方禹鑫， 丁 千， 張 微

4(天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

多齒側(cè)間隙傳動(dòng)系統(tǒng)非線性特性研究

方禹鑫， 丁 千， 張 微

4(天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

舵機(jī)系統(tǒng)是典型的機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)，傳動(dòng)過程中的部件間隙對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性有很大影響。針對多級(jí)齒輪和絲杠螺母組合的舵機(jī)系統(tǒng)，建立含有齒側(cè)間隙和內(nèi)部激勵(lì)誤差的平動(dòng)-扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程，采用諧波平衡法分析系統(tǒng)的固有頻率及周期運(yùn)動(dòng)幅頻響應(yīng)，利用數(shù)值方法求解、分析傳遞誤差、碰撞和分岔與混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，并分析討論了多間隙和單間隙對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響差別。該分析成果可以為舵機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和操作參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)、提高傳動(dòng)效率和平穩(wěn)性提供參考。

舵機(jī)系統(tǒng)；間隙；非線性；動(dòng)態(tài)傳遞誤差

機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)應(yīng)用廣泛，其工作性能可以影響至整個(gè)設(shè)備，對周圍環(huán)境也有很大影響。在航空航天領(lǐng)域中，舵機(jī)是最主要的機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)，是一種多齒輪嚙合、多間隙的系統(tǒng)，且性能要求更高。近幾十年來，齒輪動(dòng)力學(xué)的研究一直受到廣泛關(guān)注。李潤方等[1]對齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的建模方法、模型的類型以及非線性因素等方面作了深入和系統(tǒng)的研究。王建軍等[2]評述了國內(nèi)外時(shí)變輪齒嚙合剛度參數(shù)振動(dòng)問題和齒側(cè)間隙非線性振動(dòng)問題的研究進(jìn)展。對于單對齒輪的動(dòng)態(tài)特性，KAHRAMAN等[3-5]給出了基于實(shí)驗(yàn)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，考慮內(nèi)部激勵(lì)和外部激勵(lì)，從數(shù)值和解析兩方面給出動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。多齒輪對嚙合方面，LIN等[6-8]通過數(shù)值和解析的方法給出了行星齒輪的振動(dòng)特性和固有頻率特性。SHEN等[9]利用增量諧波平衡法對含有時(shí)變剛度和靜態(tài)傳遞誤差的單齒輪嚙合進(jìn)行了解析求解，給出了增加阻尼和降低激勵(lì)幅值對于增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性的作用。ZHANG等[10]對于含有時(shí)變剛度和立方非線性的單齒輪對系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值和解析求解，得出了系統(tǒng)的超諧響應(yīng)和非線性振動(dòng)特性。唐進(jìn)元等[11]研究了間隙對含摩擦和時(shí)變嚙合剛度的動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。高建平等[12]對4自由度直齒輪非線性方程組采用基于打靶法的局部參數(shù)延拓法進(jìn)行了數(shù)值求解。胡鵬等[13]采用數(shù)值方法研究了伺服刀架動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速，不同的嚙合剛度的作用下，輸入端和輸出端齒輪對的動(dòng)態(tài)傳遞誤差和動(dòng)態(tài)嚙合力的變化趨勢。王曉筍等[14]計(jì)算了齒輪系統(tǒng)周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)下的相空間軌線，龐加萊截面和關(guān)聯(lián)維數(shù)，并進(jìn)一步分析其動(dòng)力學(xué)特性的變化情況 。

本文針對一類含有多級(jí)齒輪和絲杠滑塊結(jié)構(gòu)的舵機(jī)系統(tǒng)，建立了考慮間隙和靜態(tài)傳遞誤差因素的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并利用基于離散傅里葉變換的諧波平衡方法和數(shù)值方法研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，分析不同轉(zhuǎn)速和間隙情況的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，為提高舵機(jī)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

1 間隙非線性動(dòng)力學(xué)模型

圖1(a)是一類含多級(jí)齒輪和絲杠滑塊結(jié)構(gòu)的舵機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)示意圖。假設(shè)傳動(dòng)軸和軸承具有足夠大的剛度，齒輪對嚙合力作用在嚙合線方向并忽略各處界面的摩擦效應(yīng)，可以將系統(tǒng)簡化為圖1(b)所示的集中質(zhì)量模型力學(xué)模型。其中Ii,Ri和θi(i=1,2,3)分別為齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、分度圓半徑和轉(zhuǎn)角，m4，R4和φ分別為滑塊的質(zhì)量、絲半徑和升角，Km,Kn，Kl和Cm,Cn，Cl分別為系統(tǒng)的綜合嚙合剛度和阻尼，e(t)為齒輪對的靜態(tài)傳遞誤差，T1和F4為加載于第一級(jí)齒輪和滑塊上的系統(tǒng)載荷。

