王華

（浙江省臺州市黃巖澄江中學）

2016年中考“事件的概率”專題解題評析

王華

（浙江省臺州市黃巖澄江中學）

通過對2016年各地中考試卷的分析，對呈現(xiàn)的亮點進行點評，梳理出解題的方法和策略，提煉出命題的規(guī)律和方向，為高效復習提供參考和建議.

中考試題；事件概率；解題評析；教學建議

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中關于事件的概率提到兩點：（1）能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率.（2）知道通過大量的重復試驗，可以用頻率來估計概率.各地對“事件的概率”的考查基本上圍繞著這兩點展開，不但注重對概率基礎知識和基本技能的考查，也注重概率思想和基本活動經(jīng)驗的考查.

一、典例分析

2016年各地的中考試卷，關于“事件的概率”的考查整體穩(wěn)定，重點強調(diào)在豐富的情境中提煉出數(shù)學模型，利用概率的核心知識解決問題，這一趨勢將繼續(xù)延續(xù)下去.

1.關注隨機事件，理解概率意義

例1（遼寧·沈陽卷）“射擊運動員射擊一次，命中靶心”這個事件是（ ）.

（A）確定事件 （B）必然事件

（C）不可能事件 （D）不確定事件

解：“射擊運動員射擊一次，命中靶心”這個事件是隨機事件，屬于不確定事件.

故選D.

例2（湖北·武漢卷）不透明的袋子中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的6個球，其中4個黑球、2個白球，從袋子中一次摸出3個球，下列事件是不可能事件的是（ ）.

（A）摸出的是3個白球

（B）摸出的是3個黑球

（C）摸出的是2個白球、1個黑球

（D）摸出的是2個黑球、1個白球

解：因為袋子中有4個黑球，2個白球，所以摸出的黑球個數(shù)不能超過4個，摸出白球的個數(shù)不能超過2個.選項A摸出的白球個數(shù)是3個，超過2個，是不可能事件.

故選A.

【評析】這兩道例題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件是指在一定條件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.這兩道例題的亮點在于讓學生先想象結(jié)果的可能性，然后結(jié)合事件的概念進行解答.

例3（湖北·宜昌卷）在課外實踐活動中，甲、乙、丙、丁四個小組用投擲一元硬幣的方法估算正面朝上的概率，其實驗次數(shù)分別為10次、50次、100次、200次，其中實驗相對科學的是（ ）.

（A）甲組 （B）乙組

（C）丙組 （D）丁組

解：選D.

例4（福建·福州卷）下列說法中，正確的是（ ）.

（A）不可能事件發(fā)生的概率為0

（C）概率很小的事件不可能發(fā)生

（D）投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)一定為50次

解：選項A不可能事件發(fā)生的概率為0，所以選項A正確；選項B隨機事件發(fā)生的概率在0與1之間，所以選項B錯誤；選項C概率很小的事件不是不可能發(fā)生，而是發(fā)生的可能性比較小，所以選項C錯誤；選項D投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)可能為50次，所以選項D錯誤.

故選A.

【評析】這兩道例題考查概率的意義：一般地，在大量獨立重復實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p.必然發(fā)生的事件的概率P（A）=1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）=0.頻率和概率是兩個不同的概念，但是卻有必然的聯(lián)系.這兩道例題的亮點在于考查概率的意義，概率與頻率的關系.

2.注重基礎，用列舉法求概率

（1）用直接枚舉的方法求簡單隨機事件的概率.

例5（江蘇·南京卷）某景區(qū)7月1日—7月7日一周天氣預報如圖1所示，小麗打算選擇這期間的一天或兩天去該景區(qū)旅游，求下列事件的概率.

圖1

（1）隨機選擇一天，恰好天氣預報是晴；

（2）隨機選擇連續(xù)的兩天，恰好天氣預報都是晴.

解：（1）隨機選擇一天，天氣預報可能出現(xiàn)的結(jié)果有7種，即7月1日晴、7月2日晴、7月3日雨、7月4日陰、7月5日晴、7月6日晴、7月7日陰，并且它們出現(xiàn)的可能性相等.恰好天氣預報是晴（記為事件A）的結(jié)果有4種，即7月1日晴、7月2日晴、7月5日晴、7月6日晴，所以P（A）＝.

（2）隨機選擇連續(xù)的兩天，天氣預報可能出現(xiàn)的結(jié)果有6種，即（7月1日晴，7月2日晴），（7月2日晴，7月3日雨），（7月3日雨，7月4日陰），（7月4日陰，7月5日晴），（7月5日晴，7月6日晴），（7月6日晴，7月7日陰），并且它們出現(xiàn)的可能性相等.恰好天氣預報都是晴（記為事件B）的結(jié)果有2種，即（7月1日晴，7月2日晴），（7月5日晴，7月6日晴），所以P（B）=.

