葉茂恒

（浙江省溫州市第十七中學）

坐標解析形合數(shù) 圖形分離繁化簡
——2016年中考“圖形與坐標”專題解題評析

葉茂恒

（浙江省溫州市第十七中學）

通過對2016年全國各地100多份中考試題的掃描，針對其中有關圖形與坐標試題進行整理與解析.其中考點分析部分，針對不同考點，通過典型試題進行考點分析和解法點撥；典型解法評析，闡述了典型解法的產生思路、解法特色，對典型試題進行了歸類與分析；最后列舉試題的部分新穎解法，以期拋磚引玉.

數(shù)學中考；圖形與坐標；圖形的位置；數(shù)形結合

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）將“幾何與圖形”分成圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標三大塊，其中圖形與坐標主要內容包括坐標與圖形位置、坐標與圖形運動（含軸對稱、平移、旋轉、位似等），不難發(fā)現(xiàn)圖形與坐標是在圖形的性質與圖形的變化的基礎上用坐標結合圖形的性質研究圖形的位置與變化，從代數(shù)角度研究幾何圖形，通過數(shù)與形相結合，從定量與變量等角度研究幾何圖形.2016年中考試卷圖形與坐標試題分布較廣，涵蓋易、中、難各個層次，在各地的中考試卷中都占有重要的地位.尤其在壓軸題上，可以發(fā)現(xiàn)圖形與坐標是很多中考壓軸題的主要背景：一方面，由于壓軸題中的幾何圖形覆蓋面廣、綜合性強、思維含量大，本身就是難點；另一方面，幾何問題放置在坐標系中綜合了代數(shù)問題，使得問題更為復雜，往往是學生解題的困難所在.而這些難點的突破，要有扎實的雙基，要有豐富的解題經驗，要善于將動態(tài)問題分類成多個靜態(tài)問題，要善于從復雜圖形中分離出基本圖形，結合基本結論求解，還要善于將代數(shù)與幾何相結合，靈活運用幾何法或解析法分析問題、解決問題.

一、主要考點分析

圖形與坐標是初中數(shù)學的主干知識，在中考卷中分布較廣，涉及的知識點不僅多而且重要，常與幾何圖形、函數(shù)、方程等知識結合，考查的方式有選擇題、填空題、解答題等，考查形式靈活多樣，2016年中考試題也不例外.

（一）坐標與圖形位置

1.考查點坐標的確定

例1（福建·福州卷）如圖1，以點O為圓心，半徑為1的弧交坐標軸于A，B兩點，P是上一點（不與點A，B重合），連接OP，設∠POB=α，則點P的坐標是（ ）.

（A）（sinα，sinα） （B）（cosα，cosα）

（C）（cosα，sinα） （D）（sinα，cosα）

【解法點撥】此題以圓弧上的動點為背景構造了一個由方向和距離確定的點，求解該點在平面直角坐標系中的坐標，試題將兩個定位法巧妙結合在一起，并考查兩種定位法的表示法的相互轉換，獨具匠心.一方面，由于要確定點的坐標，要過點作坐標軸的垂線段；另一方面，由于要應用三角函數(shù)，也要構造直角三角形.因此，如圖2所示構造Rt△POQ得點P的坐標為P（cosα，sinα），故選C.可見，此類問題難度不大，要確定點的坐標，關鍵在于構造含所求點的直角三角形，解直角三角形即可確定坐標.

2.考查已知坐標確定點的位置

例2（內蒙古·赤峰卷）如圖3，在平面直角坐標系內按下列要求完成作圖（不要求寫作法，保留作圖痕跡）．

（1）以（0，0）為圓心，3為半徑畫圓；

（2）以（0，-1）為圓心，1為半徑向下畫半圓；

（3）分別以（-1，1），（1，1）為圓心，0.5為半徑畫圓；

（4）分別以（-1，1），（1，1）為圓心，1為半徑向上畫半圓．

注：向上、向下指在經過圓心的水平線的上方和下方.

【解法點撥】此題為作圖題，考查在平面直角坐標系中按一定要求作圓，由圓心確定位置，半徑確定大小.試題中以坐標定位圓心位置，分別以4道小題作圓或半圓，著重考查坐標系中點坐標的確定，及坐標系如何借助坐標取定長線段，解答如圖4所示.此題表面上看起來是作圓的作圖題，但本質上是坐標點的確定，坐標內兩點間距離的獲取，及坐標系中坐標軸的方向的確定.

