郝紅云

[摘 要] 當(dāng)有效教學(xué)成為一種普遍追求的時候，教師更要結(jié)合學(xué)科教學(xué)尋找有效教學(xué)語境下更為有效的保證. 有效教學(xué)是有效的教與學(xué)的共同結(jié)果，教師與學(xué)生之間主要是借助于語言來溝通的，而語言是思維的工具，問題又是打開學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑. 因此有效的問題設(shè)計與提出，有效的思維層次與梯度，以及讓學(xué)生感覺到心理安全的教學(xué)情境，是有效互動的重要保證.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)課堂；有效互動；問題

當(dāng)有效教學(xué)成為一種普遍的追求時，就應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步分析怎樣的舉措可以促進(jìn)有效教學(xué)的發(fā)生. 事實上，關(guān)于此的研究并不少見，大抵是從教學(xué)方式、教學(xué)理念、教學(xué)策略等角度來進(jìn)行研究的. 筆者以為，教學(xué)本身包含著“教”與“學(xué)”兩個層面上的內(nèi)容，而兩者的主體分別是教師與學(xué)生，當(dāng)教學(xué)成為一個整體時，意味著教師與學(xué)生也是這個過程中的主角. 這樣的理解除了傳統(tǒng)的教師主導(dǎo)與學(xué)生主體之外，師生之間的教學(xué)互動應(yīng)當(dāng)更需要進(jìn)行研究，或者說這是事關(guān)教學(xué)是否有效的更為直接的因素.

當(dāng)然，任何課堂上都存在著師生互動，但講授教學(xué)方式下的單向的師生互動顯然并不能保證教學(xué)的有效性. 在以生為本的教學(xué)理念下，教師自己應(yīng)當(dāng)有什么樣的教學(xué)行為，教師引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生什么樣的學(xué)習(xí)行為，才是教學(xué)有效性的關(guān)鍵. 筆者試以高中數(shù)學(xué)“任意角的三角函數(shù)”一課的教學(xué)細(xì)節(jié)為例，談?wù)勅绾卧谟行У膸熒拥幕A(chǔ)上促進(jìn)有效教學(xué).

有效的師生互動以有效的問題為引子

高中數(shù)學(xué)教學(xué)是離不開問題的，因為問題可以讓師生之間圍繞同一個話題去展開思考，那么如何設(shè)計出可以稱為有效的問題呢？

理論研究表明，有效的問題往往有一個共同的特征，就是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的認(rèn)知規(guī)律有這樣的幾點教學(xué)需求：

一是需要注重知識的層次性. 絕大多數(shù)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的過程中都存在著明顯的層次性特征，這實際上與我們傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)思路有關(guān)，也與數(shù)學(xué)知識發(fā)展的脈絡(luò)相關(guān)，只有基于原有知識去構(gòu)建新的知識才是符合邏輯的. 需要注意的是，知識的層次性不意味著教學(xué)的單向進(jìn)行，在注重知識層次性的基礎(chǔ)上去提出有效的問題，才是教師努力的方向. 如在“任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)中，為了引入課題，教師可以提出這樣的問題：用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系都可以表示圓周上的某點P，同學(xué)們知道這兩種表示方法之間存在什么樣的聯(lián)系嗎？這一問題的提出，是建立在學(xué)生已經(jīng)知道如何用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)這兩種方法表示圓周上某點的基礎(chǔ)之上的，層次性顯而易見. 而下面的師生互動是否有效，實際上與學(xué)生的原有認(rèn)識密切相關(guān)，只要對其中的一種表示方法不熟悉，那師生互動就可能成為教師講學(xué)生聽的單向過程.

