林艷

[摘 要]面對抽象的數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系、枯燥的算理、捉摸不清的規(guī)律等數(shù)學(xué)知識，教師可以利用幾何直觀把教學(xué)資源變靜態(tài)為動態(tài)、變枯燥為鮮活、變無形為有形，讓學(xué)生輕松學(xué)數(shù)學(xué)。借助幾何直觀明晰概念、探索規(guī)律、分析關(guān)系；拓展幾何直觀的應(yīng)用，挖掘有關(guān)教學(xué)素材；重視數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)畫圖意識，是幾何直觀教學(xué)的有效手段與途徑。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀；概念；規(guī)律；數(shù)量關(guān)系；畫圖

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）05-0031-02

作為一名長期從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一線教師，筆者經(jīng)常聽到學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科發(fā)出感慨，如“數(shù)學(xué)好難??！”“數(shù)學(xué)很神秘?！薄拔腋韭牪欢秒y理解啊。”……這或多或少反映出學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中普遍感覺很難，信心與興趣不足。對于以形象思維為主的小學(xué)生來說，怎樣讓他們更輕松地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的魅力，一直是困擾數(shù)學(xué)教師的難題，而借助幾何直觀這把鑰匙，就可以有效幫助學(xué)生打開通往神秘的數(shù)學(xué)世界的大門。

一、幾何直觀的本質(zhì)

“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出的十個(gè)核心概念之一，也是新增的一個(gè)核心概念。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用。”其中第一句話是對幾何直觀的兩種表現(xiàn)形式做的精煉概括，后兩句則表明了幾何直觀的作用。

那么，幾何直觀到底是什么？德國數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的直觀是對概念、證明的直接把握?！蔽覈臄?shù)學(xué)家、教育家徐利治教授指出：“直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知?！币簿褪钦f，幾何直觀能夠幫助人們將自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)建立起對應(yīng)關(guān)系。其實(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂歷來重視直觀教學(xué)，但過去的教學(xué)更多的是側(cè)重于直觀感知。如今的幾何直觀不再滿足于感性認(rèn)識，還強(qiáng)調(diào)利用圖形洞察問題的本質(zhì)。總的來說，幾何直觀既是一個(gè)過程，又是一個(gè)結(jié)果，既有形象思維的特點(diǎn)，又有抽象思維的特點(diǎn)，兩者相互交織，互相關(guān)聯(lián)。

二、幾何直觀的應(yīng)用

面對抽象的數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系、枯燥的算理，教師可以利用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，使教學(xué)資源變靜態(tài)為動態(tài)、變枯燥為鮮活、變無形為有形，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得輕松愉快?，F(xiàn)結(jié)合具體的例題說明幾何直觀在課堂教學(xué)中的應(yīng)用。

1.借助幾何直觀明晰概念

小學(xué)數(shù)學(xué)概念大都是通過對同類事物中若干不同例子進(jìn)行感知、分析、比較和抽象，以歸納方式概括出這類事物的本質(zhì)屬性而獲得的。每建立一個(gè)全新的概念，教師都應(yīng)把握好概念的內(nèi)涵與外延，避免學(xué)生混淆概念。

如教學(xué)“方程的意義”時(shí)，我通過一架天平自然地架起“方程”這一概念與學(xué)生思維的橋梁。教學(xué)時(shí)，我充分利用天平的直觀性，使學(xué)生通過不平衡和平衡的反復(fù)比較，初步感知物體質(zhì)量與砝碼質(zhì)量之間產(chǎn)生的不相等和相等關(guān)系，體會數(shù)量之間的聯(lián)系。等式是方程的生長點(diǎn)，為了使學(xué)生更好地理解方程的意義，在脫離天平之后，可通過分類建立等式的概念，在此基礎(chǔ)上再對等式進(jìn)行分類，揭示方程的本質(zhì)——含有未知數(shù)的等式。到這里，學(xué)生對方程的意義是否已經(jīng)真的明晰了呢？我讓學(xué)生從黑板上密密麻麻的式子中分別圈出等式和方程。結(jié)果，部分學(xué)生就把方程歸為一類，把不是方程的等式歸為一類。顯然，這部分學(xué)生混淆了等式和方程的概念。這時(shí)通過辨析、反思、調(diào)整，“方程一定是等式，等式不一定是方程?！钡慕Y(jié)論便在學(xué)生的頭腦中得到強(qiáng)化。

從新課開始天平圖的使用，到探究新知過程中韋恩圖的幾次運(yùn)用，教師借助幾何直觀讓概念逐漸明晰，讓學(xué)生經(jīng)歷從生活情境到方程模型的建構(gòu)過程，感受集合思想。

2.借助幾何直觀探索規(guī)律

圖形直觀、形象的特點(diǎn)，決定了化數(shù)為形往往能夠達(dá)到以簡馭繁的目的。有時(shí)圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律，可利用數(shù)的規(guī)律來解決圖形的問題；有時(shí)利用圖形直觀地揭示數(shù)學(xué)規(guī)律，解釋一些比較抽象的數(shù)學(xué)原理，可讓人一目了然。

如握手中的數(shù)學(xué)問題：20個(gè)人每兩人握手一次，一共要握手多少次？教師引導(dǎo)學(xué)生畫出表格化繁為簡，從最簡單的問題入手，用兩個(gè)點(diǎn)表示兩個(gè)人，握手一次可以用兩個(gè)點(diǎn)間的連線來表示，然后在逐漸增加條件的過程中探索規(guī)律。學(xué)生借助簡單的示意圖，可以清楚地知道有多少人握手，握手的總次數(shù)就是從1加到比握手的總?cè)藬?shù)少1的數(shù)，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，即平面上的n個(gè)點(diǎn)可以連成[1+2+3+4+…+（n-1）]條線段。

