吳云飛

[摘 要]“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的十個(gè)核心概念之一，它能幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)建深刻的數(shù)學(xué)表象，使學(xué)生的形象感知提升到抽象思維；能解決兒童思維特點(diǎn)與數(shù)學(xué)抽象性之間的矛盾，使學(xué)生學(xué)得更容易、更輕松，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中有很多知識(shí)點(diǎn)是很難為學(xué)生提供良好的幾何直觀的，所以也使得這部分知識(shí)的表象無法深刻構(gòu)建。幾何畫板的出現(xiàn)和不斷發(fā)展，為這一問題的解決提供了一個(gè)很好的工具。

[關(guān)鍵詞]幾何畫板；幾何直觀；圖形與幾何；表象

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）02-014

小學(xué)數(shù)學(xué)雖然不需要向?qū)W生呈現(xiàn)類似高等數(shù)學(xué)紛繁復(fù)雜的知識(shí)，但是在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中，有很多知識(shí)點(diǎn)很難為學(xué)生提供良好的幾何直觀，使得這部分知識(shí)的表象無法深刻構(gòu)建。而教師也有著難以言語的尷尬，如用心制作的教具難以解決實(shí)質(zhì)性問題；現(xiàn)代媒體軟件PPT機(jī)械式的動(dòng)畫浮于表面。幾何畫板的出現(xiàn)和不斷發(fā)展，為這一問題的解決提供了一個(gè)很好的工具。幾何畫板被稱為“21世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何”，它能夠動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)出幾何對象的位置關(guān)系、變化規(guī)律，可以有效解決兒童思維特點(diǎn)與數(shù)學(xué)抽象性之間的矛盾，尤其對幾何直觀的構(gòu)建作用更是無可比擬。可以說，它是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的一把“利劍” 。

一、追蹤軌跡，“動(dòng)”“靜”心隨我愿

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于包含動(dòng)態(tài)變化的問題，只能通過教師的語言進(jìn)行描述，而學(xué)生則根據(jù)一些靜態(tài)圖形對其進(jìn)行抽象思維。而若利用課件也最多能為學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)動(dòng)畫的過程，并不能對圖形的最本質(zhì)的軌跡進(jìn)行追蹤和保留。因此，對于以形象思維為主的小學(xué)生來說，他們是很難對數(shù)學(xué)對象有深層次的認(rèn)識(shí)的。 而幾何畫板的追蹤軌跡功能，能形象直觀地把圖形運(yùn)動(dòng)的每一個(gè)時(shí)刻展現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生更清楚地觀察運(yùn)動(dòng)、變化中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，使隱形的、簡縮的思維過程展現(xiàn)出來，為揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)提供有力的表象支撐。

1.追蹤軌跡，動(dòng)靜結(jié)合直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)

眾所周知，學(xué)習(xí)舞蹈時(shí)總是先分開學(xué)習(xí)每一個(gè)動(dòng)作，而后再把它們連貫起來進(jìn)行練習(xí)。其實(shí)，無論是兒童還是成人，如果想要分析一種動(dòng)態(tài)變化現(xiàn)象的本質(zhì)，就要和學(xué)習(xí)舞蹈一樣——先看清每個(gè)動(dòng)作的特點(diǎn)，掌握好每個(gè)動(dòng)作，然后再把它們連起來進(jìn)行細(xì)致觀察，從而發(fā)現(xiàn)其中的本質(zhì)規(guī)律。而分解每個(gè)動(dòng)作并保留每個(gè)動(dòng)作的軌跡正是幾何畫板不同于其他軟件的最大特點(diǎn)之一。

例如，學(xué)生僅利用圓的本質(zhì)特征對“車輪為什么要做成圓的”這一問題進(jìn)行解釋是非常難的，這時(shí)教師可以利用幾何畫板制作“橢圓”和“圓”在直線上滾動(dòng)的動(dòng)畫，并追蹤“橢圓”的中心點(diǎn)和圓的圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖1），同時(shí)與學(xué)生一起進(jìn)行分步分析。