二是要注重問題的遞進(jìn)性. 問題的遞進(jìn)性可以保證學(xué)生思維的逐步深入，可以不斷打開學(xué)生的思維大門，因而對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式與品質(zhì)是很有幫助的，而有效的師生互動也可以借此發(fā)生. 在“任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)中，教師可以基于上述問題進(jìn)一步提出：這個問題的實質(zhì)其實就是選擇用什么樣的數(shù)學(xué)模型描述（r，a）與（x，y）的關(guān)系. 當(dāng)學(xué)生解決了上述問題之后，教師基于從特殊到一般的思路，可以進(jìn)一步提出“怎樣從銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)”的問題. 這樣的三重遞進(jìn)，可以將學(xué)生的思維進(jìn)一步引入到用有向線段及單位圓表征三角函數(shù)的思路上來. 在此過程中，學(xué)生的思維會異常活躍，課堂上的師生互動會十分有效.

三是要注重學(xué)生思路的邏輯性. 在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，總會有一些學(xué)生的思維存在跳躍性，這其中有些學(xué)生是直覺性較好，而相當(dāng)一部分則是思維方式的欠缺造成的，這也會造成師生之間無效的互動（所謂課堂上放得太開收不回來，這即是重要原因之一）. 因此，有效的提問表現(xiàn)為對學(xué)生思路邏輯性的尊重與引導(dǎo)，上面的三個問題有層層遞進(jìn)的意思，從“同學(xué)們知道這兩種表示方法之間存在什么樣的聯(lián)系嗎”到“選擇用什么樣的數(shù)學(xué)模型描述（r，a）與（x，y）的關(guān)系”，再到“從銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)”，更多的是數(shù)學(xué)思維間的邏輯關(guān)系，并以此促進(jìn)師生之間基于數(shù)學(xué)思維邏輯的互動.

有效的師生互動以有效的思維為保證

師生互動表現(xiàn)為師生在教學(xué)過程中的語言互動（其他諸如肢體、眼神的互動等，限于篇幅，本文不贅述），而語言其實是學(xué)生思維的表達(dá)方式，真正互動的應(yīng)當(dāng)是師生的思維. 教師由于教學(xué)經(jīng)驗的累積，往往對一個數(shù)學(xué)問題的提出、猜想與解決有著明確的思路，而此時如果忽視了學(xué)生的思維特征，則互動就無法真正發(fā)生，因此真正的挑戰(zhàn)在于教師對學(xué)生思維的把握.

學(xué)生在認(rèn)識“任意角的三角函數(shù)”的時候，面對著三角函數(shù)的幾何表示問題，尤其是有向線段的引入問題，不同學(xué)生常常會出現(xiàn)思維上的不同水準(zhǔn)，有學(xué)生在建立有向線段的時候感覺十分困難，因為他們很難將只有大小的線段與方向結(jié)合起來；而有的學(xué)生則會因為其他學(xué)科的相關(guān)學(xué)習(xí)，而結(jié)合具體的實例以賦予有向線段實際意義. 這樣的思維差異，導(dǎo)致了教師在此內(nèi)容的教學(xué)中需要關(guān)注思維困難學(xué)生的思維，而看似隨口的一句“結(jié)合實例想想”的引導(dǎo)，也可以化解部分學(xué)生在建構(gòu)有向線段時的思維困難. 而這樣的引導(dǎo)，其實就是有效師生互動中的問題引導(dǎo)，是有效保證.

需要強(qiáng)調(diào)的是，有效的師生互動結(jié)果空間怎樣，是需要評價的. 在“任意角的三角函數(shù)中”教學(xué)，有這樣的一個教學(xué)環(huán)節(jié)需要引起數(shù)學(xué)教師的重視，那就是學(xué)生在有向線段概念建立的基礎(chǔ)上的“用適當(dāng)?shù)挠邢蚓€段表示第一象限角的正切”的探究，這是學(xué)生用剛才師生互動過程中建構(gòu)出來的知識進(jìn)行新探究的過程，是數(shù)學(xué)知識的即時遷移，是數(shù)學(xué)思維的重復(fù)運(yùn)用. 教學(xué)實踐經(jīng)驗表明，此過程中還是要進(jìn)行思維的引導(dǎo)的，因為總有一部分學(xué)生并不能做到舉一反三，因此此時需要以“在剛才的學(xué)習(xí)中我們是怎樣解決問題的”“此問題與剛才的問題有什么聯(lián)系，有什么區(qū)別”這樣的問題，去引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生對比的思維，從而在對比中完成知識的再建構(gòu)與能力的遷移，顯然，這也是有效教學(xué)的另一保證.

