王 杰， 胡宇達

(燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

磁場中軸向運動載流梁磁彈性主共振分析

王 杰， 胡宇達

(燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

研究磁場環(huán)境中軸向運動載流梁的磁彈性共振問題;考慮幾何非線性，給出梁在力、運動、電磁作用下的動能、應(yīng)變能以及電磁力的表達式。應(yīng)用哈密頓變分原理，推得磁場中軸向運動載流梁的磁彈性振動方程。針對兩端簡支邊界條件，假設(shè)三階模態(tài)形函數(shù)，通過伽遼金積分推得梁的磁彈性振動微分方程;應(yīng)用多尺度法，得到外激勵力和外加電流作用下系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)方程;數(shù)值分析了磁感應(yīng)強度、外加電流、軸向速度和外激勵力對系統(tǒng)共振幅值的影響。結(jié)果表明，在振幅-磁感應(yīng)強度響應(yīng)圖中，隨著調(diào)諧參數(shù)的增大，共振曲線逐漸內(nèi)縮最終上部封閉，外加電流使此變化過程中的臨界分離點向右“偏移”。

磁彈性；導(dǎo)電梁；主共振；軸向運動；交變電流；多尺度法

軸向運動結(jié)構(gòu)及器件在工程領(lǐng)域中應(yīng)用較廣，這些構(gòu)件在電磁場環(huán)境中工作，將形成力、電、磁等多種效應(yīng)間的相互耦合，影響系統(tǒng)運行的安全性和可靠性。為此引起研究者的關(guān)注并開展了深入的理論研究。CHEN等[1-2]研究了軸向運動粘彈性梁的非線性強迫振動問題，分析了軸向速度、邊界條件等參數(shù)對結(jié)構(gòu)振動頻率及動力穩(wěn)定性的影響。MA等[3]通過攝動法對懸臂梁的非線性振動進行準確求解，并將通過攝動法得到的結(jié)果與數(shù)值解進行比較；LESTARI等[4]通過不同邊界條件獲得屈曲梁非線性振動的準確解；胡海巖等[5]分析了內(nèi)共振條件下直線運動梁的動力穩(wěn)定性；張偉等[6]分析了黏彈性傳動帶1∶3內(nèi)共振時的周期和混沌運動；陳樹輝等[7]采用多元L-P法研究軸向運動梁橫向非線性振動的內(nèi)共振問題；PELLICANO[8]針對外激勵載荷作用下軸向運動系統(tǒng)的復(fù)雜動態(tài)響應(yīng)問題進行了研究；ARVIN等[9]研究了旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料梁的非線性自由振動問題。

另一方面，針對電磁場環(huán)境中復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學(xué)的研究也引起人們廣泛關(guān)注，從而促進了磁彈性力學(xué)理論的快速發(fā)展。PRATIHER等[10-11]分析了時變磁場中受周期載荷作用下懸臂梁的非線性共振問題；CHANG等[12]研究了彈性板在磁場中受到載荷作用下的非線性振動問題；WU[13]研究了橫向磁場和熱載荷作用下鐵磁梁的大幅振動及動態(tài)穩(wěn)定性問題；胡宇達等[14-15]建立了軸向運動導(dǎo)電板的非線性磁熱彈性耦合振動方程，并針對其在周期外載荷作用下的非線性振動及混沌運動問題進行研究；劉信恩等[16]分析了幾何非線性軟鐵磁導(dǎo)電梁式板在磁場中的動力響應(yīng)問題。

本文在文獻[17]的基礎(chǔ)上研究磁場中軸向運動載流梁的磁彈性主共振問題，推得磁場中軸向運動載流梁的磁彈性振動方程，并針對梁的主共振問題進行分析。

1 磁場中軸向運動載電流彈性梁的振動方程

圖1示出在橫向恒定磁場B0(0,B0y,0)環(huán)境中做軸向運動的載電流彈性梁，其通入交變電流的密度矢量為J0(J0x,0,0)，并受均布強迫激勵Pz=f0sin(ωt)作用。其中，f0為外激勵力幅值，ω為外激勵力時變頻率。梁長為l，高為h，寬為b，矩形橫截面積為A=b×h，沿形心軸x方向運動速度為c。

