丁 銳，Yan Ping Xin

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中美小學(xué)數(shù)學(xué)教材的比較研究——以三年級“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”為例

丁 銳1，Yan Ping Xin2

（1．東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林長春 130024；2．美國普渡大學(xué)教育學(xué)院，西拉法葉 47907）

對比美國的（簡稱）和中國人教版兩個版本的三年級小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有關(guān)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”部分（主要包括分?jǐn)?shù)的引入、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)的大小比較等）的編寫依據(jù)、主題、內(nèi)容設(shè)計、組織結(jié)構(gòu)和核心概念及規(guī)律的呈現(xiàn)方式等．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，美國的教材在三年級“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”部分強調(diào)不同的分?jǐn)?shù)模型，比較忽視對分母、分子意義的理解；重視概念和規(guī)律的嚴(yán)謹(jǐn)性/完整性，但較少鼓勵學(xué)生探究；同時，該教材注重不同的表征和方法，但是內(nèi)容之間缺少較為緊密的聯(lián)系．相比較來說，人教版數(shù)學(xué)教材在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”部分則更強調(diào)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的基本意義（整體、分子、分母）的理解，而不是不同模型的介紹；強調(diào)通過直觀和操作幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)的概念，進行大小比較；鼓勵學(xué)生對規(guī)律進行探索和總結(jié)，重視計算和運算規(guī)律；內(nèi)容設(shè)計由淺入深、邏輯聯(lián)系緊密．

教材比較；小學(xué)數(shù)學(xué)；分?jǐn)?shù)的意義；分?jǐn)?shù)模型

1 問題提出

近年來，由于上海在2009和2012年兩次PISA測試中名列前茅，各國的教育研究者對“儒家文化圈”（尤其是中國）教育的關(guān)注再次升溫．教科書的比較研究成了解釋東西方教育差異的重要視角．由于分?jǐn)?shù)是小學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識的一次重要擴充，所以分?jǐn)?shù)部分一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較的熱點．研究者們對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)[1]、分?jǐn)?shù)的概念體系[2]、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系[3]、分?jǐn)?shù)的加減法[4]、分?jǐn)?shù)的乘除法[5~7]等都做了比較研究．其中Charalambos等（2010）的教材比較研究采用了橫向和縱向兩個大維度，橫向包括背景信息和整體結(jié)構(gòu)兩個部分，縱向包括與學(xué)生交流、對學(xué)生的要求以及聯(lián)系3個方面[4]．Li, Chen, & An（2009）從宏觀和微觀兩個維度進行教材比較，宏觀維度主要包括以前的章節(jié)內(nèi)容、頁數(shù)、教材整體的內(nèi)容安排、教材焦點內(nèi)容的組織結(jié)構(gòu)；微觀維度主要是指數(shù)學(xué)的概念化，包括內(nèi)容的引入、例子的類型、復(fù)雜程度和呈現(xiàn)方式，以及練習(xí)題的類型和個數(shù)等[5]．另外，教材的編寫依據(jù)是教材比較的基礎(chǔ)，而主要核心概念和規(guī)律的呈現(xiàn)方式更能反映教材編者的基本理念，因此，研究者從編寫依據(jù)、主題、內(nèi)容設(shè)計、組織結(jié)構(gòu)、核心概念和規(guī)律的呈現(xiàn)方式5個方面來對中國人教版和美國的enVision兩個版本的三年級教材中有關(guān)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”部分的內(nèi)容進行比較．

2 研究方法

2.1 研究方法

研究主要采用內(nèi)容分析法，分析框架主要包括5個方面：編寫依據(jù)（課程標(biāo)準(zhǔn)的要求）；主題（主要內(nèi)容、與其它相關(guān)內(nèi)容的關(guān)系）；內(nèi)容設(shè)計（呈現(xiàn)方式、主要內(nèi)容的設(shè)計等）；組織結(jié)構(gòu)（內(nèi)容順序、結(jié)構(gòu)）；核心概念和規(guī)律（概念和規(guī)律的個數(shù)、呈現(xiàn)方式、要求）．