在這個過程中，有效教學(xué)需以有效的提問為催化，即問題的提問者應(yīng)當(dāng)成為研究的另一重要對象. 常規(guī)的研究中，往往認(rèn)為問題既可以由教師提出，也可以由學(xué)生提出，事實上這相當(dāng)于一句正確的廢話，因為即使教師在此基礎(chǔ)上生成的難的問題由教師提出、簡單的問題由學(xué)生提出，仍然是經(jīng)不起課堂的檢驗的. 在課堂學(xué)習(xí)這一個復(fù)雜的即時過程中，教師要預(yù)判問題的難度其實是有困難的，學(xué)生更加難以精確把握自己在面對一個問題時的實際思維狀態(tài)，因此要用問題作為有效互動的催化，需要面向?qū)W生的思維難點作“精確打擊”. 例如，在上面所舉的“用適當(dāng)?shù)挠邢蚓€段表示第一象限角的正切”探究實例中，筆者在學(xué)生分組討論的時候，對不同小組的個別學(xué)生進(jìn)行了觀察，然后將其中的部分學(xué)生集中起來，結(jié)合“角的終邊”所在的不同象限進(jìn)行提問：在不同的象限有什么不同，對最終用有向線段表示會產(chǎn)生什么影響？事實證明，這樣的提問往往能夠讓這部分學(xué)生的思路更為清晰，這其中既體現(xiàn)了問題的層次性、漸進(jìn)性，實際上也起到了催化作用.

有效的師生互動以有效的情境為基礎(chǔ)

有效互動是需要情境保證的，這里的情境分兩個層面來討論：一是學(xué)科意義的情境，二是非學(xué)科意義的情境.

學(xué)科意義的情境容易理解，要構(gòu)建某個數(shù)學(xué)知識，需以學(xué)生學(xué)習(xí)過的相關(guān)知識為基礎(chǔ)去創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，以讓學(xué)生的思維能夠迅速進(jìn)入到知識構(gòu)建的情境當(dāng)中. 上面第一點所提出的“用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系都可以表示圓周上的某點P，同學(xué)們知道這兩種表示方法之間存在什么樣的聯(lián)系嗎”這個問題，其實就有引學(xué)生入境的意味，此處不再多說.

非學(xué)科意義的情境是需要高度重視的，因為其影響學(xué)生的學(xué)習(xí)心理與狀態(tài)，是有效互動能否發(fā)生的心理保障. 高中數(shù)學(xué)因為其抽象與繁難，常常會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)心態(tài)，如果教師在課堂上不能創(chuàng)設(shè)一個讓學(xué)生感覺到心理安全的情境，那么有效互動就無從發(fā)生. 其實學(xué)生在將銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)時，相當(dāng)一部分學(xué)生確實會發(fā)生一些低級錯誤，比如不同象限的符號混淆等. 遇到這些問題教師如何評價，就關(guān)乎學(xué)生學(xué)習(xí)的心理情境：理解式的評價，會讓學(xué)生放下心理負(fù)擔(dān)，進(jìn)而更積極地學(xué)習(xí)；反之則會長時間沉浸在恐懼的心理當(dāng)中，后面的有效互動自然也就無法發(fā)生.

實際上，在課堂中，學(xué)科意義與非學(xué)科意義的情境是不需要太過區(qū)分的，因為在教學(xué)的過程中，讓自己擁有理解學(xué)生學(xué)習(xí)過程的心態(tài)實施教學(xué)，才是營造積極學(xué)習(xí)氣氛的根本，也是高中數(shù)學(xué)課堂上師生有效互動的長久保證.