汪訓(xùn)洋　張鵬展

【摘要】泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)是科學(xué)與工程計(jì)算中的兩大重要數(shù)學(xué)工具，但對(duì)于初學(xué)者很難弄清兩者的細(xì)微差異從而影響它們?cè)诰唧w問(wèn)題中的正確應(yīng)用.本文，我們首先通過(guò)分別分析它們的定義指出二者的區(qū)別，繼而指出它們?cè)诳茖W(xué)計(jì)算中的不同作用.最后，我們列舉了二者若干相關(guān)應(yīng)用來(lái)結(jié)束本文.

【關(guān)鍵詞】比較教學(xué)法；泰勒公式；泰勒級(jí)數(shù)；科學(xué)計(jì)算

引言

比較教學(xué)法是教師在教學(xué)實(shí)踐中傳授的思維過(guò)程和方法，主要反映和確定不同教學(xué)內(nèi)容的差異和相似之處.其要素包括“比較”“對(duì)比”和“參照”.通常，包括三種類(lèi)型，即尋求共同點(diǎn)和差異比較，以及相似性比較.比較教學(xué)法的運(yùn)用有助于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的能力.正確運(yùn)用該方法可以幫助學(xué)生區(qū)分概念，提高分析的層次，并最終得出對(duì)問(wèn)題的理解與規(guī)律性認(rèn)識(shí).比較教學(xué)方法也應(yīng)用于物理、醫(yī)學(xué)、數(shù)學(xué)等諸多領(lǐng)域的教學(xué).本文將運(yùn)用比較教學(xué)法，探討泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)的異同點(diǎn)及其作用.

眾所周知，泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)均為古老的數(shù)學(xué)命題，它們首次被杰出的英國(guó)數(shù)學(xué)家Brook Taylor所提出并命名.它們?cè)诮朴?jì)算以及函數(shù)性質(zhì)研究[7，8]等方面發(fā)揮著極其重要的作用.我們注意到對(duì)二者的應(yīng)用已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了其初衷，換言之，它們不僅僅作為工具應(yīng)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它們更加被廣泛地應(yīng)用于某些應(yīng)用型學(xué)科，譬如力學(xué)、分析化學(xué)、計(jì)算物理等等.因此，它們都被作為大學(xué)生在學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)知識(shí)之前的先修內(nèi)容而出現(xiàn)在“高等數(shù)學(xué)”中，特別是對(duì)主攻科學(xué)與工程計(jì)算的學(xué)生尤為重要.然而遺憾的是，由于大學(xué)新生們知識(shí)相對(duì)匱缺、經(jīng)驗(yàn)不足，他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中很難辨別二者的細(xì)微差異，從而不能方便地應(yīng)用這兩個(gè)重要工具.在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí)，大學(xué)生們面臨如下實(shí)際問(wèn)題：泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系是什么？它們?cè)谖磥?lái)的學(xué)習(xí)中到底有何作用或者應(yīng)用？

本文結(jié)構(gòu)安排如下.下節(jié)，我們?cè)敿?xì)討論以上提出的兩個(gè)問(wèn)題，具體地講，我們將通過(guò)分析它們各自的定義來(lái)明確二者的差異并指出它們的作用與在各方面的應(yīng)用.最后，我們給出一些相關(guān)結(jié)論，并希望對(duì)學(xué)生有所啟發(fā)與幫助.

一、泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的比較

預(yù)備知識(shí)

為了方便后續(xù)討論，我們首先回顧相關(guān)的定義與重要的定理.

定義1假設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處存在直到n階導(dǎo)數(shù)，則我們稱(chēng)多項(xiàng)式

Tn（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）2/2！+…+f（n）（x0）（x-x0）n/n！

為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處展開(kāi)的n階泰勒多項(xiàng)式.