3.考查點坐標象限特征

例3（吉林·長春卷）點P（x-2，x+3）在第一象限，則x的取值范圍是___________．

【解法點撥】此題將坐標系中各象限中的點的橫、縱坐標的符號特征結合不等式考查，由第一象限中點的橫、縱坐標都為正，列出不等式組即可求解.由于點P（x-2，x+3）在第一象限，所以解得x＞2.此類試題在各地、市卷中常有出現(xiàn)，考法的變化不大，難度也較低，屬于基礎題，問題的解決關鍵在于象限點坐標特征的掌握與不等式組的求解.

4.考查兩點間距離問題

例4（山東·濰坊卷）如圖5，在平面直角坐標系中，⊙M與x軸相切于點A（8，0），與y軸分別交于點B（0，4）和點C（0，16），則圓心M到坐標原點O的距離是（ ）.

【解法點撥】此題考查平面直角坐標系中點到原點的距離，問題的解決涉及垂徑定理與勾股定理的應用.因為⊙M與x軸相切于點A（8，0），故連接MA，可得MA⊥OA.可知點M與點A的橫坐標相同為8.只需求得縱坐標即可求解點M與點O的距離.又因為BC為⊙M的弦，不妨作MD⊥BC于點D（如圖6），由垂徑定理得D為BC的中點.故點D的坐標為D（0，10）.所以MA= OD=10，即點M的坐標為M（8，10）.在Rt△OMA中，有.故選D．此題輔助線添加的思考基礎有四點：一是在平面直角坐標系中，求兩點間距離，需要點的坐標，一般要構造坐標軸的垂線段來求；二是初中階段兩點間距離公式教材沒有要求，所以求兩點間距離通常構造直角三角形，結合勾股定理求；三是圓中有弦，常作表示弦心距長度的垂線段結合垂徑定理可將半弦、半徑、弦心距三者聯(lián)系起來；四是圓的切線問題，連半徑得垂直是常用方法.基于這四點線索，輔助線一半徑、一弦心距呼之欲出，這也是這四類相關問題常用的輔助線的作法，教學中值得關注.當然，對于在平面直角坐標系中有更多拓展研究的學生來說，中點公式加上兩點間距離公式即可得解.

5.考查中點坐標問題

例5（山東·淄博卷）如圖7，拋物線y=ax2+ 2ax+1與x軸僅有一個公共點A，經過點A的直線交該拋物線于點B，交y軸于點C，且點C是線段AB的中點.

（1）求這條拋物線對應的函數(shù)解析式；

（2）求直線AB對應的函數(shù)解析式．

圖7

圖8

【解法點撥】此題主要考查求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，但在求解析式時需要先確定拋物線和直線上的點.點A的坐標可根據(jù)拋物線與x軸只有一個公共點得Δ=4a2-4a=0.解得a=1.再求得A（-1，0）.也可由拋物線的頂點橫坐標為，得點A的坐標為A（-1，0）.進而由頂點縱坐標為0，得a-2a+ 1=-a+1=0.得a=1.故拋物線解析式為y=x2+2x+1.對于點B的求解，可先求橫坐標，再結合拋物線解析式求縱坐標.由于初中線段中點坐標公式沒有要求，可以考慮用幾何法求解.由于C為AB中點，常用輔助線構造全等三角形或是構造中位線，在平面直角坐標系中也不例外，因此可過點B作BD⊥Oy于點D，構造△BCD≌△ACO，或是過點B作BE⊥Ox于點E（如圖8），此時OC為△ABE的中位線（即O為AE中點），易得點B的橫坐標為1，代入拋物線解析式得點B的坐標為B（1，4），所以直線AB的解析式為y=2x+2.從問題的解決過程可以發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標系中涉及中點的問題可構造全等三角形或中位線求解，若有等腰三角形可結合三線合一，若在直角三角形中也可結合直角三角形斜邊上的中線性質，若有圓與弦也可用垂徑定理.在平面直角坐標系中，幾何問題的解決既要聯(lián)系圖形的坐標，又要聯(lián)系幾何圖形的原有性質及常用輔助線的添加方法，依托坐標軸構造常用基本圖形.