2.2 研究內(nèi)容

研究主要選取了三年級的“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”這個內(nèi)容，主要是因為無論在中國還是美國，第一次比較系統(tǒng)的認(rèn)識分?jǐn)?shù)都是在三年級，是后面相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)．因此，研究者認(rèn)為通過這個內(nèi)容的比較，不但可以看出兩個教材的編者對分?jǐn)?shù)是如何理解的，更能夠透過這樣一個比較來發(fā)現(xiàn)兩個教育體系對類似問題的處理有何不同．具體地說，比較的內(nèi)容主要包括分?jǐn)?shù)的引入、分?jǐn)?shù)的大小比較、分?jǐn)?shù)意義的理解等．同時，為了說明該部分內(nèi)容與其它相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，也對兩個教材的其它年級有關(guān)分?jǐn)?shù)的內(nèi)容進行了簡單的整理和比較．

2.3 研究材料

比較了美國的（后面簡寫為）和人教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材．

其中，是美國Pearson公司2012年出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材[8]，該教材是根據(jù)美國2010年公布的《共同核心課程標(biāo)準(zhǔn)（）》（后面簡稱）編制的．教材是目前美國大陸非常有競爭力的一個教材，有超過600萬美國兒童在使用該教材[9]，約占美國全國兒童人口的十分之一．

參與比較的另外一個版本的教材是人教社2014年出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，該教材依據(jù)修訂后的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）編制[10]．

3 研究結(jié)果

3.1 兩個版本教材三年級“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”部分編寫依據(jù)的比較

兩個版本的教材都是在三年級第一次正式出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的內(nèi)容，教材在三年級有兩章內(nèi)容與分?jǐn)?shù)有關(guān)，第九章是“理解分?jǐn)?shù)”，第十章是“分?jǐn)?shù)的比較和等值”．而人教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材在三年級安排了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”．

的編寫依據(jù)是[11]，而人教版教材依據(jù)的是《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》[12]．表1展示了兩個版本教材所依據(jù)的課程標(biāo)準(zhǔn)對相關(guān)內(nèi)容的要求．

表1 EVM和人教版教材有關(guān)三年級“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”編寫依據(jù)的比較

相對來說，中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求更簡潔明了，而的內(nèi)容要求更為詳盡；中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段有關(guān)分?jǐn)?shù)的要求非常低，只要求學(xué)生“結(jié)合具體情境，初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)”，而要求比較全面的理解分?jǐn)?shù)的意義，不僅包括“部分—整體”模型，還包括分?jǐn)?shù)的數(shù)軸模型；在三年級只有分?jǐn)?shù)比較的內(nèi)容，沒有分?jǐn)?shù)計算的內(nèi)容，而人教版則不但包括同分母分?jǐn)?shù)的比較，還包括簡單同分母分?jǐn)?shù)的加減法．中對于分?jǐn)?shù)比較的內(nèi)容也非常豐富，不但涉及同分母分?jǐn)?shù)的比較，同分子分?jǐn)?shù)的比較，還涉及在數(shù)軸上尋找等值分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)和整數(shù)的關(guān)系，并且強調(diào)用推理的方式來驗證自己判斷的合理性，但是沒有關(guān)于分?jǐn)?shù)計算的內(nèi)容．

總的來說，更強調(diào)“理解分?jǐn)?shù)也是數(shù)”，也就是分?jǐn)?shù)的測量意義，并在此基礎(chǔ)進行分?jǐn)?shù)的比較，理解等值分?jǐn)?shù)；而《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中相關(guān)的要求更強調(diào)“初步”，要求結(jié)合具體情境來認(rèn)識分?jǐn)?shù)，并進行分母小于10的同分母分?jǐn)?shù)的加減計算．

3.2 兩個版本教材中有關(guān)分?jǐn)?shù)的主題和內(nèi)容的比較

表2呈現(xiàn)了兩個版本教材中有關(guān)分?jǐn)?shù)內(nèi)容的安排．表3則稍微詳細(xì)地比較了三年級“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”的內(nèi)容．