由定義1已知，泰勒多項(xiàng)式Tn（x）具有如下性質(zhì)：

f（k）（x0）=T（k）0（x0），k=0，1，2，…，n，

該性質(zhì)揭示了如下事實(shí)：在具體工程計(jì)算中，常常可用泰勒多項(xiàng)式來(lái)代替函數(shù)本身進(jìn)行處理.

定理1假設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處存在直到n階導(dǎo)數(shù)，則

f（x）=Tn（x）+o（x-x0）n，（1）

這里Tn（x）就是n階泰勒多項(xiàng)式.

公式（1）通常被稱(chēng)為泰勒公式，并頻繁地被用于各種數(shù)學(xué)證明.我們記Rn（x）=f（x）-Tn（x），稱(chēng)之為泰勒公式的余項(xiàng).余項(xiàng)Rn（x）有多種形式，譬如o（x-x0）n被稱(chēng)為Peano-型余項(xiàng)，確切地講，公式（1）應(yīng)當(dāng)被稱(chēng)著帶有Peano-型余項(xiàng)的泰勒公式.另一個(gè)常見(jiàn)形式為

f（n+1）（ξ）（x-x0）（n+1）/（n+1）！

被稱(chēng)為L(zhǎng)agrange-型余項(xiàng)，帶有此余項(xiàng)的泰勒公式形如

f（x）=Tn（x）+f（n+1）（ξ）（x-x0）n+1/（n+1）！，（2）

當(dāng)我們用Tn（x0）來(lái)近似函數(shù)值f（x0）時(shí)，它經(jīng)常被用于估計(jì)由此引起的誤差.公式（2）也常常被稱(chēng)為泰勒中值定理.

定義2假設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0無(wú)窮次可微，則無(wú)窮級(jí)數(shù)

f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）2/2！+…+f（n）（x0）（x-x0）n/n！+…

被稱(chēng)為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的泰勒級(jí)數(shù).

以下定理由Brook Taylor建立，它指出了泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的區(qū)別.

定理2假設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某個(gè)領(lǐng)域U（x0，r）存在各階導(dǎo)數(shù)，則在U（x0，r）內(nèi)，f（x）=∑∞n=0f（n）（x0）n?。▁-x0）n充要條件是limn∞Rn（x）=0，這里，Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）?。▁-x0）n+1為L(zhǎng)agrange-型余項(xiàng).

二、泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的區(qū)別、作用與應(yīng)用

我們首先來(lái)澄清這兩個(gè)相似概念中的細(xì)微區(qū)別.一般而言，計(jì)算一個(gè)已知函數(shù)在某個(gè)固定點(diǎn)處的近似值，其精度往往依賴(lài)于兩個(gè)方面.其一是函數(shù)自身的屬性，即當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)只能有限次求導(dǎo)時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)處不能展為無(wú)窮泰勒級(jí)數(shù)，我們只能利用有限項(xiàng)的泰勒公式來(lái)近似計(jì)算其函數(shù)值.其二是具體要求，如果僅僅需要有限近似，我們往往選擇泰勒公式進(jìn)行處理，這種情況經(jīng)常在多個(gè)領(lǐng)域的工程計(jì)算中會(huì)出現(xiàn).當(dāng)要求無(wú)限近似時(shí)，我們就選取泰勒級(jí)數(shù)，譬如在相關(guān)問(wèn)題的數(shù)學(xué)證明時(shí).

總而言之，我們有如下結(jié)論：泰勒公式常用于不要求足夠精度的近似計(jì)算，而泰勒級(jí)數(shù)是用于研究具有無(wú)窮可微性質(zhì)的函數(shù)，特別在函數(shù)性質(zhì)證明方面.

進(jìn)一步地，我們來(lái)討論二者在實(shí)際問(wèn)題與科學(xué)研究的共同作用，即它們?cè)诮朴?jì)算中的應(yīng)用.近似計(jì)算的本質(zhì)思想是用簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)代替相對(duì)復(fù)雜的一般的非線(xiàn)性函數(shù).為了闡述此思想，我們通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明如下.