6.考查方向距離定位法

例6（黑龍江·哈爾濱卷）如圖9，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為30海里的點A處，輪船沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的點B處，則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為（ ）.

（A）60海里

（B）45海里

圖9

【解法點撥】此題考查平面內兩點之間的距離，但點的位置不是用平面直角坐標定位法，而是用方向距離定位法，通過輪船的行駛過程給出點A，B的方向角及點A，P之間的距離.要求P，B兩點之間的距離可以將有關角與邊長轉化到△ABP中，原問題等價為：在△ABP中，∠A=60°，∠B= 30°，PA=30海里，求PB的長.由于∠A與∠B互余，即△ABP是直角三角形，這是一個已知銳角與一邊求解直角三角形的基礎問題，結合三角函數(shù)即可求得BP=（海里）.故選D.此題提供的兩個方向角關系較為特殊，恰為互余，△ABP恰為直角三角形.若△ABP不是直角三角形，如∠A=60°，∠B=45°，可考慮作出三角形的高將△ABP分為兩個特殊直角三角形求解即可，這是已知兩角一邊或兩邊一角的三角形求解基本方法.總之，此類方向距離定位法問題通常要將這些方向角與距離放置在直角三角形中，結合三角函數(shù)或勾股定理求解.

（二）坐標與圖形運動

1.考查坐標平面內圖形的軸對稱與平移變換

例7（甘肅·白銀卷）如圖10，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形網格的格點上．

（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1C1；

（2）將△A1B1C1沿x軸方向向左平移3個單位后得到△A2B2C2，寫出頂點A2，B2，C2的坐標．

圖10

圖11

【解法點撥】第（1）（2）小題分別考查平面直角坐標系中圖形的軸對稱作圖與圖形平移運動點的坐標確定.由于知道△ABC的三個頂點的坐標，要畫出△ABC關于x軸的對稱圖形可先確定三個頂點關于x軸的對稱點坐標，根據(jù)關于x軸對稱坐標變化規(guī)律“縱變橫不變”可得△A1B1C1的三個頂點坐標分別為A1（0，-1），B1（3，-2），C1（1，-4），將這三點描出并連線即可畫出△A1B1C1（如圖11），此作圖也可以利用對稱點被對稱軸垂直平分這一性質來完成.第（2）小題是平移運動，可以畫圖求得，或是利用點平移坐標變化規(guī)律“左減右加，上加下減”得A2（-3，-1），B2（0，-2），C2（-2，-4）．在平面直角坐標系中的軸對稱與平移運動后點坐標的確定可以借助網格線畫圖，也可以利用坐標變化規(guī)律直接得到，為避免大意失分，有條件時可以兩種方法互參為證.

2.考查坐標在直角平面內圖形的中心對稱與旋轉變換

例8（湖北·武漢卷）已知點A（a，1）與點A′（5，b）關于坐標原點對稱，則實數(shù)a，b的值是（ ）.

（A）a＝5，b＝1 （B）a＝-5，b＝1

（C）a＝5，b＝-1 （D）a＝-5，b＝-1

【解法點撥】關于原點對稱的對稱點坐標性質是坐標平面中心對稱常見考查方式，此題中由于點A（a，1）與點A′（5，b）關于坐標原點對稱，所以a與5，1與b互為相反數(shù)，故a＝-5，b＝-1，選D.此類問題，通常以原點為對稱中心來命題考查，若問題中的圖形不是關于原點中心對稱，則可以應用中心對稱中對稱點連線被對稱中心平分這一性質解決，如點A（a，b），B（c，d）關于點C（e，f）中心對稱，由于對稱中心C為對稱點A，B連線的中點，則有，還可以結合中點有關性質求坐標，如轉化為平移、中位線或全等圖形等問題來解決.