表2 EVM和人教版教材有關(guān)分?jǐn)?shù)內(nèi)容的安排

注：由于部分內(nèi)容和本研究的相關(guān)不大，所以未展開

由表2看到，兩個教材在年級安排、選擇主題、內(nèi)容順序等方面均有顯著的差異．

教材幾乎在每個年級都安排了分?jǐn)?shù)的內(nèi)容，而且有些內(nèi)容多次涉及，比如等值分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系、分?jǐn)?shù)的計算等（當(dāng)然每個年級所學(xué)的內(nèi)容逐步加深），但是對于分?jǐn)?shù)的意義的理解卻幾乎在三年級一次性完成的，包括了面積模型、線段模型、群體模型和數(shù)軸模型；而人教版教材中二年級、四年級都幾乎沒有分?jǐn)?shù)的內(nèi)容，在其他年級分?jǐn)?shù)相關(guān)內(nèi)容大部分只涉及一次，只是分?jǐn)?shù)的加減法在三年級有一次簡單計算（分母為10以內(nèi)的同分母的分?jǐn)?shù)），在五年級有一次系統(tǒng)學(xué)習(xí)（同分母、異分母都有），而分?jǐn)?shù)的意義則分為兩個水平的學(xué)習(xí)，第一次是三年級的初步認(rèn)識，第二次是五年級的系統(tǒng)的對分?jǐn)?shù)意義的理解，幾乎包含了分?jǐn)?shù)意義的所有方面．相對于，人教版對其他很多內(nèi)容的處理則都是一次性的，比如，在學(xué)習(xí)了約分和通分之后，一次性學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化，而不是像一樣分為幾個階段、不同水平的互化．總的來說，盡管人教版教材加入了數(shù)軸模型的內(nèi)容，但仍較為忽視對分?jǐn)?shù)的測量意義的學(xué)習(xí)，所以學(xué)生是否能夠建立起完整的“分?jǐn)?shù)”概念，是否會忽視分?jǐn)?shù)本身也是一個絕對的數(shù)值[14]，仍然是值得進一步研究的問題．

從選擇的主題和內(nèi)容看來，的內(nèi)容比較全面，不但包括分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)的大小比較、等值分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的計算，也非常強調(diào)分?jǐn)?shù)與數(shù)（整數(shù)、小數(shù)）的關(guān)系（甚至還有一章是關(guān)于如何從分?jǐn)?shù)的概念擴展到小數(shù)的概念），并且還有一些人教版教材幾乎沒有出現(xiàn)的內(nèi)容，比如基準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，利用基準(zhǔn)分?jǐn)?shù)來估計和比較分?jǐn)?shù)大小．有研究者認(rèn)為由于分?jǐn)?shù)在從整數(shù)擴充到有理數(shù)，再由有理數(shù)擴充到實數(shù)的過程中，起到非常關(guān)鍵的作用，因此小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有關(guān)分?jǐn)?shù)和小數(shù)部分的內(nèi)容的安排上，應(yīng)該充分考慮分?jǐn)?shù)與整數(shù)以及小數(shù)的關(guān)系[3，15]，這對學(xué)生建立完整的數(shù)概念有重要的作用．

同時，對于同樣一個主題，兩個教材的處理也很不同．對于一些重要內(nèi)容會列舉各種情況，比如在三年級分?jǐn)?shù)的大小比較和排序的這一章，不但介紹了如何使用模型進行同分母分?jǐn)?shù)、同分子分?jǐn)?shù)的大小比較，還有使用基準(zhǔn)分?jǐn)?shù)比較，使用數(shù)軸進行比較等．而人教版則只在認(rèn)識幾分之一、幾分之幾的同時，利用直觀模型學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)大小比較的內(nèi)容，排序則只在練習(xí)中出現(xiàn)，并沒有像那樣試圖呈現(xiàn)所有的模型和方式．

盡管在年級之間傾向于螺旋設(shè)計，但是在每個年級的內(nèi)容設(shè)計中，卻傾向于水平設(shè)計，也就是每個年級的有關(guān)分?jǐn)?shù)的內(nèi)容之間較少層層深入的設(shè)計，而比較多的是同水平的內(nèi)容，并且每一種方法都需要一節(jié)課的時間來學(xué)習(xí)，比如，三年級的分?jǐn)?shù)的意義，就涉及到分?jǐn)?shù)與面積、分?jǐn)?shù)和群體、分?jǐn)?shù)和數(shù)軸、分?jǐn)?shù)和線段等；而分?jǐn)?shù)的大小比較等，則涉及使用模型比較（同分母、同分子）、使用基準(zhǔn)分?jǐn)?shù)比較和使用數(shù)軸比較等．相對的，人教版的教材中沒有羅列這么多的內(nèi)容，卻傾向于圍繞一個內(nèi)容，展開越來越深入的學(xué)習(xí)．比如，在三年級的內(nèi)容中，人教版并沒有列出專門的一節(jié)課來學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的大小比較，但是卻在認(rèn)識簡單分?jǐn)?shù)（幾分之一、幾分之幾）的同時，讓學(xué)生通過直觀的物體和圖形來學(xué)習(xí)同分子和同分母分?jǐn)?shù)的大小比較的內(nèi)容；在學(xué)習(xí)分子意義的同時，了解分?jǐn)?shù)單位，為后面的分?jǐn)?shù)計算做好鋪墊．