圖1 磁場中軸向運動載電流彈性梁

1.1 動能和勢能

當軸向運動梁產(chǎn)生橫向振動時，梁內(nèi)各點沿z軸方向的速度分量為：

(1)

式中:w(x,t)為梁的橫向位移，t為時間變量。

其總動能表達式為：

(2)

式中:ρ為材料質(zhì)量密度。

依據(jù)彈性理論，考慮幾何非線性，梁的勢能包括軸向應(yīng)變勢能和梁的彎曲應(yīng)變能，則梁的總勢能表達式為：

1.2 電磁力和外力功

由電磁場理論可知，對于磁場環(huán)境中的載流梁，設(shè)J為梁內(nèi)電流密度矢量，f為梁單位體積內(nèi)電磁力矢量，則電磁力表達式為：

(4)

式中:J0x=j0sin(ω0t)為外加電流密度的分量，其中，j0為外加電流密度幅值，ω0為外加電流角頻率。Jex=-σ0V0zB0y為因外加磁場作用而引起運動梁內(nèi)感應(yīng)電流密度分量(σ0為材料導(dǎo)電常數(shù))。

對式(4)沿橫截面積分，可得磁場環(huán)境中載流梁單位長度上電磁力為：

(5)

因此，外激勵力Pz和電磁力Fz所做虛功之和為：

(6)

1.3 動力學(xué)方程

根據(jù)哈密頓變分原理，得出在橫向磁場中軸向運動載電流彈性梁關(guān)于撓度的磁彈性振動方程為：

(7)

2 磁彈性主共振問題分析

2.1 振動微分方程

根據(jù)振動理論，采用模態(tài)疊加法，針對兩端(x=0,l)簡支約束情況，設(shè)滿足邊界條件的位移解為：

(8)

將式(8)代入式(7)，由伽遼金法，推得P，t，ω無量綱化的橫向振動微分方程組：

(9a)

(9b)

(9c)

2.2 應(yīng)用多尺度法求解

采用多尺度法[18]研究系統(tǒng)的主共振問題，并在振動微分方程式(9)的等號右側(cè)引入小參數(shù)ε。則一階近似解可表示為：

(10)

式中:T1=τ、T2=ετ為引入的時間尺度。

將式(10)代入式(9)后展開，令ε的同次冪項系數(shù)相等，可得到：

關(guān)于ε0的近似方程：

(11a)

(11b)

(11c)

關(guān)于ε1的近似方程：

(12a)

(12b)

(12c)

設(shè)式(11)的通解形式為：

(13)

將式(13)代入式(12)得到：

(14a)

(14b)

(14c)

式中:cc為等式右側(cè)各項的共軛。

2.2.1 外激勵力和電流共同作用情況(Ω=Ω0)

研究外激勵力頻率分別接近系統(tǒng)前三階固有頻率的主共振問題。

(1)外激勵力頻率接近一階固有頻率

此時，外激勵力頻率為：Ω=Ω0=g1+εσ。其中σ為引入的頻率調(diào)諧參數(shù)。由式(14)和歐拉公式可知，為避免久期項出現(xiàn)，必須令A(yù)滿足：

(15)

對式(15)求解時，復(fù)函數(shù)An寫成指數(shù)形式[18]：

(16)

其中，n=1,2,3。

然后，將式(16)代入式(15)，分離實部與虛部，并令γ1=σT1-β1，可得：

(17)

(18)

(2)外激勵力頻率接近系統(tǒng)二階固有頻率

此時，外激勵力頻率為：Ω=Ω0=g2+εσ。同樣由式(14)和歐拉公式可知，為避免久期項出現(xiàn)，應(yīng)有：

(19)