圖1 舵機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)

為研究系統(tǒng)運(yùn)行中齒輪的拍擊和相對位置變化，引入各運(yùn)動(dòng)體之間的相對位移

x1=R1θ1-R2θ2-em(t)

(1)

x2=R2θ2-R3θ3-en(t)

(2)

x3=-x4+R4θ3tanφ-el(t)

(3)

建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程如下

(4)

(5)

(6)

(7)

其中em、en、el為一級(jí)、二級(jí)齒輪間和滑塊絲杠間的靜態(tài)傳遞誤差表達(dá)式為[15-16]

e(t)=-ersin(ωrt+φ)，r=m,n,l

(8)

式中:er為靜態(tài)傳遞誤差的幅值;ωr為齒輪的嚙合頻率;φ為相位角。外部振動(dòng)激勵(lì)T1的激勵(lì)頻率與齒輪嚙合頻率的關(guān)系為(Z-齒輪1的齒數(shù))

ωr=Z*ωt，r=m,n,l

(9)

函數(shù)f(x)是齒側(cè)間隙的非線性函數(shù)，可表示為

(10)

式中:b為嚙合齒輪對的半側(cè)隙。

引入如下無量綱變量

式中:ω0，b0分別為頻率和間隙的基準(zhǔn)值。將相對位移式(1)～式(3)帶入動(dòng)力學(xué)方程式，整理后得到無量綱形式系統(tǒng)相對運(yùn)動(dòng)方程為

(11)

(12)

(13)

令Bi=bi/b0，則無量綱間隙可以表示為

(14)

2 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的幅頻響應(yīng)

2.1 基于離散傅里葉變換的諧波平衡法求解

本節(jié)采用基于離散傅里葉變換的諧波平衡法，求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。

當(dāng)載荷矢量和齒輪嚙合剛度變化周期為T(頻率為Ω)時(shí)，可以將其展開為Fourier級(jí)數(shù)

(15)

(16)

(17)

由于x(τ)是周期為ηT的函數(shù)，f(τ)同樣是周期為ηT的函數(shù)，可以展開為

(18)

至此，動(dòng)力學(xué)方程的所有項(xiàng)均已經(jīng)展開成級(jí)數(shù)形式。把式(15)～式(18)代入動(dòng)力學(xué)方程式(11)～式(13)，令方程組兩邊的常數(shù)項(xiàng)、各階正弦諧波和余弦諧波的系數(shù)相等，得到(2R+1)N個(gè)方程構(gòu)成的代數(shù)方程組(19)，求解方程組Si=0，即可求解得到x(θ)的各項(xiàng)系數(shù)。

(19a)

(19b)

(19c)

r=1,2,…R

在上述方程組中，系數(shù)ur為待求未知量。由于f(x)為x的函數(shù)，其Fourier展開式的各項(xiàng)系數(shù)fr也是未知量ur的函數(shù)。為了求解方程組式(19)，采用Fourier變換和逆變換得到fr和ur的函數(shù)關(guān)系。首先，通過離散Fourier變換的逆變換得到x(t)在一個(gè)周期的時(shí)域內(nèi)的離散序列xn

(20)

n∈[0,N-1]

進(jìn)而求得x(t)的時(shí)間序列xn對應(yīng)的fr的時(shí)間序列g(shù)n

gn=f(xn)

(21)

其次，對函數(shù)f(x)的離散時(shí)間序列g(shù)n進(jìn)行Fourier變換，得到頻域內(nèi)的Fourier系數(shù)fr

(22)

至此，得到了一組關(guān)于ur的非線性代數(shù)方程組。首先假設(shè)一組初始解ur，采用擬牛頓法進(jìn)行迭代，求解得到式(19)的穩(wěn)態(tài)解。

2.2 穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)

根據(jù)對一個(gè)實(shí)際傳動(dòng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行測量和有限元計(jì)算的結(jié)果，取齒輪分度圓半徑R1=10 mm，R2=18 mm，R3=33 mm，計(jì)算得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1=2.6×10-7kg×m2，I2=3.0×10-7kg×m2，I3=3.7×10-6kg×m2。滑塊質(zhì)量m4=0.055 kg，剛度系數(shù)Km=1.148×108N/m，Kn=1.147×108N/m，Kl=6.287×109N/m。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，齒輪嚙合阻尼的取值范圍為C=[0.015, 0.085][17-18]，誤差激勵(lì)的幅值的量綱級(jí)別取值為間隙大小的1/10。由于載荷會(huì)隨著系統(tǒng)負(fù)載和運(yùn)行狀態(tài)而改變，這里假設(shè)初始載荷F11為0.2，其載荷參數(shù)根據(jù)平衡原理推導(dǎo)得出。

