AB,DC,同旁內角互補,兩直線平行.
【點評】在運用平行線的判定時,一定要看清楚是哪兩條直線被哪一條直線所截而成的同位角相等,或內錯角相等,或同旁內角互補,只有這樣才能正確判斷是哪兩條直線平行.
三、平行線的性質
(1)兩直線平行,同位角相等.如圖4,若a∥b,則∠1=∠2.
(2)兩直線平行,內錯角相等.如圖4,若a∥b,則∠3=∠4.
(3)兩直線平行,同旁內角互補.如圖4,若a∥b,則∠2+∠3=180°.
圖4
圖5
例2如圖5,DE∥AC,∠1=∠2,∠ABC=50°,將求∠FAB的過程填寫完整.
∵DE∥AC,
∴∠1=_______().
∵∠1=∠2,∴∠2=_______,
∴AF∥_______(),
∴∠ABC+_______=180°().
∵∠ABC=50°,∴∠FAB=_______.
【答案】∠C,兩直線平行,同位角相等,∠C,BC,內錯角相等,兩直線平行,∠FAB,兩直線平行,同旁內角互補,130°.
【點評】平行線的判定是由角的數(shù)量關系判斷兩直線的位置關系,平行線的性質是由平行關系來找角的數(shù)量關系.見到特殊位置的角相等或互補,就應該想一想是否有平行線,反之,遇到直線平行就應聯(lián)想到角相等或互補.
四、圖形的平移
在平面內,將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離,這樣的圖形運動叫作圖形的平移.
(1)圖形平移過程中的不變因素:形狀、大小.
(2)圖形平移的兩個要素:平移的方向、平移的距離.
(3)圖形平移的性質:一個圖形和它經過平移所得的圖形中,兩組對應點的連線平行(或在同一直線上)且相等.
五、三角形中的有關概念和性質
1.三角形的三邊關系:三角形的任意兩邊大于第三邊.
2.三角形的三線
(1)三角形的高:從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線,頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高.
①銳角三角形三條高都落在三角形的內部;直角三角形有兩條高恰好是它的兩條邊,另一條高在三角形的內部;鈍角三角形中,有兩條高在三角形的外部,另一條在三角形的內部.
②三角形的三條高或者它們的延長線交于一點.
(2)三角形的中線:在三角形中,連接一個頂點與它的對邊中點的線段,叫作三角形的中線.三角形的三條中線相交于一點.
(3)三角形的角平分線:在三角形中,一個內角的平分線與這個角的對邊相交,這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線.三角形的三條角平分線相交于一點.
例3下列長度的3根小木棒能搭成三角形嗎?
(1)3 cm,5 cm,10 cm(2)5 cm,4 cm,9 cm(3)4 cm,6 cm,9 cm【答案】(1)不能,∵3+5<10;(2)不能,∵5+4=9;(3)能,∵4+6>9.
【點評】判定給定三條線段能否構成一個三角形,看較小兩邊的和是否大于最長邊.
六、多邊形的內角和與外角和
n邊形的內角和等于(n-2)·180°;多邊形的外角和等于360°.
例4小明從點A出發(fā),沿直線前進10米后向左轉30°,再沿直線前進10米后向左轉30°……照這樣走下去,小明第一次回到出發(fā)點A,一共走了多少米?
【答案】120米.
【點評】由“多邊形的外角和公式”,可得小明走過的路線為十二邊形的周長,因此小明共走了120米.
江蘇省丹陽市華南實驗學校)