同理可得：此時共振幅值a1，a2，a3都將衰減，其振動不會被激發(fā)。

(3)外激勵力頻率接近系統(tǒng)三階固有頻率

此時，外激勵力頻率為：Ω=Ω0=g3+εσ。同樣由式(14)和歐拉公式可知，為避免久期項出現(xiàn)，應(yīng)有：

(20)

同理可得：此時共振幅值a1，a2都將衰減，其振動不會被激發(fā)，而關(guān)于幅值a3的幅頻響應(yīng)方程為：

(21)

2.2.2 外激勵力與電流單獨作用情況

(1)載電流情況(無外激勵力)

當系統(tǒng)的主共振僅由外加電流激發(fā)時，因無外激勵力作用，只需在式(18)和式(21)中令外激勵力幅值f0=0，即：k5=k7=0，可得到：

一階主共振時，幅值a1的幅頻響應(yīng)方程為：

(22)

三階主共振時，幅值a3的幅頻響應(yīng)方程為：

(23)

(2)外激勵力作用情況(無外加電流)

當系統(tǒng)的主共振僅由外激勵力激發(fā)時，因無外加電流的作用，只需在式(18)和式(21)中令外加電流密度j0=0，即：k6=k8=0，可得到：

一階主共振時，幅值a1的幅頻響應(yīng)方程為：

(24)

三階主共振時，幅值a3的幅頻響應(yīng)方程為：

(25)

3 算例分析

下面以銅制材料軸向運動載電流梁為例進行算例分析。主要參數(shù)取值為：梁長l=0.3 m，梁寬b=0.02 m，梁厚h=0.01 m，軸向拉力F0x=30 000 N，彈性模量E=108 GPa，質(zhì)量密度ρ=8 920 kg/m3，電導(dǎo)率σ=5.714 3×107(Ω·m)-1。

3.1 外激勵力作用情況(無外加電流)

當針對僅受外激勵力作用梁的主共振問題計算分析時，應(yīng)用的幅頻響應(yīng)方程式(24)和式(25)，圖2～圖7分別給出了一階和三階共振振幅幅值與調(diào)諧參數(shù)、外激勵力幅值、磁感應(yīng)強度的關(guān)系曲線圖。圖8～圖9給出了對應(yīng)軸向運動系統(tǒng)的相平面軌跡曲線圖。

圖2和圖3為不同軸向速度、磁感應(yīng)強度、外激勵力幅值時梁的一階和三階幅頻曲線圖。由圖2(a)、圖3(a)知，不同軸向速度所對應(yīng)的幅頻曲線在εσ=0附近存在交點，隨著軸向速度的增大，共振幅值既有隨之增大的區(qū)域，也有隨之減小的區(qū)域。圖2(b)、圖3(b)和圖2(c)、圖3(c)表明，隨磁感應(yīng)強度的增大和激勵力的減小，共振曲線主架呈現(xiàn)明顯內(nèi)縮且共振幅值減小趨勢。

圖2 一階主共振幅頻曲線圖

圖3 三階主共振幅頻曲線圖

圖4和圖5為不同軸向速度、磁感應(yīng)強度、調(diào)諧參數(shù)時梁的一階和三階振幅-外激勵力幅值關(guān)系曲線圖。圖中曲線表明，受外激勵力作用系統(tǒng)首先會出現(xiàn)多值現(xiàn)象，激勵力增大到一定值后，解退化為較大的單值。同時，由圖4(a)和圖5(a)可知，隨軸向速度的增大，在激勵力幅值較小的單值區(qū)域內(nèi)，共振振幅呈增大變化趨勢；而在激勵力幅大的單值區(qū)域內(nèi)，共振振幅呈減小變化趨勢。由圖4(b)和圖5(b)可知，在單值區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強度越大，共振振幅越小。