3.3 兩個教材三年級有關(guān)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”的呈現(xiàn)形式及內(nèi)容比較

表3呈現(xiàn)了兩個版本教材每節(jié)課的設(shè)計方式，通常，每節(jié)課只有一個例題，而人教版每節(jié)課通常有2~5個連續(xù)的逐層深入的例題，后面還有一個“做一做”，也是對前面學(xué)習(xí)內(nèi)容的擴展．

表3 兩個版本教材的新課呈現(xiàn)形式

表4詳細(xì)的比較了兩個版本教材三年級有關(guān)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”的內(nèi)容，通常的教材每節(jié)課都是圍繞例題展開的，所以這里面也只列了每節(jié)課的例題的內(nèi)容；而人教版節(jié)數(shù)比較少，但是每節(jié)課的內(nèi)容非常豐富，通常包含幾個例題，做一做的內(nèi)容也是對所學(xué)內(nèi)容的深入學(xué)習(xí)，所以，會比較詳細(xì)地列出人教版的例題以及做一做的內(nèi)容．同時，為了比較的方便，還在教材內(nèi)容后面附上一些“解讀”，幫助理解教材編者設(shè)計的意圖．

表4 EVM和人教版教材三年級有關(guān)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”內(nèi)容的比較

表4詳細(xì)展示了兩個版本在三年級“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”部分的內(nèi)容．人教版的三年級教材只有一章的內(nèi)容涉及分?jǐn)?shù)，題目為“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”，主要內(nèi)容包括認(rèn)識幾分之一、幾分之幾、同分母分?jǐn)?shù)的比較和加減法，1減幾分之幾，以及分?jǐn)?shù)的群體意義，和如何求一個群體的分?jǐn)?shù)部分的大?。ㄗ詈筮@兩個部分是人教版教材2014年新加上去的）．版本的教材在三年級共有兩章的內(nèi)容涉及分?jǐn)?shù)，分別是“理解分?jǐn)?shù)”和“分?jǐn)?shù)的比較和等值”，內(nèi)容非常的豐富．“理解分?jǐn)?shù)”部分從體會平均分，到理解分?jǐn)?shù)可以表示區(qū)域（面積模型）的一部分，也可以表示一個群體的一部分，數(shù)軸上的一個點，以及長度的一部分，另外除了分?jǐn)?shù)這4種不同的意義之外，還涉及到如何用直觀的方式來求出一個群體的分?jǐn)?shù)部分的大小以及如何用常用的基準(zhǔn)分?jǐn)?shù)來估計分?jǐn)?shù)的大小，教材對這幾部分內(nèi)容的安排是并列的，每節(jié)課都有兩頁，除了“一個群體的分?jǐn)?shù)部分的大小”是銜接了上一節(jié)課的內(nèi)容之外，其它內(nèi)容之間的聯(lián)系并不緊密．“分?jǐn)?shù)的比較和等值”部分包括使用分?jǐn)?shù)條、數(shù)軸、基準(zhǔn)分?jǐn)?shù)來比較同分母分?jǐn)?shù)、同分子分?jǐn)?shù)的大小，并通過數(shù)軸上的分?jǐn)?shù)大小比較來初步認(rèn)識整數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系．

每節(jié)新課都有引導(dǎo)性的問題，均給出解決方法和結(jié)論．人教版則沒有引導(dǎo)性的問題，但是注重引導(dǎo)學(xué)生的思維，比如在“分?jǐn)?shù)的簡單計算”部分的前兩個例題中寫出思維過程，在“分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用”中的解決問題中也同樣給出了解決問題的思路．