這樣利用幾何畫板進(jìn)行分步分析，能使學(xué)生直觀感受橢圓與圓兩者的本質(zhì)差別，為他們解釋“車輪為什么要做成圓的”提供有力的表象支撐。

與其他課件制作軟件（如PPT）相比，幾何畫板能使“動(dòng)畫的軌跡”得以保留，不僅為學(xué)生呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)的變化過程，而且能把這個(gè)過程中最本質(zhì)的東西保留下來，為學(xué)生的進(jìn)一步思考留下有形的痕跡。

2.追蹤軌跡，由局部到整體完善知識(shí)表象

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于受教學(xué)時(shí)間和教具形式等因素的影響，導(dǎo)致學(xué)生無法建立起完善的數(shù)學(xué)知識(shí)表象，進(jìn)而無法真正理解數(shù)學(xué)思想。

極限思想是圓的教學(xué)的核心，是有關(guān)圓面積及圓柱體積計(jì)算等后續(xù)知識(shí)的生長點(diǎn)。因此，如何利用極限思想來感悟圓的本質(zhì)特征——“一中同長”，是圓初始課中需要濃墨重彩刻畫的重要環(huán)節(jié)。而利用幾何畫板就能很好地幫助我們實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。首先利用幾何畫板的“旋轉(zhuǎn)”功能逐步展現(xiàn)圓上的一些動(dòng)態(tài)點(diǎn)（如圖2），然后讓學(xué)生想象更多點(diǎn)的情況，再通過“追蹤點(diǎn)的軌跡”驗(yàn)證學(xué)生的想象，最后為他們建立完整的知識(shí)表象。

3.追蹤軌跡，由面到體現(xiàn)場印證想象

對于立體圖形與平面圖形轉(zhuǎn)化的問題，如果只靠教師運(yùn)用語言來描述，學(xué)生很難構(gòu)建出正確的圖形表象；如果運(yùn)用傳統(tǒng)的教學(xué)工具，如粉筆、黑板、模型等，又很難直觀演示；而利用傳統(tǒng)的課件又不能體現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化的過程。因此，當(dāng)遇到這樣的情況時(shí)，很多教師會(huì)說“空間想象力的差距太大”。誠然，這個(gè)是不可忽視的問題，但是如果利用幾何畫板直觀形象地演示這一過程，就能較好地幫助空間想象力較弱的學(xué)生構(gòu)建起空間轉(zhuǎn)化的表象，而對于空間想象力較強(qiáng)的學(xué)生，也有助于加深他們對問題的理解。

筆者曾聽過“圓柱的認(rèn)識(shí)”的一堂課，整個(gè)課堂非常精彩，但有一點(diǎn)卻讓筆者“耿耿于懷”——當(dāng)教師提出“用一張紙，你能創(chuàng)造出一個(gè)圓柱嗎”這一問題時(shí)，有一個(gè)學(xué)生提到：“如果這張紙是圓形的話，就能通過上下平移得到圓柱（確切地說應(yīng)該是平移過程中通過的空間大?。！倍嗝淳实幕卮鸢。∪欢?，面對如此獨(dú)到的見解，這位教師卻犯難了，因?yàn)槿螒{他如何用語言來解釋，大部分學(xué)生都無法深刻理解；而實(shí)物操作不僅缺乏連貫性，而且也無法呈現(xiàn)出所創(chuàng)造的“圓柱”。其實(shí)，只要利用幾何畫板就能很好地解決這個(gè)問題（如圖3）。

對于學(xué)生來說，這樣的表象一看就能明白，并能輕易理解其中的關(guān)系。這樣動(dòng)態(tài)教學(xué)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)柱體的體積公式（底面積乘高）積累了有益的經(jīng)驗(yàn)。同樣的，在教材提到的關(guān)于“長方形紙旋轉(zhuǎn)得到圓柱的操作”的問題上，如果也能利用幾何畫板（如圖4），亦可以收到事半功倍的教學(xué)效果。