圖4 一階主共振振幅-外激勵力曲線圖

圖5 三階主共振振幅-外激勵力曲線圖

圖6 一階主共振振幅-磁感應(yīng)強度曲線圖

圖7 三階主共振振幅-磁感應(yīng)強度響應(yīng)圖

圖6和圖7為不同軸向速度時梁的一階和三階振幅-磁感應(yīng)強度曲線圖。圖中曲線均呈現(xiàn)關(guān)于B=0縱軸的左右對稱形式。當磁感應(yīng)強度增大到一定值時，振幅明顯減小，多值性也會消失。同時，由圖6(a)和圖7(a)可知，曲線具有隨軸向速度增大，曲線呈現(xiàn)對稱內(nèi)縮且幅值緩慢增大的變化規(guī)律。圖6(b)和圖7(b)中曲線表明，隨著調(diào)諧參數(shù)值εσ的不斷增大，共振曲線逐漸內(nèi)縮并最終分離出上部的封閉曲線，其中，一階主共振臨界分離點為O1(εσ=0.618 9)；三階主共振臨界分離點為O3(εσ=0.200 92)。

圖8和圖9為系統(tǒng)改變初始條件得到梁的動相平面軌跡，箭頭表示軌跡的運動方向。圖中表明系統(tǒng)發(fā)生一階和三階主共振時取不同的調(diào)諧參數(shù)值，穩(wěn)定解的個數(shù)是不同的。圖8(a)中只有一個穩(wěn)定焦點S1，其共振幅值為as=0.021 5，記為S1(as=0.021 5)；圖8(b)中有兩個穩(wěn)定焦點S1(as=0.031 3)和S3(as=0.008)，一個鞍點S2(as=0.017 6)。圖9(a)中只有一個穩(wěn)定焦點S1(as=0.002)；圖9(b)中有兩個穩(wěn)定焦點S1(as=0.005 2)和S3(as=0.001 1)，一個鞍點S2(as=0.004 3)。可以看出圖中穩(wěn)定解的值與圖2(a)和圖3(a)中的值一致，其余的幅頻特性曲線也有類似性質(zhì)。

圖8 一階主共振梁的動相平面軌跡

圖9 三階主共振梁的動相平面軌跡

3.2 載電流情況(無外激勵力)

當針對僅受外加電流作用梁的主共振問題計算分析時，應(yīng)用幅頻響應(yīng)方程式(22)，圖10～圖12分別給出了一階共振幅值與調(diào)諧參數(shù)、外激勵力幅值、磁感應(yīng)強度的關(guān)系曲線圖。

圖10為不同軸向速度、磁感應(yīng)強度、電流密度幅值、梁高的幅頻曲線圖。由圖10(a)、圖10(b)和圖10(c)可知，隨軸向速度和電流密度的減小、梁高度的增大，共振曲線主架呈現(xiàn)內(nèi)縮趨勢。圖10(b)表明了磁感應(yīng)強度對共振區(qū)域幅值有明顯的影響：隨磁感應(yīng)強度的增強，共振曲線越平坦。

圖10 一階主共振梁的幅頻曲線圖

圖11為不同軸向速度和磁感應(yīng)強度的振幅-電流密度幅值曲線圖。由圖11可知，隨軸向速度和磁感應(yīng)強度的增大，共振振幅呈增大變化趨勢。

圖11 振幅-電流密度曲線圖

圖12 主共振振幅-磁感應(yīng)強度曲線圖

圖12為不同軸向速度、調(diào)諧參數(shù)的振幅-磁感應(yīng)強度曲線圖。由圖可見，曲線具有隨軸向速度減小和調(diào)諧參數(shù)值εσ的不斷增大，曲線呈現(xiàn)內(nèi)縮且共振幅值減小的變化規(guī)律。