例6（山東·濟寧卷）如圖2，在4×4正方形網(wǎng)格中，黑色部分的圖形構(gòu)成一個軸對稱圖形，現(xiàn)在任意選取一個白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的圖形仍然構(gòu)成一個軸對稱圖形的概率是（ ）.

圖2

解：在4×4的正方形網(wǎng)格中，任選取一個白色的小正方形并涂黑，共有13種等可能的結(jié)果，使圖中黑色部分的圖形構(gòu)成一個軸對稱圖形的有5種（如圖3）.

圖3

所以使圖中黑色部分的圖形仍然構(gòu)成一個軸對稱圖形的概率P=.

故選B.

【評析】這兩道例題都是先明確簡單隨機事件的所有可能結(jié)果，找出當前事件的所有可能結(jié)果，從而求出概率，難度不大，關鍵是學生需要明確所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，以及當前事件出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，利用概率的概念解答.

（2）用列表法或畫樹狀圖法求概率.

例7（山東·威海卷）一個盒子里有標號分別為1，2，3，4，5，6的六個小球，這些小球除標號數(shù)字外都相同.

（1）從盒中隨機摸出一個小球，求摸到標號數(shù)字為奇數(shù)的小球的概率；

（2）甲、乙兩人用這六個小球玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從盒中隨機摸出一個小球，記下標號數(shù)字后放回盒里，充分搖勻后，乙再從盒中隨機摸出一個小球，并記下標號數(shù)字.若兩次摸到小球的標號數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則判甲贏；若兩次摸到小球的標號數(shù)字為一奇一偶，則判乙贏.試用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個游戲?qū)?、乙兩人是否公?

解：（1）因為有6個小球，所以摸到標號數(shù)字為奇數(shù)的小球的概率；

（2）先列表（如表1）.

表1

共有36種等可能的情況，兩次摸到小球的標號數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù)的有18種，摸到小球的標號數(shù)字為一奇一偶的結(jié)果有18種，

這個游戲?qū)住⒁覂扇耸枪降?

例8（云南卷）某超市為慶祝開業(yè)舉辦大酬賓抽獎活動，凡在開業(yè)當天進店購物的顧客，都能獲得一次抽獎的機會，抽獎規(guī)則如下：在一個不透明的盒子里裝有分別標有數(shù)字1，2，3，4的四個小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，顧客先從盒子里隨機取出一個小球，記下小球上標有的數(shù)字，然后把小球放回盒子并攪拌均勻，再從盒子中隨機取出一個小球，記下小球上標有的數(shù)字，并計算兩次記下的數(shù)字之和，若兩次所得的數(shù)字之和為8，則可獲得50元代金券一張；若所得的數(shù)字之和為6，則可獲得30元代金券一張；若所得的數(shù)字之和為5，則可獲得15元代金券一張；其他情況都不中獎.

（1）試用列表或畫樹狀圖（樹狀圖也稱樹形圖）的方法（選其中一種即可），把抽獎一次可能出現(xiàn)的結(jié)果表示出來；

（2）假如你參加了該超市開業(yè)當天的一次抽獎活動，求能中獎的概率P.

解：（1）列表如表2所示.

表2

（2）由列表可知，一共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次所得數(shù)字之和為8，6，5的結(jié)果有8種，所以抽獎一次中獎的概率

抽獎一次能中獎的概率P=.

【評析】這兩道例題都可以用列表法或者畫樹狀圖法來解決問題，例7有6個小球，且分2次摸，故用畫樹狀圖法就顯得比較“擁擠”，用列表法比較清晰；例8用列表法可以直接計算結(jié)果.一般情況下對于2步抽取問題，優(yōu)先采用列表法.首先根據(jù)題意畫出表格，列出所有可能的結(jié)果數(shù)n，再從中選出符合事件結(jié)果數(shù)m，求出概率.

例9（湖北·黃石卷）如圖4，一只螞蟻從點A出發(fā)到點D，E，F(xiàn)處尋覓食物.假定螞蟻在每個岔路口都會隨機地選擇一條向左下或右下的路徑（如A岔路口可以向左下到達B處，也可以向右下到達C處，其中A，B，C都是岔路口）.那么，螞蟻從點A出發(fā)到達點E處的概率是_______.

圖4

圖5

解：畫樹狀圖如圖5所示.

一共有4種等可能的結(jié)果，螞蟻從點A出發(fā)到達點E處的情況有2種，所以螞蟻從點A出發(fā)到達點E處的概率P=.

例10（浙江·金華卷）小明和小華參加社會實踐活動，隨機選擇“打掃社區(qū)衛(wèi)生”和“參加社會調(diào)查”其中一項，那么兩人同時選擇“參加社會調(diào)查”的概率為（ ）.

解：記“打掃社區(qū)衛(wèi)生”為A，“參加社會調(diào)查”為B，畫樹狀圖如圖6所示.

由樹狀圖可知，共有4種等可能的結(jié)果，兩人同時選擇“參加社會調(diào)查”（即BB）的結(jié)果有1種.所以兩人同時選擇“參加社會調(diào)查”的概率P=.