例估算以下近似計(jì)算所引起的誤差：

（1+x）1/2≈1+x/2-x2/8，x∈[0，1].

由公式（2），易得

（1+x）1/2≈1+x/2-x2/8+…+（-1）n-1（2n-3）?。n/2nn！+（-1）n（2n-1）！?。?+θx）-n-1/2xn+1/2n+1（n+1）！，0<θ<1，

因此，若取n=2，則有

|R2（x）|=3|x3（1+θx）|-5/2/233！≤1/16（1+θ）-5/2≤1/16.

例題表明當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，我們用二階多項(xiàng)式1+x/2-x2/8去近似代替非線(xiàn)性函數(shù)（1+x）1/2的誤差不超過(guò)1/16.

實(shí)際上，泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)中還有以下廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)列舉如下.

（1）它們可用于計(jì)算極限問(wèn)題；

（2）在求解微分方程的解時(shí)，我們可以先驗(yàn)地假設(shè)存在無(wú)窮級(jí)數(shù)解，然后代回方程逐次確定各項(xiàng).即所謂的無(wú)窮級(jí)數(shù)解法；

（3）泰勒公式常常可用于證明不等式問(wèn)題；

（4）它們可以用來(lái)研究函數(shù)的極值相關(guān)等問(wèn)題，如凹凸性和拐點(diǎn)等；

（5）它們可以用來(lái)證明其他級(jí)數(shù)的斂散性.

當(dāng)然，它們還有很多其他方面的應(yīng)用，不一而足.而且，隨著學(xué)科的發(fā)展也許還會(huì)有一些新的突破性的應(yīng)用.最近泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)已經(jīng)被利用于研究多變量函數(shù)的性質(zhì)，請(qǐng)參閱Reshetnyak的工作.

三、結(jié)論

本文旨在幫助大學(xué)新生學(xué)習(xí)與理解泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的差異與作用.有鑒于此，我們首先介紹了二者最新的應(yīng)用以激發(fā)大家的學(xué)習(xí)興趣.然后，我們指出了二者的細(xì)微差別，即在近似計(jì)算的精度方面，泰勒公式是有限精度而泰勒級(jí)數(shù)是無(wú)限精度.此外，為了啟發(fā)大家的學(xué)習(xí)，我們還列舉出了二者的常見(jiàn)的應(yīng)用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王道俊，郭文安，主編.教育學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]James I.Remarkable Mathematicians：From Euler to von Neumann[M].Cambridge University Press，2003.

[3]Majid A，Somayeh K.A modification of Hes variational iteration method by Taylors series for solving second order nonlinear partial differential equations[J].Journal of Interpolation and Approximation in Scientific Computing，2013，1：1-7.

[4]Mansour M M，Spink A E F.Grid Refinement in Cartesian Coordinates for Groundwater Flow Models Using the Divergence Theorem and Taylors Series[J].Ground Water，2013，51（1）：66-75.

[5]Kenneth A C，David D P.Calculation of free ligand concentration by a Taylors series approximation in the study of molecular complex stability constants[J].Analytical Chemistry，1984，56（8）：1549-1550.

[6]Corliss G，Lowery D.Choosing a stepsize for Taylor series methods for solving ODES[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，1977，3（4）：251-256.

[7]Mohammad K A.Analysis of nonuniform transmission lines using Taylors series expansion[J].International Journal of RF and Microwave ComputerAided Engineering，2006，16（5）：536-544.

[8]Glaister P.Evaluating a Class of Series Using Taylors Theorem：Classroom Notes[J].International Journal of Mathematical Education in Science and Technology，2004，35（2）：286-296.

[9]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007（第六版）.

[10]Abramowitz M，Stegun A.Handbook of mathematical functions： with formulas，graphs，and mathematical tables [M].Springer，1972.

[11]Reshetnyak Y G.On Taylors formula for functions of several variables[J].2013，54（3）：566-573.