3.3 外激勵力和外加電流共同作用情況

當針對受外激勵力作用的載電流梁的主共振問題計算分析時，應(yīng)用幅頻響應(yīng)方程式(18)和式(21)，圖13～圖14分別給出了一階和三階共振幅值與磁感應(yīng)強度的關(guān)系曲線圖。與僅受外激勵力作用梁的一階和三階共振幅值與磁感應(yīng)強度的關(guān)系曲線圖8和圖9相比較，因受外加電流的影響，曲線均呈現(xiàn)相對B=0縱線的非對稱分布形式。同時隨調(diào)諧參數(shù)εσ的不斷增大，共振曲線逐漸內(nèi)縮最終上部封閉，同時發(fā)現(xiàn)此過程中的臨界分離點O1和O3出現(xiàn)向右“偏移”的現(xiàn)象。

圖13 一階主共振振幅-磁感應(yīng)強度曲線圖

圖14 三階主共振振幅-磁感應(yīng)強度曲線圖

4 結(jié) 論

本文針對磁場中軸向運動載流彈性梁的共振問題，推導(dǎo)出其磁彈性振動方程，并得到了梁的幅頻響應(yīng)方程。通過數(shù)值算例，對兩端簡支梁的主共振問題進行了分析，結(jié)果表明：

(1)梁的軸向運動速度、高度、磁感應(yīng)強度和外激勵力對共振曲線均有顯著影響，隨外激勵力幅值和軸向速度的增大，以及磁感應(yīng)強度和梁高度的減小，梁的共振振幅呈增大趨勢。

(2)相對于外激勵力，材料允許范圍內(nèi)外加電流對梁的共振振幅的影響不明顯。

(3)在振幅-磁感應(yīng)強度響應(yīng)圖中，隨著調(diào)諧參數(shù)值εσ的不斷增大，共振曲線逐漸內(nèi)縮最終上部封閉，而外加電流使此變化過程中的臨界分離點向右“偏移”。

[ 1 ] CHEN L Q, TANG Y Q, LIMC C W. Dynamic stability in parametric resonance of axially accelerating viscoelastic Timonshenko beams[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(5): 547-565.

[ 2 ] DING H, CHEN L Q. Galerkin methods for natural frequencies of high speed axially moving beams[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(17): 3484-3494.

[ 3 ] MA X M, CHANG L Z, PAN Y T. Accurate solutions to nonlinear vibration of cantilever beam via homotopy perturbation method[J]. Procedia Engineering, 2011, 15(2): 4768-4773.

[ 4 ] LESTARI W, HANAGUD S. Nonlinear vibration of buckled beams some exact solutions International[J]. Journal of Solids and Structures, 2001, 38(1): 4741-4757.

[ 5 ] 馮志華, 胡海巖. 內(nèi)共振條件下直線運動梁的動力穩(wěn)定性[J]. 力學(xué)學(xué)報, 2002, 34(3): 389-400. FENG Zhihua HU Haiyan. Dynamic stability of a slender beam with internal resonance under a large linear motion[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2002, 34(3): 389-400.

[ 6 ] 張偉, 溫洪波, 姚明輝. 黏彈性傳動帶1∶3內(nèi)共振時的周期和混沌運動[J]. 力學(xué)學(xué)報, 2004, 36(4): 443-454. ZHANG Wei, WEN Hongbo, YANG Minghui. Periodic and chaotic oscillation of a parametrically excited viscoelastic moving belt with 1∶3 internal resonance[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2004, 36(4): 443-454.

[ 7 ] 陳樹輝, 黃建亮. 軸向運動梁非線性振動內(nèi)共振研究[J]. 力學(xué)學(xué)報, 2005, 37(1): 57-63. CHEN Shuhui, HUANG Jiangliang. On internal resonance of nonlinear vibration of axially moving beams[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2005, 37(1): 57-63.

[ 8 ] PELLICANO F.On the dynamic properties of axially moving systems[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 281(3/4/5): 593-609.

