楊華

摘要：加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的關(guān)鍵，而化歸思想方法作為中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的和基本的思想方法，其教學(xué)就顯得尤為重要。本文以解方程為例論述了化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，以此說明其對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率，提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素質(zhì)均有重要意義。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；解方程；化歸思想

引言：化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一，所謂化歸就是把待解問題化解開來，歸結(jié)為一個(gè)或幾個(gè)解決了的問題，或簡(jiǎn)單易解的問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中只要能夠掌握化歸思想方法的核心并能夠自如地運(yùn)用，在解題過程中就能夠很好的利用這種方法并逐漸建立學(xué)生的解題信心，這對(duì)于學(xué)習(xí)者來說是一個(gè)非常重要的提高過程，鑒于此，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)者必須加強(qiáng)對(duì)于化歸思想的教授，以此充分提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

1.中學(xué)階段教學(xué)化歸思想方法的可行性

1.1 知識(shí)因素

數(shù)學(xué)方法得以運(yùn)用的前提是數(shù)學(xué)知識(shí)的鋪墊，只有有了數(shù)學(xué)知識(shí)作為基礎(chǔ)，才能讓數(shù)學(xué)思想有用武之地。在小學(xué)階段，學(xué)生已經(jīng)對(duì)于一些基本的數(shù)學(xué)知識(shí)有所了解，換句話說學(xué)生通過小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)已經(jīng)有了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這就為中學(xué)階段的繼續(xù)學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備。

1.2 教材因素

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中有很多內(nèi)容都與化歸思想有關(guān)，這在很大程度上可以更深一步的幫助化歸思想的教授，同時(shí)教材中有很多例題的選定，解題思路都與化歸思想方法有一定的聯(lián)系，這就為化歸思想的多角度、分層次、深入的教學(xué)提供了各種案例。

2.化歸思想的分析要點(diǎn)研究

中學(xué)數(shù)學(xué)上運(yùn)用的化歸思想具有豐富性、多樣性和靈活性的特點(diǎn)。對(duì)于數(shù)學(xué)試題來說，往往都要由幾個(gè)要素構(gòu)成，并且各要素之間都是具有一定關(guān)聯(lián)性的，它們相互聯(lián)系、相互依存、相輔相成，它們之間的聯(lián)系是可以轉(zhuǎn)化的，并且轉(zhuǎn)化的形式多樣。針對(duì)數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)換方法沒有什么標(biāo)準(zhǔn)模式可以遵循，為此，在解題的過程中要認(rèn)真分析問題，因題而異，尋找恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法。一般來說，運(yùn)用化歸思想解題，分析要點(diǎn)為：注意緊盯化歸目標(biāo)，保證化歸的有效性、規(guī)范性；注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，保證邏輯上的正確；注意轉(zhuǎn)化的多樣性，設(shè)計(jì)合理的轉(zhuǎn)化方案.在具體的問題處理中，往往會(huì)采取多種轉(zhuǎn)化途徑和方法以解決問題。

3.用化歸思想解方程的具體應(yīng)用

3.1化主為客

把題目中的待求量看作已知量，把某個(gè)已知量看作待求量，變換角度，使問題變得簡(jiǎn)捷易解。

例1 解方程

解：設(shè)=

則原方程可化為

解關(guān)于的方程得，或

從而或

例2 設(shè)Z是虛數(shù)，W=Z+是實(shí)數(shù)，且-1

解：設(shè)Z=，= ，，∈且≠0）

代入Z·=1得，且

即且，從而|Z|=1，-<<1

3.2化整為分

把整式方程化為分式方程來解，有時(shí)會(huì)起到意想不到的作用。

例3 解方程

解：原方程可化為

設(shè)，則

于是原方程變?yōu)?/p>

解得，或=-6

從而原方程的解為

3.3化正為反

有些問題正面考慮不易解決，但若從其反面考慮，便會(huì)迎刃而解。

例4 解不等式≥8-

解：設(shè)全集≥≥5或≤

先解不等式<8-

易得其解集為≤-2或5≤<

從而原不等式的解集為≥

3.4化零為整

從整體上考慮命題中的數(shù)量關(guān)系，分析命題中整體與局部的關(guān)系，找出規(guī)律，解決問題。

例5 已知，求的值。

解：由知，，從而 ==

3.5化數(shù)為形

“數(shù)”和“形”是共存于同一體中的事物的兩個(gè)側(cè)面，通過圖形架設(shè)與數(shù)量間的橋梁，使問題獲得簡(jiǎn)單。

例6 求函數(shù)的最大值

解：將原函數(shù)配方得，，則原題可看作是求點(diǎn)，到點(diǎn)（-1，5）與（3，2）的距離之差的最大值，如圖易知，當(dāng)點(diǎn)在直線AB與軸的交點(diǎn)位置時(shí)，最大，最大值是，故。

3.6化無限為有限

數(shù)學(xué)中的無限問題，通常都可化為有限問題來解決，用有限認(rèn)識(shí)無限是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍。

例7 無窮數(shù)列，，，…，，…<1，求它的各項(xiàng)和

解：設(shè)它的前項(xiàng)和為，則=，，+…+=，從而它的各項(xiàng)和 =（）=<1

3.7化一般為特殊

對(duì)于某些一般性的數(shù)學(xué)問題，有時(shí)可考慮其特殊情況，通過解決特殊發(fā)問的方法或結(jié)果，使問題得以解決。

例8 已知等差數(shù)列的公差≠0，且，，，成等比數(shù)列，

則=________________。

解：取一個(gè)滿足已知條件的特殊等差數(shù)列，≠0，且=1，=3，=9成等比數(shù)列，則= 。

3.8化抽象為具體

有些命題的表達(dá)形式較為抽象，直接探索顯得困難，但是構(gòu)造一個(gè)表達(dá)形式具體通俗，且與原命題等價(jià)的新命題，往往會(huì)使問題迅速獲解。

例9 設(shè)，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，，，，，，，，，，≤144是平面內(nèi)點(diǎn)的集合，討論是否存在和使得（1）；（，）C同時(shí)成立？

解：原命題可化為：關(guān)于，的混合組，≤144，是否有實(shí)數(shù)解，假設(shè)存在實(shí)數(shù)和滿足上述混合組，

則≤≤·144，由此可得，≤0，即有：，與矛盾，故不存在實(shí)數(shù)和，使得（1）和（2）同時(shí)成立。

3.9化綜合為單一

有些綜合題，涉及知識(shí)面廣，運(yùn)用方法靈活，不是能單純用一個(gè)概念、一種方法來解決的，這時(shí)我們可將其化為幾個(gè)單一的簡(jiǎn)單題來解。

例10 設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根，，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，Q，求以，Q為焦點(diǎn)且經(jīng)過原點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)。

解：（1）方程問題：因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)虛要，，從而<0，即>>0

（2）復(fù)數(shù)問題：因?yàn)椋腔楣捕筇摂?shù)，從而||=||，||=||=||=，且||=||，||=||

（3）解幾問題：由橢圓定義得，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2||+||= ||+||

綜合（1），（2），（3）得，2

結(jié)束語

數(shù)學(xué)思想方法貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，要使學(xué)生把數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化為自己的觀點(diǎn)、知識(shí)，并應(yīng)用它去解決問題，就要求教師把每章節(jié)所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想方法及時(shí)歸納總結(jié)出來，有目的、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思想方法的提煉和概括過程。以上列舉了十種化歸的思想和方法，但從中可以發(fā)現(xiàn)其思路清晰，步驟簡(jiǎn)捷明快，趣味橫生，因此在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)自己的化歸思想，從而提高解題能力。

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