3.考查平面直角坐標系內圖形的位似變換

例9（黑龍江·齊齊哈爾卷）如圖12，在平面直角坐標系中，矩形AOCB的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA= 2，OC=1.在第二象限內，將矩形AOCB以原點O為位似中心放大為原來的倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，依此類推，得到的矩形AnOCnBn的對角線交點的坐標為_______．

圖12

【解法點撥】此題考查平面直角坐標系中位似中心為坐標原點的圖形的位似變換，問題解決的關鍵是掌握位似中心為原點的位似變換的基本性質.如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.由已知條件得點B的坐標為B（-2，1），結合位似比為，所以點B1的坐標為.類似地，點B2的坐標為… 所以有點Bn的坐標為又由矩形對角線交點為對角線的中點，可表示為化簡得.此題也是一道規(guī)律題，在平面直角坐標系中關于坐標的規(guī)律題一般由一種或兩種變換連續(xù)變化而得，采用位似變換的構造規(guī)律的題不是很多，這類題通常以平移或旋轉為主，這種問題的解決一般要根據(jù)相應的變換性質確定三個以上的點的坐標，這里的坐標可能有時需要保留算式，在算式中可能存在較為直觀的規(guī)律，有時可能需要計算結果，根據(jù)結果數(shù)來研究規(guī)律，要靈活處理，這也是對數(shù)感的考查.

（三）綜合應用

1.考查點坐標規(guī)律

例10（山東·德州卷）如圖13，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=2x和y=-x的圖象分別為直線l1，l2，過點（1，0）作x軸的垂線交l1于點A1，過點A1作y軸的垂線交l2于點A2，過點A2作x軸的垂線交l1于點A3，過點A3作y軸的垂線交l2于點A4，…，依次進行下去，則點A2017的坐標為_________．

圖13

【解法點撥】此題考查坐標點的規(guī)律尋找，注意到這些點分別分布在四個象限，通常要分類討論，其分類的標準是An中的n除4的余數(shù)決定的.若k為自然數(shù)，當n=4k+1時，點An在第一象限；當n=4k+2時，點An在第二象限；當n=4k+3時，點An在第三象限；當n=4k時，點An在第四象限.因為2017=4×504+1，所以點A2017在第一象限.觀察第一象限點A1（1，2），A5（4，8），A9（16，32），…，可知A4k+1（22k，22k+1）.所以A2017的坐標為A2017（22×504，22×504+1）=（21008，21009）.故答案為（21008，21009）．此題還可以以點在不同的直線上為標準分為兩類求解，在平面直角坐標系中點的規(guī)律問題先要考慮要不要分類，分類的依據(jù)如何，再考查坐標的規(guī)律.實質上，這類問題一般有兩個規(guī)律要找：一是要找點的腳碼與點分布位置的規(guī)律，此時可以結合圖形的象限或坐標軸分布情況分類，還可以多畫一些圖形，以提高直觀辨識能力；二是找在腳碼分類后的點坐標自身的規(guī)律，要注意觀察上一個點與下一個點坐標之間的聯(lián)系，可能會存在等差或等比關系.

2.考查綜合問題中幾何圖形的頂點坐標的確定

例11（內蒙古·呼和浩特卷）已知?ABCD的頂點A在第三象限，對角線AC的中點在坐標原點，一邊AB與x軸平行且AB=2，若點A的坐標為A（a，b），則點D的坐標為_________．

【解法點撥】此題考查的是平面直角坐標系中平行四邊形的頂點坐標的確定，由已知條件可知原點為平行四邊形的對稱中心，因此點B與點D也關于原點中心對稱，要求點D的坐標，可先求點B的坐標.由“一邊AB與x軸平行且AB=2”知點A，B之間的水平距離為2，問題等價于將點A向左或向右平移2個單位，求點B的坐標，但由于沒有說明平移方向，所以要分兩種情況討論.若點A向右平移2個單位得到點B，則點B坐標為B（a+2，b），由關于原點的中心對稱坐標性質得點D的坐標為D（-a-2，-b），同理得點A向左平移時點D的坐標為D（2-a，-b）.故答案為（-2-a，-b）或（2-a，-b）.平行四邊形的頂點坐標問題可以轉化為中心對稱問題.一般地，結合點平移變換的坐標性質可得平行四邊形一對對角頂點橫坐標的和與另一對對角頂點橫坐標的和相等，對角頂點的縱坐標也有類似結論，應用此結論可以解決平行四邊形頂點坐標分類討論的問題.