[ 9 ] ARVIN H, BAKHTIARI-NEJAD F. Nonlinear free vibration analysis of rotating composite Timoshenko beams[J]. Composite and Structures, 2013, 96(12): 29-43.

[10] PRATIHER B. Nonlinear response of a magneto elastic translating beam with prismatic joint for higher resonance conditions[J]. International Journal of Nonlinear Mechanics, 2011, 46(5): 685-692.

[11] PRATIHER B, DWIVEDY S K. Nonlinear dynamics of a soft magneto elastic cartesian manipulator[J]. International Journal of Nonlinear Mechanics, 2009, 44(7): 757-768.

[12] CHANG T P, LIU M F. Nonlinear vibration analysis of an elastic plate subjected to heavy fluid loading in magnetic field International[J]. Journal of Solids and Structures, 2009, 46(7/8): 1705-1715.

[13] WU G Y. The analysis of dynamic instability on the large amplitude vibrations of a Beam with transverse magnetic fields and thermal loads[J]. Journal of Sound and Vibration,2007, 302(1/2): 167-177.

[14] 胡宇達, 張金志. 軸向運動載流導(dǎo)電板磁熱彈性耦合動力學(xué)方程[J]. 力學(xué)學(xué)報, 2013, 45(5): 792-796. HU Yuda, ZHANG Jinzhi. Magneto-thermo-elastic couple dynamics equation of the axially moving current-carrying plant in magnetic field[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2013, 45(5): 792-796.

[15] HU Y D, HU P, ZHANG J Z. Strongly nonlinear subharmonic resonance and chaotic motion of axially moving thin plate in magnetic field[J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2015, 10(2): 0210101-0210112.

[16] 鄭曉靜, 劉信恩. 鐵磁導(dǎo)電梁式板在橫向均勻磁場中的動力特性分析[J]. 固體力學(xué)學(xué)報, 2000, 21(3): 243-250. ZHENG Xiaojing, LIU Xinen. Analysis on dynamic characteristics for ferromagnetic conducting plates in a transverse uniform magnetic field[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2000, 21(3): 243-250.

[17] 胡宇達, 張立保. 軸向運動導(dǎo)電導(dǎo)磁梁的磁彈性振動方程[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2015, 36(1): 7-8. HU Yuda, ZHANG Libao. Magneto-elastic vibration equations for axially moving conductive and magnetic beams[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2015, 36(1): 7-8.

[18] 劉延柱, 陳立群. 非線性振動[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

Magneto-elastic primary resonance of axially moving current-carrying beams in magnetic fieid

WANG Jie, HU Yuda

(Hebei Provincial Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipment and Large Structures,Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

The magneto-elastic resonance of axially moving current-carrying beams in magnetic field was investigated. Considering the geometric nonlinearity and the interaction among force, motion, electric action and magnetic one, the expressions of kinetic energy, strain energy and electro-magnetic force were derived. Then with Hamilton princile, the vibration equation of an axially moving current-carrying beam in magnetic field was deduced. According to the simply supported boundary condition and assuming three orders modal shape functions, the magneto-elastic vibration differential equations of the beam were obtained through applying Galerkin integral method. Based on the method of multi-scale, the primary resonance amplitude-frequency response equations under external excitation and current of the system were gained. The influences of magnetic field strength, applied current, axial velocity, external motion on the amplitude of the system resonance were analyzed. The results showed that in the response plot of amplitude-intensity of magnetic field, with increase in tuning parameters, the resonance curve gradually retracts and its upper finally closes, the critical separation point in this varying process is shifted to the right due to the applied current.

magneto-elastic; conductive beam; primary resonance; axially moving; alternating current; multi-scale

國家自然科學(xué)基金項目(11472239);河北省自然科學(xué)基金項目(A2015203023);河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究重點項目(ZD20131055)

2015-10-12 修改稿收到日期：2015-11-10

王杰 男，研究生，1990年生

胡宇達 男，博士，教授，1968年生

O322；O442