3.4 “分?jǐn)?shù)的引入”的內(nèi)容設(shè)計

下面呈現(xiàn)了兩個教材在“分?jǐn)?shù)的引入”部分的內(nèi)容設(shè)計．從中可以管窺二者在具體內(nèi)容設(shè)計上的差異．這里主要比較了兩個教材的第一節(jié)課和第二節(jié)課，這是因為教材中第一節(jié)課是認(rèn)識平均分，第二節(jié)課是認(rèn)識幾分之幾．而人教版第一節(jié)課是認(rèn)識幾分之一，第二節(jié)課是認(rèn)識幾分之幾．兩個版本教材后面的內(nèi)容差異也較大，所以前兩節(jié)課具有較高的可比性．

教材中的第一節(jié)課的內(nèi)容主要是認(rèn)識平均分，并且要學(xué)習(xí)幾等分的說法（halves, thirds, fourths等）．第二節(jié)課的內(nèi)容是“分?jǐn)?shù)與區(qū)域（fractions and regions）”，該部分由一個“招待客人”的現(xiàn)實情境引入（將一個盤子中的食物分成6份，吃掉2份，還剩4份），然后問每一份表示什么，吃了多少，還剩下多少，緊接著就介紹了分?jǐn)?shù)和單位分?jǐn)?shù)的概念，并結(jié)合例題認(rèn)識分?jǐn)?shù)每個部分都代表什么，以及分子、分母的定義．具體內(nèi)容見圖1．

圖1 EVM教材中“分?jǐn)?shù)與區(qū)域”部分的例題

人教版第一節(jié)課的主要內(nèi)容是認(rèn)識幾分之一，包括3個活動，分別是“分月餅”（認(rèn)識1/2和1/4，引出初步的分?jǐn)?shù)描述性的定義，并認(rèn)識分子、分母、分?jǐn)?shù)線），“折紙”（感受平均分），“比一比”（分子為1的分?jǐn)?shù)的大小比較，基于直觀圖形的比較）．第二節(jié)課也包含3個內(nèi)容，首先是通過將正方形紙片平均分成4份，描出其中的幾份，認(rèn)識四分之幾；第二個活動是將彩紙條平均分為10份，認(rèn)識其中的幾份（同時將分?jǐn)?shù)的描述性定義進一步擴充）；第三個活動是涂一涂和比一比，通過涂色的活動，充分感知和比較同分母分?jǐn)?shù)的大小．

總的來說，教材該部分的內(nèi)容設(shè)計比較注重整體性和情境性，但是缺乏層次感．教材一次性將所有內(nèi)容全部呈現(xiàn)，直接認(rèn)識整體、平均分、幾分之幾、幾分之一、分子、分母等，給出的概念多而且較抽象，并且缺乏對概念的體驗過程；教材給出的例題的情境比較復(fù)雜，包含太多的信息，學(xué)生既要學(xué)習(xí)“單位分?jǐn)?shù)”，又要學(xué)習(xí)“空白的部分”是幾分之幾，“剩余部分”是幾分之幾，缺乏由淺入深的概念層級關(guān)系，容易造成概念混淆．

而人教版該部分的內(nèi)容設(shè)計強調(diào)概念的層級關(guān)系以及體驗操作．先學(xué)習(xí)幾分之一，再學(xué)習(xí)幾分之幾；通過對幾分之一的大小比較，充分體會分母的意義，通過同分母分?jǐn)?shù)的大小比較，充分感知分子的意義；教材中的動手操作活動比較充分，有較多的分一分、涂色、折紙等活動，給學(xué)生較多的感知、體驗的機會．這種設(shè)計有助于學(xué)生逐步建立起比較穩(wěn)固的分?jǐn)?shù)的基本概念．

3.5 兩個版本教材三年級“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”部分組織結(jié)構(gòu)的比較

根據(jù)表4，可以整理出兩個版本教材有關(guān)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的組織結(jié)構(gòu)圖（如圖2和圖3所示）．

由圖2、圖3看到教材中涉及到的模型比較多，比較強調(diào)不同模型的功能，后面的分?jǐn)?shù)大小的比較方法和尋找等值分?jǐn)?shù)等都是從不同的模型中引申出來的．長度模型在人教版教材中出現(xiàn)過，但沒有強調(diào)，而對來說是分?jǐn)?shù)條的重要基礎(chǔ)，而分?jǐn)?shù)條模型在后面的分?jǐn)?shù)比較和等值分?jǐn)?shù)中起著非常大的作用．