又如植樹問題，可用形象的圖形輔助理解。學(xué)生通過畫出線段圖，發(fā)現(xiàn)植樹問題可能存在三種情況：

教材中“數(shù)學(xué)廣角”的許多內(nèi)容都可以借助幾何直觀幫助學(xué)生探究規(guī)律，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生深刻感受數(shù)學(xué)的魅力。

3.借助幾何直觀分析關(guān)系

幾何直觀是解決問題行之有效的方法。例如，教學(xué)用乘除兩步計(jì)算解決含有“歸總”數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問題“小華的錢買3元一本的筆記本，正好可以買8本。用這些錢買4元一本的筆記本，可以買幾本？”時(shí)，由于題中涉及總價(jià)相等這一數(shù)量關(guān)系，用示意圖很難表示，而且數(shù)據(jù)較大，畫起來也很麻煩。這時(shí)，可以用上下兩條長度相等的線段表示總價(jià)不變，再將線段平均分成相應(yīng)的份數(shù)。這樣既能清楚地說明總價(jià)一定，又能體現(xiàn)單價(jià)與數(shù)量的關(guān)系。通過畫線段圖，可建立起“歸總”問題的模型，即“總量不變，需要先用乘法算出總量”的數(shù)學(xué)模型。畫線段圖是一個(gè)“去情境化”的過程，它能把情境化的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行提煉，并進(jìn)行直觀表達(dá)。可見，幾何直觀在分析數(shù)量關(guān)系、解決問題過程中有著不可替代的作用。

4.借助幾何直觀理解算理

小學(xué)生的抽象思維不足，需要借助直觀模型來幫助理解，尤其在面對枯燥難懂的算理時(shí)。

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘法”的算理時(shí)，教師可以利用長方形模型進(jìn)行教學(xué)。對分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算算理的探索與理解歷來是教學(xué)的難點(diǎn)。根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，教師可引導(dǎo)學(xué)生對一張長方形紙進(jìn)行折疊和涂色等操作活動，借助幾何直觀，數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生在理解分?jǐn)?shù)乘法算理的基礎(chǔ)上掌握算法。

又如教學(xué)“分?jǐn)?shù)除法”的算理時(shí)，教師可借助線段圖去解釋說明；教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)可利用面積模型來解釋算理；教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，則可利用小棒圖去解釋筆算除法、筆算減法（退位）、筆算加法（進(jìn)位）的算理；等等。借助幾何直觀，變“看不見”為“看得見”，可最大限度地降低學(xué)生理解算理的難度。

三、幾何直觀能力的培養(yǎng)

1.從低年級做起，重視直觀感知

培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力不是一蹴而就的，應(yīng)從低年級開始就予以重視。教師應(yīng)充分利用掛圖、實(shí)物、學(xué)具等激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過直觀教具、直觀圖形與數(shù)學(xué)符號的互相轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題。學(xué)生的指尖上充滿了智慧與創(chuàng)造力，教具演示與動手操作相互配合，就能促進(jìn)學(xué)生建立知識的表象，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

2.拓展幾何直觀的應(yīng)用，挖掘教學(xué)素材

越是抽象、難以理解的內(nèi)容，教學(xué)時(shí)就越應(yīng)該借助幾何直觀。如果教師只是偶爾呈現(xiàn)相關(guān)材料，學(xué)生被動地接受結(jié)果，那么學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)根本無從談起。所以教師應(yīng)該有意識地拓展幾何直觀的應(yīng)用范圍，挖掘出可持續(xù)的學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生能經(jīng)常性地使用，這樣才能讓幾何直觀這種方法被學(xué)生自主內(nèi)化。從一年級開始，教師就要有意識地引導(dǎo)學(xué)生畫出直觀示意圖，然后逐漸過渡為線段圖、韋恩圖、面積圖等直觀圖，由淺到深，使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用幾何直觀解決問題。

3.重視數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)畫圖意識

小學(xué)數(shù)學(xué)教材自始至終都貫徹著數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)與形相結(jié)合，相輔相成?！靶问箶?shù)更直觀”，教師應(yīng)在教學(xué)中尋找教學(xué)契機(jī)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的畫圖意識。事實(shí)上，不僅僅在解決問題上，畫圖策略也廣泛應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)中。教師可以鼓勵學(xué)生運(yùn)用圖、表格、語言、符號等對某一概念和規(guī)律進(jìn)行多重表達(dá)，在解決問題缺乏思路時(shí)鼓勵學(xué)生畫圖分析，鼓勵學(xué)生運(yùn)用圖形來表達(dá)自己的思考過程。以前的教學(xué)只強(qiáng)調(diào)畫線段圖，其實(shí)學(xué)生畫的許多示意圖在本質(zhì)上與線段圖沒有太大的差別。因此，教師要重視學(xué)生自己畫的示意圖，挖掘圖中的價(jià)值。學(xué)生畫圖的過程應(yīng)該與數(shù)學(xué)思維過程緊密結(jié)合，教師要把這種聯(lián)系凸顯出來，如鼓勵學(xué)生說出畫圖的依據(jù)、圖的意思、表達(dá)思路等。

正如我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！苯處熢诮虒W(xué)中應(yīng)對幾何直觀的應(yīng)用予以足夠的重視，在培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的過程中，啟迪學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生輕松學(xué)數(shù)學(xué)，實(shí)實(shí)在在地感受到數(shù)學(xué)的魅力。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 吳正憲，王彥偉，韓玉娟.吳正憲給小學(xué)數(shù)學(xué)教師的建議[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 張丹.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

（責(zé)編 吳美玲）