二、典型解法評析

平面直角坐標系如舞臺，演繹幾何圖形與代數(shù)關系，如網，包羅數(shù)學萬象.在《標準》中圖形與坐標知識條目雖然只有兩大類：坐標與圖形位置、坐標與圖形運動.但實際考查中卻是復雜多變，涉及知識點豐富，綜合性強，考查的內容與能力要求的跨度較大，既涉及基礎知識的考查，又涉及綜合探究能力的考查，要求學生要有扎實的基礎知識和熟練運用各類知識的能力，要關注圖形幾何觀念的發(fā)展及圖形運動過程中數(shù)學思想方法的滲透，感悟圖形靜止或運動中形與量的聯(lián)系，學會在平面直角坐標系中分離提取基本圖形，結合坐標將數(shù)形結合發(fā)揮極致.下面就對2016年中考“圖形的變化”問題的典型解法進行整理、歸納，以期能對讀者有所啟發(fā).

（一）提取模型，對稱轉化

例12（江蘇·蘇州卷）矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖14所示，點B的坐標為B（3，4），D是OA的中點，點E在AB上，當△CDE的周長最小時，點E的坐標為（ ）.

圖14

圖15

【解法點撥】此題考查平面直角坐標系中周長最小值的動點坐標的確定，試題中含有一個基本模型——“將軍飲馬”問題，由已知條件知CD為定值，CE與DE的長可變，因此問題轉化為直線AB外兩個定點C，D與直線AB上一點距離和的最小值問題.顯然只需將點C或點D作出關于AB的對稱點，結合兩點間線段最短即可求解.如圖15，作點D關于AB的對稱點，所以直線CH解析式為當x=3時，，即有當點E的坐標為時，△CDE的周長最小.故選B.此題的解決經歷了以下過程：三角形周長最小值問題轉化為直線同側兩線段和最小值問題，再轉化為直線兩側線段和最小值問題.從解題過程中可以看到，轉化思想有利于確定解題策略，基本圖形或模型的分離提取有利于快速確定解題方案.

（二）等長線段，等量方程

例13（廣東·茂名卷）如圖16，拋物線y=-x2+bx+c經過A（-1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．

（1）求經過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達式；

（2）點P是線段BD上一點，當PE=PC時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，過點P作PF⊥Ox于點F，G為拋物線上一動點，M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，當以點F，M，G，N為頂點的四邊形是正方形時，求出點M的坐標．

圖16

圖17

圖18

【解法點撥】此題以二次函數(shù)圖象為背景，設計兩個考查有關線段相等的問題.第（1）小題較為簡單，應用交點式可得.第（2）小題涉及平面內兩點間距離問題，雖然初中沒有學習過兩點間距離公式，但可以構造直角三角形，結合勾股定理表示出線段PC，PE的長.如圖17，由直線BD的解析式為y= -2x+6，可設點P的坐標為P（t，-2t+6），過點P作PH⊥OC，PF⊥OB，又因為PC2=PE2，所以有t2+（3+ 2t-6）2=（t-1）2+（-2t+6）2.解得t=2.所以點P的坐標為P（2，2）；第（3）小題要求確定正方形的頂點M（a，0）的坐標要分類討論，因為點M可能在直線NF的左側，也可能位于直線NF的右側，點N可能在x軸上方，也可能在其下方，化繁為簡，去掉圖中無關元素得到圖18，若四邊形MGNF為正方形，則有MF=MG，即有去掉絕對值，化為兩個方程①2-a=a2-2a-3；②a-2=a2-2a-3，解得或.所以當以點F，M，N，G為頂點的四邊形是正方形時，點M的坐標為此題中第（2）小題為坐標系中線段等長問題，由于線段不與坐標軸平行，可以構造直角三角形結合勾股定理表示線段長，其中線段等長即是等量關系，設元列方程即可求解；第（3）小題中的正方形的本質還是線段等長，且這兩條線分別與坐標軸平行，線段長可用點橫坐標差或是縱坐標差表示，由于動點問題要分類，稍微復雜一些，但只要抓住問題本質線段等長這一等量關系，設元并將未知的線段長用含未知數(shù)的代數(shù)式表示，根據(jù)等量關系列出方程即可求解，此為通法，可見根據(jù)等量關系建立關于橫（縱）坐標的方程是平面直角坐標系中求符合一定條件的點的坐標的重要方法.

（三）共點旋轉，類比構造

例14（河南卷）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖19（1），點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b．

填空：當點A位于_______時，線段AC的長取得最大值，且最大值為______（用含a，b的式子表示）.