人教版教材沒有強調(diào)各個不同的模型以及多種不同的比較方法，內(nèi)容相對聚焦，不同模型只是暗線，更強調(diào)分?jǐn)?shù)基本的意義（整體、分子、分母），而從這個基本意義出發(fā)，來學(xué)習(xí)比較、計算、應(yīng)用等，而這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)反過來又加強了學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解．比如，通過對幾分之一的學(xué)習(xí)來充分認(rèn)識分母的意義，并通過直觀來進行幾分之一的分?jǐn)?shù)大小的比較，通過幾分之幾的學(xué)習(xí)來充分認(rèn)識分子的意義，并通過直觀比較，來學(xué)習(xí)簡單同分母分?jǐn)?shù)的比較，而這個比較的過程，進一步加深學(xué)生對分母和分子意義的理解．在分子的意義的學(xué)習(xí)過程中，沒有出現(xiàn)單位分?jǐn)?shù)的概念，卻強調(diào)了幾個幾分之一，而這一學(xué)習(xí)，又為分?jǐn)?shù)加減法的學(xué)習(xí)進行了較好的鋪墊，學(xué)生可以通過直觀的面積模型解決幾個幾分之一加減幾個幾分之一的問題．

總的來說，人教版更強調(diào)分?jǐn)?shù)的基本意義和“初步認(rèn)識”，所以不求全面，試圖建立知識之間的內(nèi)部聯(lián)系；而則更重視全面理解分?jǐn)?shù)不同模型的意義，多種不同的方法的呈現(xiàn)，但是對于分子和分母的意義的強調(diào)不夠，并且由于涉及的內(nèi)容過多，又多是簡單介紹，使得學(xué)生不但不容易建立起對分?jǐn)?shù)模型的全面理解，反而很難掌握分?jǐn)?shù)的基本意義．

3.6 兩個版本教材三年級“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”部分涉及的重要概念和規(guī)律的比較

表5呈現(xiàn)了兩個版本的教材中相關(guān)的概念和規(guī)律的比較．在教材中出現(xiàn)了6個比較重要的概念，每個概念的定義都比較嚴(yán)謹(jǐn)；而人教版教材中有關(guān)概念均是描述性的．

表5 EVM和人教版教材三年級有關(guān)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”概念和規(guī)律的比較

由表5可知，教材中有較多的概念、除了比較重要的分?jǐn)?shù)、分子、分母、單位分?jǐn)?shù)的概念之外，學(xué)習(xí)數(shù)軸上的分?jǐn)?shù)時還介紹了帶分?jǐn)?shù)的概念．而人教版教材在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識的內(nèi)容中，只有非常少的概念，而且概念也都是非常簡單的描述性的概念．尤其值得注意的是，盡管人教版教材中沒有出現(xiàn)分?jǐn)?shù)單位的概念，但是由于學(xué)生在學(xué)習(xí)中涉及較多有關(guān)分?jǐn)?shù)單位的操作和體驗，所以在學(xué)習(xí)同分母分?jǐn)?shù)的加減法的時候，使用單位分?jǐn)?shù)的含義來解釋，也顯得比較自然．

另外，教材中出現(xiàn)了較多的規(guī)律，卻沒有鼓勵學(xué)生自己探究規(guī)律是如何產(chǎn)生的，練習(xí)題也多是讓學(xué)生應(yīng)用規(guī)律來解決問題，而人教版的教材上沒有出現(xiàn)分?jǐn)?shù)大小比較的規(guī)律，卻鼓勵學(xué)生通過動手和觀察圖形來感受和總結(jié)．

4 結(jié)論與討論

4.1 分?jǐn)?shù)模型的建立：多而淺vs. 少而精

通過比較，可以發(fā)現(xiàn)在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識部分，教材試圖呈現(xiàn)一個有關(guān)分?jǐn)?shù)的較為完整的圖畫，除了面積模型以后，還有長度模型（后來發(fā)展為分?jǐn)?shù)條、基準(zhǔn)分?jǐn)?shù)），群體模型，以及數(shù)軸模型，而人教版教材比較強調(diào)面積模型，在此基礎(chǔ)上出現(xiàn)了長度模型和群體模型，但是在這個階段沒有出現(xiàn)數(shù)軸模型．