假定齒輪對的間隙相同，計(jì)算給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)情況下的幅頻變化(見圖2)。由圖2可知，間隙b=0時(shí)，三個(gè)固有頻率分別是0.66，1.10和1.85。隨著間隙的增加，系統(tǒng)剛度弱化，固有頻率隨之減小，共振振幅增加且出現(xiàn)非線性跳躍現(xiàn)象。其中與第一階頻率相比，第二階和第三階的振幅相對較小，對于間隙更加敏感，因此間隙變化帶來的剛度軟化現(xiàn)象更為顯著，故共振幅值變化也更為明顯。

圖2 舵機(jī)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)

3 含間隙非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性

3.1 多間隙影響下的復(fù)雜響應(yīng)

為分析含多個(gè)間隙的齒輪系統(tǒng)的復(fù)雜響應(yīng)，我們采用RUNGE-KUTTA法計(jì)算求解方程組式(11)～式(13)(令b=1.2×10-4，與圖2(c)對應(yīng))。計(jì)算表明，隨著轉(zhuǎn)速變化，各級(jí)輪對的振動(dòng)特點(diǎn)基本相同，因此本文只給出了第一級(jí)齒輪對相對位移的分岔圖、動(dòng)態(tài)嚙合誤差(DTE)均值、齒輪嚙合比例和DTE均方根幅值，見圖3。分岔圖顯示的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象反映了多個(gè)間隙的影響。當(dāng)轉(zhuǎn)速Ω處于0～0.4的范圍內(nèi)，系統(tǒng)振動(dòng)是單周期的，僅存在齒輪的正面嚙合，振動(dòng)均方根幅值相對較小而且連續(xù)。當(dāng)轉(zhuǎn)速Ω增大到0.4～0.6區(qū)間，即進(jìn)入第一階固有頻率范圍，振動(dòng)均方根幅值明顯增加，振動(dòng)平均位置則有所下降，但開始出現(xiàn)齒輪拍擊現(xiàn)象。當(dāng)轉(zhuǎn)速Ω繼續(xù)增大到0.6～1.8區(qū)間后，運(yùn)動(dòng)顯示出混沌特征，振動(dòng)均值、均方根幅值均明顯震蕩，齒輪嚙合狀態(tài)呈現(xiàn)雙側(cè)拍擊。此后，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)交替進(jìn)入相對穩(wěn)定和混沌狀態(tài)，脫齒、正面拍擊和均值、均方根幅值跳躍現(xiàn)象增多，說明轉(zhuǎn)動(dòng)愈快，嚙合間隙非線性的影響愈大，會(huì)引起很大的轉(zhuǎn)動(dòng)噪聲。

圖3 第一級(jí)齒輪對動(dòng)態(tài)嚙合特性(間隙b=1.2×10-4 m)

從圖3可知，由于存在間隙非線性，2階、3階共振的周期運(yùn)動(dòng)已經(jīng)被復(fù)雜運(yùn)動(dòng)替代或掩蓋，且伴隨著系統(tǒng)的振動(dòng)平衡位置不穩(wěn)定、齒輪拍擊等現(xiàn)象，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和傳動(dòng)效率。

圖4～圖5分別給出了較高轉(zhuǎn)速(Ω=2.32和Ω=3)時(shí)的時(shí)間歷程、相圖、龐加萊映射和頻譜圖。相對穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)是倍周期運(yùn)動(dòng)(Ω=2.32)，而混沌狀態(tài)(Ω=3)，的時(shí)間歷程和相圖表現(xiàn)為無序狀態(tài)，頻譜圖包含更為豐富的頻率成分。

圖4 Ω=2.32時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)

圖5 Ω=3系統(tǒng)的響應(yīng)

3.2 單間隙時(shí)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征

僅有一個(gè)齒輪對存在間隙時(shí)，輪對相對位移的振動(dòng)特征(分岔圖)如圖6所示。其中圖6(a)、圖6(b)、圖6(c)是僅存在一級(jí)齒輪間隙時(shí)的情況?？梢钥吹?，當(dāng)間隙較小時(shí)(圖6(a))，系統(tǒng)的線性幅頻特性相對明顯，能夠清晰的看到各階共振峰值，且振幅較大的一階、二階共振基本是單頻振動(dòng)。隨著間隙增大，系統(tǒng)的非線性特性逐漸表現(xiàn)出來。一方面，線性固有頻率處的振動(dòng)變成復(fù)雜的多頻甚至混沌振動(dòng)；另一方面，最大振幅出現(xiàn)的頻率位置發(fā)生變化，逐漸向二階固有頻率靠近。