（2）應用：點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖19（2）所示，分別以AB，AC為邊，作等邊△ABD和等邊△ACE，連接CD，BE．

①試找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段BE長的最大值．

（3）拓展：如圖19（3），在平面直角坐標系中，點A的坐標為A（2，0），點B的坐標為B（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

圖19

【解法點撥】此題考查平面直角坐標系一定條件下的線段長的最大值的確定，試題設計了第（1）小題引導學生學習確定共點線段另兩個端點距離的最大值，較為簡單；第（2）小題在第（1）小題的基礎上引導學生發(fā)現(xiàn)共頂點等邊三角形中兩個頂點距離的最大值；第（3）小題是在第（2）小題的基礎上，將問題放置在平面直角坐標系中，類比第（2）小題的方法構造共頂點等腰直角三角形探究兩頂點距離的最大值.三個問題層層遞進，層層鋪墊，是一道學習型的試題，學生在解題中學習，在學習中解題，一方面，考查數(shù)學知識應用能力；另一方面，也考查學生的數(shù)學學習能力.第（1）小題根據(jù)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值a+b；第（2）小題中問題①根據(jù)等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質得到CD=BE；問題②由①知線段BE長的最大值等于線段CD的最大值，由（1）知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，所以BE的最大值為BD+BC=AB+ BC=4；對于第（3）小題，如圖20（1），連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質得到PN=PA=2，BN=AM，根據(jù)當點N在線段BA的延長線上時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為；如圖20（2），過點P作PE⊥Ox于點E，根據(jù)等腰直角三角形的性質即可得此題是基于一個基本圖形與結論的應用而命制的，即兩個有公共對應點相似的等腰三角形中，一般存在另一對三角形全等，這一對全等三角形也可看成是公共點旋轉而成的.也是俗稱“手拉手型三角形”的一種特殊情況（全等），在問題解決中如果能認識到這一結論，就可類比第（2）小題，在第（3）小題中構造一個以點P為公共頂點的等腰直角△APN，圖中就浮出另一對全等△APM與△NPB，其中△NPB可以看成△APM繞點P旋轉而得.從此題的解決，可以感受到數(shù)學學習要重視基本圖形的歸納與總結，要關注類比思想的應用，在平時要積極主動地積累解題活動經驗.

圖20

（四）直角分類，構造K型

例15（浙江·湖州卷）如圖21，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作AB∥Ox，交y軸于點D，交該二次函數(shù)圖象于點B，連接BC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；

（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△ABC的內部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；

（3）點P是直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構成的三角形與△BCD相似，試直接寫出所有點P的坐標（直接寫出結果，不必寫解答過程）．

圖21

圖22

【解法點撥】此題考查二次函數(shù)解析式求法及拋物線的平移和直角三角形的相似分類討論，三道小題都涉及坐標點的確定.第（1）小題較為基礎，二次函數(shù)解析式為y=-（x-1）2+5，點M的坐標為M（1，5）.第（2）小題中要確定m的取值范圍，可轉化為拋物線對稱軸被△ABC所截得的線段EF的兩端點E，F(xiàn)縱坐標的確定（如圖22），易得2＜m＜4.第（3）小題為相似三角形的分類討論，由已知可得△BCD為直角三角形，且BD∶CD=1∶3，又因為CM⊥AC，若點P，點C，點M所構成的三角形與△BCD相似，可按PC∶CM=1∶3或PC∶CM=3∶1分類討論，而點P在AC上，可能在點C的左側或右側，所以共需分四種情況討論.①當點P在點C的左側且PC∶CM=3∶1時（如圖23（1）），由∠PCM=90°，過直角頂點C作EF∥Ox，過點P，M分別作PF⊥EF于點F，ME⊥EF于點E，則△CEM∽△PFC，且相似比為1∶3.由CE=ME=1，得PF=CF=3.所以點P的坐標為P（-3，7）.②當點P在點C的左側且PC∶CM=1∶3時（如圖23（2）），類似得點P為③當點P在點C的右側且PC∶CM=1∶3時（如圖23（3）），類似得點P為；④當點P在點C的右側且PC∶CM=3∶1時（如圖23（4）），類似得P（3，1）.故所有符合題意的點P的坐標有4個，分別為P1（-3，7），