通過對“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識”前兩節(jié)課的內(nèi)容設(shè)計的比較，可以發(fā)現(xiàn)教材強調(diào)在情境中對分?jǐn)?shù)意義的整體性理解，一開始就引進大量抽象概念，有較多的數(shù)量關(guān)系（單位1，部分與部分之間的關(guān)系），而沒有強調(diào)對分?jǐn)?shù)各個部分意義的感知與理解；而人教版雖然只介紹了分?jǐn)?shù)的描述性定義，卻通過大量的動手操作、體驗活動，讓學(xué)生充分理解面積模型中的平均分，以及分子、分母的含義．

Behr（1983）認(rèn)為，在分?jǐn)?shù)的5個子結(jié)構(gòu)[13]中，“部分—整體”子結(jié)構(gòu)是基礎(chǔ)的語義結(jié)構(gòu)，其它4個子結(jié)構(gòu)在“部分—整體”子結(jié)構(gòu)上發(fā)展而成[14]．倪玉菁（1999）的研究結(jié)果顯示學(xué)生最容易掌握的是面積表征，其次是線段表征，再次為集合表征，最難的是數(shù)線表征[15]．因此，從這些研究結(jié)果來看，在學(xué)生剛開始接觸分?jǐn)?shù)的時候，介紹較為簡單的面積模型似乎更合適，但是也不應(yīng)該忽視分?jǐn)?shù)的其它意義．劉春暉、辛自強（2010）認(rèn)為應(yīng)提供多種表征模型，尤其是數(shù)軸模型，能幫助學(xué)生形成較全面的分?jǐn)?shù)概念[16]，這與張奠宙等人的觀點一致，就是應(yīng)該強調(diào)在數(shù)軸上直觀表示分?jǐn)?shù)[17]．但是這些概念模型并不需要一次性都教給學(xué)生，根據(jù)學(xué)生的理解水平和知識基礎(chǔ)，在不同階段強調(diào)不同的概念模型似乎更合適．

4.2 分?jǐn)?shù)各部分意義的理解：模糊vs. 清晰

教材在編寫過程中，非常重視建立不同的概念模型，但是在分子、分母意義的理解方面下得筆墨明顯不夠．比如該教材比較強調(diào)分?jǐn)?shù)條的使用來幫助學(xué)生進行分?jǐn)?shù)比較，理解等值分?jǐn)?shù)，估計分?jǐn)?shù)的大小等，但是值得注意的是，由于分?jǐn)?shù)條是比較固定的，“總體”比較含糊，沒有強調(diào)“平均分”的過程，使得學(xué)生很難建立正確的對分母意義的理解．

而人教版非常重視對分?jǐn)?shù)各個部分意義的理解．不但在每道例題中都會強調(diào)是“誰”的幾分之幾，在內(nèi)容的編排上，也是先學(xué)習(xí)幾分之一，比較幾分之一的大小，讓學(xué)生充分理解分母的意義，再認(rèn)識幾分之幾，比較同分母分?jǐn)?shù)的大小，讓學(xué)生體會分子的意義，也就是說，盡管學(xué)生學(xué)習(xí)的模型簡單，但是學(xué)生對分?jǐn)?shù)的各個部分的意義的理解是比較扎實的．

另外，與教材相比，人教版在設(shè)計時比較強調(diào)讓學(xué)生動手操作，比如折一折、涂一涂等操作性的活動，這種活動能夠有效的幫助學(xué)生建立起有關(guān)分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗，而這種經(jīng)驗?zāi)軒椭鷮W(xué)生較好的從整數(shù)的學(xué)習(xí)過渡到分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，減少整數(shù)經(jīng)驗對分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的阻礙作用[18]．