通過幾何畫板直觀演示，立體圖形清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，這不僅使學(xué)生掌握了平面圖形與立體圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系，還幫助學(xué)生構(gòu)建了深刻的表象。在學(xué)生有了這樣的表象依托后，我們可以進(jìn)一步讓他們對比不同旋轉(zhuǎn)后所得圓柱的特點(diǎn)，從而深刻理解圓柱的粗細(xì)、高矮與什么有關(guān)等知識(shí)（課件上的三張長方形紙是完全一樣的，因此學(xué)生可以非常直觀地感受到這一點(diǎn)），為后續(xù)的圓的表面積和體積的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

二、即時(shí)演示，“多”“少”變在我手

現(xiàn)在的課堂瞬息萬變，而以往課件的交互性與即時(shí)性相對較弱，很多時(shí)候只能按照教師預(yù)先設(shè)計(jì)好的順序進(jìn)行反饋，一旦教師的預(yù)設(shè)不全面，就會(huì)留下很多遺憾。幾何畫板不但具有良好的交互性，而且有很強(qiáng)大的即時(shí)性。在教學(xué)過程中，利用幾何畫板，教師可以隨時(shí)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況或即時(shí)變化課件預(yù)設(shè)，或邊授課邊制作，或由學(xué)生小組親自動(dòng)手。這樣，學(xué)生不但可以獨(dú)立制作一些簡單的數(shù)學(xué)課件，而且還可以從中學(xué)會(huì)計(jì)算機(jī)軟件的使用方法，體會(huì)到信息技術(shù)的優(yōu)勢。這也正是幾何畫板的另一大優(yōu)點(diǎn)。

1. 即時(shí)演示，親眼見證奇妙變化

在一些數(shù)學(xué)知識(shí)的研究中，我們往往需多次操作才能得出正確的結(jié)論，而這個(gè)“多次操作”有時(shí)候既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力。如果利用一般的課件，又會(huì)出現(xiàn)和學(xué)生的提問無法一致的現(xiàn)象，從而缺失交互性。利用幾何畫板能很好地解決這一難題，利用它強(qiáng)大的參數(shù)功能可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生要什么數(shù)據(jù)就有什么數(shù)據(jù)。

例如，在“圓的面積”一課中，我們在推導(dǎo)圓面積公式時(shí)，如果單純的用剪拼的操作來推導(dǎo)的話太過麻煩，而且效果也不一定好，若用一般課件其預(yù)設(shè)又太單一（只能預(yù)先做好固定的等份，不能根據(jù)課堂生成隨意改動(dòng)）。而如果在適當(dāng)剪拼的基礎(chǔ)上利用幾何畫板，就可以生成任意等份的圓，而且圓的大小等都可以隨意改變（如圖5所示）。

[其中n是半圓的等份次數(shù)（可以隨時(shí)填入），R代表圓的半徑大?。梢噪S意改變），虛線表示整個(gè)剪拼過程（可以隨意拉動(dòng)并保持在任何位置，也可以動(dòng)畫演示）。]

幾何畫板利用一個(gè)預(yù)設(shè)課件就可以“以一圖應(yīng)萬變”，這是其他教學(xué)軟件所無法比擬的，“幾何畫板”的優(yōu)越性顯而易見。

2.即時(shí)演示，實(shí)時(shí)感受“變中不變”

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們總希望學(xué)生掌握“分析現(xiàn)象，抓住本質(zhì)，得出結(jié)論”的學(xué)習(xí)方法，但有時(shí)候又愛莫能助——沒有足夠的時(shí)間或沒有辦法提供給學(xué)生更多、更全的現(xiàn)象，從而不能使他們建立全面、深刻的表象，構(gòu)建幾何直觀，所以很多時(shí)候只能是教師“代勞”分析與總結(jié)。幾何畫板的作圖是利用“幾何關(guān)系不變”這規(guī)律來進(jìn)行的，所以利用它完全可以幫助我們解決這一問題。

