◎謝楚舒

高中數(shù)學中導數(shù)的概念及導數(shù)的應用

◎謝楚舒

在我們數(shù)學的學習中，導數(shù)是非常重要的基礎內容。高中教材中導數(shù)的引入給我們解決數(shù)學上的問題提供了新的視野，導數(shù)應用在高中數(shù)學中的很多領域。導數(shù)對我們來說不僅是普通的數(shù)學知識，它也是我們手中的一把利劍，它讓我們對函數(shù)性質的研究、函數(shù)極值最值的探求、曲線斜率等的求解提供了解決的途徑。

高中數(shù)學導數(shù)的基本概念總結

當自變量的增量Δx＝x-x0，此時Δx→0時函數(shù)增量Δy＝f（x）-f（x0）與自變量增量之比的極限是存在并且有限的，我們就可以稱函數(shù)f在x0點是可導，稱之為f在x0點的導數(shù)（變化率)。函數(shù)y＝f（x）在x0點的導數(shù)f'（x0）的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0［x0，f（x0）］點的切線的斜率（該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率就是該導數(shù)的幾何意義）。

一般情況下，我們判斷函數(shù)的增減性是利用函數(shù)的導數(shù)，設y＝f(x )在（a，b）內可導。如果在（a，b）內，f'（x）＞0，則f（x）在這個區(qū)間是單調遞增。如果在（a，b）內，f'（x）＜0，則f（x）在這個區(qū)間是單調遞減的。因此，當f'（x）=0時，y＝f(x )有極大值或極小值，極大值里最大的數(shù)就是最大值，極小值中最小的數(shù)就是最小值。對導數(shù)求解的步驟，一般如下：求函數(shù)y=f(x)在x0處導數(shù)的步驟： ① 求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ；② 求平均變化率；③ 取極限，得導數(shù)。

導數(shù)的應用

幾何方面的應用

在掌握導數(shù)概念的前提下，在函數(shù)圖像的基礎上來對導數(shù)的幾何意義進行研究是導數(shù)相關概念的擴展，也是導數(shù)內容中重要的知識。微積分中重要的基本概念就是導數(shù)，假設自變量的增量趨近于零，是因變量的增量比上自變量的增量的極限。假設一個函數(shù)可導或可以微分，那么這個函數(shù)一定是存在導數(shù)的?？梢郧髮У暮瘮?shù)一定是連續(xù)的，但是不連續(xù)的函數(shù)一定是不可以求導的。在幾何解析中，我們求曲線的切線時，我們只要知道曲線的方程y=f(X)和曲線上存在的任何一個點的坐標，我們來求這一點的切線方程時就可以對函數(shù)求導。求曲線的切線方程具體做法：第一，對導數(shù)進行求解，得到曲線在已知點的切線的斜率。第二，假設已知切線的斜率和對應切點的坐標，那么我們就利用點斜式來求切線方程。例如，已知曲線上點（1，2）和曲線y = xlnx，求此點所在的切線方程。解：對函數(shù)f(x) =xlnx求導得f'(x)=lnx+1，得到f(1) = lnl+1=1，所以在點(1，2)的切線方程為y-2=1(x-1)，即y=x+1，可得切線方程：y=x+1。從上題可以看出求解切線方程時，先求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)，就是曲線在已知點的切線斜率，在運用點斜式公式，就可得到切線方程。

在函數(shù)方面的應用

函數(shù)的單調性。判斷函數(shù)的增減性利用導數(shù)的符號，這是在對曲線變化規(guī)律進行研究時導數(shù)幾何意義的一個應用，數(shù)形結合的思想也被充分體現(xiàn)。一般情況下，假設在某個已知區(qū)間（a，b)內，假如f'(x)＞0，我們可以得到函數(shù)y=f(x)在（a，b）內單調遞增；同理，如果f'(x)＜0，那么函數(shù)y=f(x)在（a，b）內單調遞減。除此以外，還有f'(x)=0在某個區(qū)間恒存在，則f(x)則為常數(shù)函數(shù)。需要注意的是，在某個區(qū)間內f'(x)＞0是f(x)不是在此區(qū)間為增函數(shù)的必要條件，而是充分條件。如f(x)=x3在R內是增函數(shù)，但x=0時f'(x)=0。也就是說，如果已知增函數(shù)f(x)，答題就必須寫f'(x)≥0。對函數(shù)單調區(qū)間求解的步驟為：①確定f(x)的定義域；②求導數(shù)；③由解出相應的x的范圍。當f'(x)＞0時，f(x)在相應區(qū)間上是增函數(shù)；反之，當f'(x)＜0時，f(x)在相應區(qū)間上是減函數(shù)．

函數(shù)的極值。我們對函數(shù)極值求解的步驟一般是：第一要明確函數(shù)的定義域；第二求函數(shù)的導數(shù)；第三在定義域內求解所有的駐點與導數(shù)不存在的點，也就是求解方程的所有實根。第四，看駐點左右側的符號，如果左邊為正，右邊為負， f(x)的極大值就在這個根處。反之， f(x)極小值就在這個根處。

函數(shù)的最值。假設f(x)在［a，b］上的最大值（或最小值）是(a，b)內的一點，那么極大值（極小值）就是這個最大值（最小值），也就是說，它是 f(x)在(a，b)內所有的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是在［a，b］的端點a或b處也能取得極值，極值與最值的概念是不同的。求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的一般步驟為，第一求f(x)在(a，b)內的極值； 第二，將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中一個最大是最大值，最小的那個就是最小值。

利用導數(shù)解決實際優(yōu)化問題。生活中經(jīng)常遇到利用導數(shù)來求解實際的優(yōu)化問題，比如說求最大利潤，最省用料、最高效率等，我們將這些問題稱為優(yōu)化問題，其實就是最值問題。對這些問題進行解決是非常有現(xiàn)實意義的，這些問題一般都可以轉化成我們所學的函數(shù)問題，然后對函數(shù)的最大或最小值進行求解。

從以上的敘述中可以看出，在應對復雜的問題時使用導數(shù)，感覺比較容易，計算過程也比較簡便，其實這就是對求導公式和求導法則的考察。我們要掌握好關于導數(shù)的概念，將導數(shù)與其他知識相結合，來用簡單的方法解決復雜的問題。

（作者單位：湘陰縣第一中學）