董小燕

【摘 要】本文簡(jiǎn)要探討了在《高等數(shù)學(xué)》某些知識(shí)點(diǎn)的處理方面應(yīng)該兼顧后續(xù)課程如《概率統(tǒng)計(jì)》需要的必要性。對(duì)“積分上限的函數(shù)其被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)求該函數(shù)”這個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)，在教學(xué)中應(yīng)如何強(qiáng)調(diào)及補(bǔ)充給出了具體的教學(xué)設(shè)計(jì)和例題分析。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；概率統(tǒng)計(jì)；積分上限的函數(shù)

《高等數(shù)學(xué)》和《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（以下簡(jiǎn)稱為《概率統(tǒng)計(jì)》）是工科院校各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，但這兩門課程又是讓很多學(xué)生望而生畏的，尤其是《概率統(tǒng)計(jì)》課程。目前由于教材編排及內(nèi)容設(shè)置等傳統(tǒng)做法并沒(méi)有很好地考慮到這兩門課程知識(shí)之間的聯(lián)系性，結(jié)果使很多學(xué)生在《概率統(tǒng)計(jì)》中用到《高等數(shù)學(xué)》的微積分知識(shí)時(shí)遇到困難，因?yàn)橐恍┮褂玫闹R(shí)或在《高等數(shù)學(xué)》中一筆帶過(guò)，或是根本沒(méi)有相應(yīng)的講解及練習(xí)，所以使學(xué)生在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí)做不到平穩(wěn)銜接，順利過(guò)渡，進(jìn)而加深了對(duì)《概率統(tǒng)計(jì)》課程的畏懼心理，導(dǎo)致該門課程教學(xué)效果大受影響。這些知識(shí)點(diǎn)包括如無(wú)窮限廣義積分計(jì)算、二重積分的積分域?yàn)闊o(wú)窮平面域、積分上限函數(shù)的被積函數(shù)為分段函數(shù)、含參變量的積分等。本文僅以《高等數(shù)學(xué)》中講授的積分上限函數(shù)為例，對(duì)于其被積函數(shù)為分段函數(shù)時(shí)如何求該積分上限函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，提供一種教學(xué)設(shè)計(jì)，便于做好和《概率統(tǒng)計(jì)》課程相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的銜接。

在傳統(tǒng)的《高等數(shù)學(xué)》教材中，對(duì)于積分上限函數(shù)，是作為微積分基本公式出現(xiàn)之前的一個(gè)預(yù)備知識(shí)，對(duì)于這個(gè)重要函數(shù)的介紹，僅限于概念和它的求導(dǎo)公式。

定義：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a，b]上的一點(diǎn)，則稱Φ（x）=f（t）dt，（a≤x≤b）為積分上限的函數(shù)。

定理：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)Φ（x）=f（t）dt在[a，b]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)Φ′（x）=f（t）dt=f（x），（a≤x≤b）。

教材中關(guān)于積分上限的函數(shù)沒(méi)有更多的介紹，只給出了兩個(gè)應(yīng)用上述定理公式的例題，在課后習(xí)題中增設(shè)了一些如隱函數(shù)求導(dǎo)、由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)、積分上限函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、洛必達(dá)法則以及被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)積分上限的函數(shù)的求法等等類型的習(xí)題。這些習(xí)題中，前面的那幾種類型都是學(xué)生在《高等數(shù)學(xué)》中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，不同之處在于其中出現(xiàn)的函數(shù)是本節(jié)新學(xué)到的積分上限的函數(shù)，教師一般會(huì)作為新知識(shí)應(yīng)用及舊知識(shí)復(fù)習(xí)的結(jié)合，給學(xué)生加以講解及練習(xí)。唯獨(dú)被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)積分上限的函數(shù)的求法這種題型，若非教師本人熟悉后續(xù)課程《概率統(tǒng)計(jì)》的相關(guān)內(nèi)容，往往會(huì)覺(jué)得在高等數(shù)學(xué)課程中沒(méi)有太大作用，學(xué)生比較難理解，接受起來(lái)比較吃力，因此往往就直接忽略了這樣的題型。但這樣的處理方式直接導(dǎo)致在《概率統(tǒng)計(jì)》課程中學(xué)生在學(xué)習(xí)諸如連續(xù)型隨機(jī)變量由概率密度函數(shù)求分布函數(shù)等相關(guān)知識(shí)時(shí)遇到困難。因此，在高等數(shù)學(xué)本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的處理上，建議增加以下例題和練習(xí)題，并詳細(xì)地加以分析和講解，輔助以練習(xí)，從而達(dá)到在后續(xù)課程應(yīng)用時(shí)能順利銜接的目的。

例：設(shè)f（x）=x2，x∈[0，1）

x，x∈[1，2]，求Φ（x）=f（t）dt在[0，2]上的表達(dá)式。

在該例的講解過(guò)程中，教師應(yīng)著力于讓學(xué)生區(qū)分清楚積分變量和積分上限處的變量x，以及它們各自的取值范圍，即0≤t≤x，0≤x≤2。其中積分上限處的變量x具有兩重屬性，絕對(duì)的變化性和相對(duì)的固定性，即作為函數(shù)Φ（x）的自變量它是絕對(duì)變化的，但作為定積分f（t）dt的上限時(shí)它又是相對(duì)固定的。必要時(shí)可借助于定積分的幾何意義，進(jìn)行曲邊梯形面積的圖形直觀演示，讓學(xué)生清楚此例中函數(shù)Φ（x）的定義域是[0，2]。同時(shí)要強(qiáng)調(diào)，當(dāng)積分區(qū)間變化時(shí)，相應(yīng)的被積函數(shù)f（t）也會(huì)隨著變化，如0≤x≤1時(shí)，f（t）=t2，而當(dāng)1≤x≤2時(shí)，由于被積函數(shù)的不同需要利用“定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性”這樣的性質(zhì)把積分區(qū)間分為0≤t<1和1≤t≤x，在這兩段積分區(qū)間上，被積函數(shù)分別是f（t）=t2和f（t）=t。相信通過(guò)這樣層層抽絲剝繭細(xì)致入微的分析講解后，學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容以及函數(shù)Φ（x）的理解會(huì)進(jìn)一步加深。

此外，教師應(yīng)補(bǔ)充一些類似的題目，讓學(xué)生仿照剛才的例題繼續(xù)進(jìn)行練習(xí)，通過(guò)例題的講解和補(bǔ)充題目的練習(xí)，力爭(zhēng)使學(xué)生對(duì)這一類問(wèn)題全面掌握。這既有利于《高等數(shù)學(xué)》課程中學(xué)生對(duì)積分上限的函數(shù)這部分的學(xué)習(xí)深入扎實(shí)，又為《概率統(tǒng)計(jì)》課程相應(yīng)部分打下了良好的基礎(chǔ)。以下兩道題目可供學(xué)生練習(xí)參考。

練習(xí)1：設(shè)f（x）=

sinx，0≤x≤π

0， x<0或x>π，求Φ（x）=f（t）dt在（-∞，+∞）上的表達(dá)式。

練習(xí)2：設(shè)f（x）=

x，0≤x<3

2-，3≤x≤4

0， x<0或x>4，求Φ（x）=f（t）dt在（-∞，+∞）上的表達(dá)式。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.《高等數(shù)學(xué)》（上）（第六版），高等教育出版社

[2]盛驟等編.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（第四版），高等教育出版社