例如，“垂直與平行”這一課中，學(xué)生在研究了這兩個(gè)現(xiàn)象后，對于兩條直線在正常位置（水平、豎直等）的判斷大都沒有問題，但是有部分學(xué)生對非正常位置的判斷卻存在問題。究其原因是，他們這方面的表象建立得不夠。倘若在其中花1分鐘利用幾何畫板展現(xiàn)平行和垂直（如圖6所示），然后隨意拖動(dòng)，不僅可在數(shù)秒鐘之內(nèi)讓學(xué)生觀察到足夠多的現(xiàn)象，建立比較全面的平行和垂直的表象，而且能讓學(xué)生更好地體會(huì)“變中不變”的思想。

3.即時(shí)演示，直觀分析知識(shí)聯(lián)系

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有些內(nèi)容之間有著緊密的聯(lián)系，因此需要通過大量的觀察和對比，以發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。但是只憑“空對空”的講解、對話，是無法使那些原本就弄不清楚的學(xué)生，特別是潛能生走出“云里霧里”的模糊狀態(tài)，即使用幾個(gè)靜態(tài)圖來說明，也會(huì)讓人感覺“缺乏聯(lián)系”，從而不能使課堂教學(xué)效果最大化，浪費(fèi)大量的課堂教學(xué)時(shí)間。這時(shí)，如果我們利用幾何畫板來進(jìn)行即時(shí)動(dòng)態(tài)操作演示，在演示的過程中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、討論，那么其效果是不言而喻的。

例如，在學(xué)生學(xué)完平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算之后，我們往往會(huì)讓學(xué)生進(jìn)一步理解三個(gè)面積計(jì)算公式，這就需要和學(xué)生探討這三個(gè)面積計(jì)算公式之間的關(guān)系，得到平行四邊形和三角形其實(shí)是梯形的兩種“特殊情況”（平行四邊形是上底和下底相等的“特殊”梯形，三角形是上底為0的“特殊”梯形）。此時(shí)，如果利用幾何畫板強(qiáng)大的交互性和即時(shí)性制作一個(gè)平行四邊形、三角形和梯形相互轉(zhuǎn)化的動(dòng)態(tài)課件（如圖7），可收到事半功倍的教學(xué)效果。

（在圖7中，拖動(dòng)右上的點(diǎn)即可在平行四邊形、三角形和梯形之間隨意轉(zhuǎn)化，也可制作成連續(xù)的動(dòng)畫。而且在“高”方面也能幫助學(xué)生深刻理解“點(diǎn)到直線的距離”的本質(zhì)。）

4.即時(shí)演示，現(xiàn)場彌補(bǔ)操作不足

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有部分知識(shí)是需要學(xué)生在實(shí)踐操作中慢慢發(fā)現(xiàn)的，但是這些實(shí)踐操作往往如同“雞肋”一般“食之無味，棄之可惜”——學(xué)生操作時(shí)的“量”不夠多，“質(zhì)”不夠高。

例如，在“圓的周長”一課中，學(xué)生用線操作后發(fā)現(xiàn)要找出圓的周長與直徑的聯(lián)系比較困難，甚至有一部分學(xué)生根本不知道“為什么而做”。因此，我們可以在學(xué)生操作的基礎(chǔ)上再通過幾何畫板演示（如圖8），以彌補(bǔ)他們操作時(shí)的不足。

（如圖8，我們可以用圓心隨意調(diào)節(jié)圓的大小，拖動(dòng)下面的點(diǎn)可以反復(fù)拉直與還原圓的周長，并且在比較的過程中，3條直徑也會(huì)隨圓大小的變化而變化，能讓學(xué)生清楚地感受到3倍多一點(diǎn)的關(guān)系，最后顯示圓的周長與直徑的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生總結(jié)得出π，效果相當(dāng)好。）

綜上可知，如何利用幾何畫板來幫助學(xué)生深刻構(gòu)建數(shù)學(xué)表象是非常值得研究的課題。筆者通過上述的舉例說明，提出了一些具有實(shí)際可行性的操作點(diǎn)，希望能引起大家的更多思考。

（責(zé)編 黃春香）