分析還發(fā)現(xiàn)，在一階固有頻率的2倍頻附近(區(qū)間[1.2，1.6])出現(xiàn)了混沌響應(yīng)，在3倍頻之后(區(qū)間[1.9,2.0])出現(xiàn)多頻振動(dòng)現(xiàn)象。間隙的增加對二階模態(tài)固有振動(dòng)特性的影響是最明顯的，即造成固有頻率降低、振幅增加，并且振動(dòng)的復(fù)雜程度也最明顯。

圖6(d)、圖6(e)是分別在二級(jí)、三級(jí)齒輪存在間隙的振動(dòng)情況(大小均為1.5×10-4)。二級(jí)齒輪存在間隙時(shí)，在二階固有頻率的2倍頻之后(區(qū)間[1.6,2.4])和3倍頻之后(區(qū)間[3.0,3.7])的響應(yīng)都是混沌的。三級(jí)傳動(dòng)間隙的特征為一階固有頻率的2倍頻之后(區(qū)間[1.4,1.6])和區(qū)間[2.3,2.5]內(nèi)出現(xiàn)混沌響應(yīng)，以及[1.6,2]的區(qū)間內(nèi)的多周期響應(yīng)和分岔現(xiàn)象。還可看出，由于x3處絲杠和滑塊的嚙合剛度值最高，對于間隙非線性更為敏感，對于同樣大小的間隙量，三級(jí)間隙對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)影響程度最大。

比較圖3(a)和圖6，多間隙系統(tǒng)的響應(yīng)包含了單間隙系統(tǒng)的特征，并且呈現(xiàn)了各間隙影響疊加的狀態(tài)，突出表現(xiàn)為在一階共振之后，復(fù)雜的多頻甚至混沌運(yùn)動(dòng)持續(xù)更大范圍，幾乎不再有單頻振動(dòng)。因此，可以通過合理間隙調(diào)整，控制整個(gè)工作頻段的系統(tǒng)振動(dòng)特性。

圖6 不同間隙情況下的系統(tǒng)分岔圖

4 結(jié) 論

本文針對一類含間隙和傳遞誤差的舵機(jī)系統(tǒng)，建立了動(dòng)力學(xué)模型，分析其固有頻率、周期幅頻響應(yīng)、動(dòng)態(tài)傳遞誤差、運(yùn)動(dòng)分岔等，得到如下結(jié)果:

(1)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的間隙不僅弱化了系統(tǒng)剛度，造成固有頻率降低，還會(huì)使其周期振動(dòng)出現(xiàn)幅頻跳躍，分岔和混沌等非線性現(xiàn)象，并造成傳動(dòng)過程中的齒輪拍擊、傳動(dòng)不穩(wěn)定和噪聲，對高精度控制和機(jī)構(gòu)整體穩(wěn)定造成影響。

(2)對于間隙造成的不穩(wěn)定現(xiàn)象，間隙數(shù)量和大小對傳動(dòng)機(jī)構(gòu)影響的差別表現(xiàn)在：多間隙系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為單獨(dú)間隙在各自特定區(qū)域內(nèi)的非線性特性的疊加，且隨著間隙的增加呈現(xiàn)復(fù)雜響應(yīng)增強(qiáng)，導(dǎo)致線性特性被非線性響應(yīng)覆蓋的現(xiàn)象。

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Non-linear dynamic features of a steering gear system with backlashes

FANG Yuxin, DING Qian, ZHANG Wei

(School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

A steering Gear system plays an important role in various transmission systems. Here, the dynamic behavior of a steering gear system with several backlashes was studied. Firstly, the equations of motion of a 3-DOF dimensionless system were established. Then the harmonic balance method was used to analyze the natural frequencies and amplitude-frequency responses of the system. Secondly，the system was also numerically solved with Runge-Kutta method and bifurcation, chaos and other complex dynamic phenomena were analyzed. Finally, influences of gear backlashes on dynamic features of the system were analyzed. The results indicated that both the operating parameters and the structural parameters of the steering gear system can be designed optimally to avoid undesirable dynamic motions and realize better mechanical properties.

steering gear system; backlash; non-linear dynamics; dynamic transmission error

國家自然科學(xué)基金(11272228;51575378;11332008)；天津市自然科學(xué)基金(13JCZDJC34900)

2015-10-30 修改稿收到日期：2015-12-07

方禹鑫 男，碩士，1990年生

丁千 男，教授，博士生導(dǎo)師，1963年4月生

TU318;P315.9