4.3 關(guān)注的焦點：概念vs. 程序vs. 學(xué)生

相對來說，教材重視分?jǐn)?shù)的各個層面的意義，以及分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、比等概念的關(guān)系，而且為了加深學(xué)生的理解，不惜在各冊教材中不斷地重復(fù)較為復(fù)雜的概念，比如“等值分?jǐn)?shù)”等，試圖幫助學(xué)生建立起較為完整的有關(guān)分?jǐn)?shù)的概念體系．而人教版在不同的概念模型方面花的筆墨明顯少了很多，非常重視分?jǐn)?shù)的面積模型，卻較少提及分?jǐn)?shù)的測量意義，也沒有專門的章節(jié)強調(diào)分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)之間的關(guān)系，而更重視分?jǐn)?shù)的計算和運算規(guī)律的學(xué)習(xí)．所以人教版教材在認(rèn)識了分?jǐn)?shù)的基本意義之后，很快進入分?jǐn)?shù)的簡單計算和應(yīng)用，“計算”占“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”內(nèi)容的三分之一；而美國的三年級教材有兩章共15節(jié)分?jǐn)?shù)的內(nèi)容，其中僅涉及分?jǐn)?shù)大小比較和等值分?jǐn)?shù)，而幾乎沒有分?jǐn)?shù)計算的內(nèi)容，僅有“群體的分?jǐn)?shù)部分”涉及一點計算（8的1/4份是多少），但目的并非學(xué)習(xí)整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘，而是通過畫圖來直觀理解群體的分?jǐn)?shù)部分的大?。员M管美國的教材提供了大量嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍?、?guī)律，但由于缺乏對核心概念意義的深刻體驗和對相關(guān)規(guī)律的系統(tǒng)訓(xùn)練，學(xué)生很難真正理解概念和規(guī)律的意義[19]；而中國的教材則由于概念簡單明了，計算的學(xué)習(xí)由淺入深，學(xué)生更容易在了解基本概念的基礎(chǔ)上，提高程序的流暢性．而且，人教版教材較為強調(diào)對學(xué)生思維的引導(dǎo)，比如，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的簡單計算時，在例題的下面給出“想”的過程，而在學(xué)習(xí)使用分?jǐn)?shù)來解決問題的時候，更給出了解決問題的基本思路，這可能是新版人教版教材的一個亮點．

兩本教材有關(guān)概念以及規(guī)律的呈現(xiàn)方式的比較結(jié)果顯示，教材更常用直接呈現(xiàn)的方式，直接給出了核心概念以及重要的規(guī)律，而人教版教材則較少給出規(guī)律，更鼓勵學(xué)生在體驗的過程中，自己總結(jié)和探究．這個研究結(jié)果與Xin（2007）和Xin等（2011）的發(fā)現(xiàn)恰恰相反，Xin在她的研究中比較了課改前（1997—1999）中美的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，中國數(shù)學(xué)教材更多的提供嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)概念，而美國的教材則鼓勵學(xué)生去探索發(fā)現(xiàn)[20~21]．課改以后，中國的小學(xué)數(shù)學(xué)教材借鑒了西方很多國家的經(jīng)驗，強調(diào)學(xué)生的體驗、自主探索，而美國教材則可能借鑒了亞洲教材的嚴(yán)謹(jǐn)性．

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Comparison of Elementary Mathematics Textbooks between China and USA: A Case Study of “Knowing Fractions”

DING Rui1, Yan Ping Xin2

(1. Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;2. Purdue University, West Lafayette 47907, US)

A five-dimension framework (i.e., alignment with the standards, topics, content design, structure, and core conceptions) was used to compare “knowing fractions” between two primary mathematics textbooks (enVision Math and Chinese People Education Press (PEP) Math) in US and China. Results revealed that, enVision math (EVM) emphasizes multiple representations using different models of fractions, however it falls short in explaining the meaning of numerator and denominator; it provides comprehensive definition of the concepts, but seldom encourages students to find the patterns themselves. The EVM presents many models of the concept, but neglects the relationships among them. In contrast, PEP math emphasizes an understanding of each element in a fraction, such as “whole,” “numerator,” and “denominator,” but not different models of fractions; it encourages students to explore and find patterns through visual image and hands-on experiences as well as practices through comparing and calculation. In addition, the content progresses from easy to more difficult with logical connections.

textbook comparison; primary mathematics; fraction concepts; models of fractions

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

G40-059.3

A

1004–9894（2016）03–0020–09

2016–01–05

東北師范大學(xué)教師教學(xué)發(fā)展基金項目——美國小學(xué)教師培養(yǎng)的個案研究（15B1XZJ011）

丁銳（1978—），女，滿族，遼寧本溪人，副教授，博士，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育、課堂環(huán)境、教師教育等研究．