圖23

從第（3）小題中可以看到在平面直角坐標系中，遇到直角問題，可借助坐標軸（如③④）或經過直角頂點與坐標軸的平行線（如①②）構造三垂直（即K型圖）基本圖形，可以化難為易，這里直角問題，可以是平面直角坐標系中直角三角形相似的分類討論，也可以以動點何時為直角進行討論，還可以是矩形（正方形）的分類討論，或是直角邊比給定的（如m∶n型）直角三角形的分類討論，或是特殊角的直角三角形（如含30°角的直角三角形）的分類討論，還有旋轉90°的運動變換等，都可以構造三垂直尋找數(shù)量關系.若是問題中圖形是非直角的特殊角，如兩邊長為1∶3且兩邊的夾角為60°的三角形頂點坐標的確定，可以類似直角構造三垂直的方法依托坐標軸或其他直線構造三等角基本圖形來解決.

三、試題解法欣賞

中考命題追求試題的靈動，鼓勵學生用不同方法求解，命題者獨具匠心，解法亦是精彩紛呈.現(xiàn)摘錄一二，供大家教學參考.

例16（湖北·武漢卷）拋物線y＝ax2＋c與x軸交于A，B兩點，頂點為點C，點P為拋物線上且位于x軸下方的點．

（1）如圖24（1），若P（1，－3），B（4，0）.

① 求該拋物線的解析式；

② 若D是拋物線上一點，滿足∠DPO＝∠POB，求點D的坐標；

（2）如圖24（2），已知直線PA，PB與y軸分別交于E，F(xiàn)兩點．當點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，說明理由．

圖24

②如圖25，若點D在點P左側，由∠DPO＝∠POB，得DP∥OB，點D與點P關于y軸對稱.由P（1，-3），得D（-1，-3）.

如圖26，若點D在點P右側，即圖中點D2，則∠D2PO＝∠POB.延長PD2交x軸于點Q，則QO＝QP.設Q（q，0），則（q－1）2＋32＝q2.解得q＝5.所以點Q的坐標為Q（5，0）.則直線PD2為.求交點得.綜上可得，點D的坐標為D（-1，-3）或

圖25

圖26

圖27

例17 （浙江·杭州卷）如圖28，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點E在線段DC上，點A，D，G在同一直線上，且AD=3，DE=1，連接AC，CG，AE，并延長AE交CG于點H．

（1）求sin∠EAC的值．

（2）求線段AH的長．

圖28

圖29

【解法點撥】此題沒有平面直角坐標系，應用全等及等積或相似即可解，但此題也可以采用解析法求解.不妨以點A為坐標原點，以AB為橫軸正方向，AG為縱軸正方向建立平面直角坐標系（如圖29），由E（1，3）得直線OE解析式為y=3x，由點C為C（3，3），G為G（0，4）得到直線CG解析式為聯(lián)立方程組可求得交點H為所以可以發(fā)現(xiàn)，此題雖不復雜，但建立直角坐標系用解析式也是別有一番風味，也為解析法求幾何問題提供了一種思路.數(shù)學試題的設計常常會將幾何問題結合平面直角坐標系融入數(shù)形結合思想，從數(shù)、形兩方面合作研究幾何問題，但在解題時在幾何問題中添加平面直角坐標系應用解析法求解并不常用，似乎有些厚此薄彼的感覺，有失偏頗.解析法解幾何問題在平時的教學中值得關注，有些幾何圖形建立直角坐標系后思考會有意想不到的收獲.

［1］中華人民共和國教育部制定．義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

［2］李興梅.2015年中考數(shù)學試題“圖形與坐標”專題解題評析［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2016（1/2）：112-126.

［3］周寧，葉茂恒.2015年中考數(shù)學試題“圖形的變化”專題解題評析［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2016（1/2）：92-102.

［4］張晉華，薛紅霞.2014年中考數(shù)學試題“圖形與坐標”分類解析［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2015（1/2）：86-97.

［5］景敏，陳麗敏，王瑾.2013年中考數(shù)學試題分類解析：圖形與幾何［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2014（1/2）：63-82.

2016—12—26

葉茂恒（1975—），男，中學高級教師，主要從事數(shù)學課堂教學與初中數(shù)學命題研究.