圖6

故選A.

【評析】這兩道例題的亮點在于，不管是小螞蟻覓食的問題，還是兩人同時選擇“參加社會調(diào)查”的問題，本質(zhì)上與“拋兩次硬幣，求兩次正面朝上的概率”相同，用畫樹狀圖法可以比較方便地解決問題.

例11（內(nèi)蒙古·包頭卷）同時拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有兩枚硬幣正面向上的概率是（ ）.

解：硬幣正面朝上記為“正”，正面朝下記為“反”，畫出樹狀圖如圖7所示.

圖7

由樹狀圖可知，同時拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣共有8種等可能的結(jié)果，至少有兩枚硬幣正面向上的結(jié)果有4種.

故選D.

例12（江蘇·揚州卷）小明、小剛和小紅打算各自隨機選擇本周日的上午或下午去揚州馬可波羅花世界游玩.

（1）小明和小剛都在本周日上午去游玩的概率為________；

（2）求他們?nèi)嗽谕粋€半天去游玩的概率.

解：（1）上午記為“上”，下午記為“下”，畫出樹狀圖如圖8所示.

圖8

由樹狀圖可知，三人隨機選擇本周日的上午或下午去游玩共有8種等可能結(jié)果，其中小明和小剛都在本周日上午去游玩的結(jié)果有（上，上，上）（上，上，下）2種.所以小明和小剛都在本周日上午去游玩的概率

（2）他們?nèi)嗽谕粋€半天去游玩的結(jié)果有（上，上，上）（下，下，下）這2種，所以他們?nèi)嗽谕粋€半天去游玩的概率

【評析】這兩道例題一次試驗涉及3步，此時列表法就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用畫樹狀圖法.所以在一次試驗涉及3步或更多步時，我們一般是先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率的概念進行解答.

例13（安徽卷）一袋中裝有形狀大小都相同的四個小球，每個小球上各標有一個數(shù)字，分別是1，4，7，8.現(xiàn)規(guī)定從袋中任取一個小球，對應的數(shù)字作為一個兩位數(shù)的個位數(shù)；然后將小球放回袋中并攪拌均勻，再任取一個小球，對應的數(shù)字作為這個兩位數(shù)的十位數(shù).

（1）寫出按上述規(guī)定得到所有可能的兩位數(shù)；

（2）從這些兩位數(shù)中任取一個，求其算術平方根大于4且小于7的概率.

解：（1）（方法1：列表法）如表3所示.

表3

（方法2：畫樹狀圖法）如圖9所示.

圖9

共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，它們是11，41，71，81，14，44，74，84，17，47，77，87，18，48，78，88.

（2）算術平方根大于4，且小于7的結(jié)果有6種，所以算術平方根大于4且小于7的概率是

例14（甘肅·蘭州卷）小明和小軍兩人一起做游戲，游戲規(guī)則如下：每人從1，2，…，8中任意選擇一個數(shù)字，然后兩人各轉(zhuǎn)動一次如圖10所示的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被分為面積相等的四個扇形），兩人轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和等于誰事先選擇的數(shù)，誰就獲勝；若兩人轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和不等于他們各自選擇的數(shù)，就再做一次上述游戲，直至決出勝負.若小軍事先選擇的數(shù)是5，用列表法或畫樹狀圖的方法求他獲勝的概率.

圖10

解：（1）（方法1：列表法）如表4所示.

表4

（方法2：畫樹狀圖法）如圖11所示.

圖11

共有16種等可能的結(jié)果，選擇的數(shù)是5的有4種，

【評析】這兩道例題都是放回抽樣的模型，都可以用列表法、畫樹狀圖法來解題，放回抽樣體現(xiàn)的特點是，列表法的表格中“對角線”是有內(nèi)容的，畫樹狀圖時每一次分支數(shù)是相同的，抓住這一點，能夠提高解題的準確率.

例15（海南卷）三張外觀相同的卡片分別標有數(shù)字1，2，3，從中隨機一次抽出兩張，這兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的概率是（ ）.

解：（方法1：列表法）如表5所示.

表5

（方法2：畫樹狀圖法）如圖12所示.

圖12

共有6種等可能的結(jié)果，兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的結(jié)果有2種，所以兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的概率.

例16（江蘇·宿遷卷）在一只不透明的袋子中裝有2個白球和2個黑球，這些球除顏色外都相同.

（1）若先從袋子中拿走m個白球，這時從袋子中隨機摸出一個球是黑球的事件為“必然事件”，則m的值為_______；

（2）若將袋子中的球攪勻后隨機摸出1個球（不放回），再從袋中余下的3個球中隨機摸出1個球，求兩次摸到的球顏色相同的概率.

解：（1）因為在一只不透明的袋子中裝有2個白球和2個黑球，這些球除顏色外都相同，從袋子中拿走m個白球，這時從袋子中隨機摸出一個球是黑球的事件為“必然事件”，所以透明的袋子中裝的都是黑球.所以m的值為2.

（2）設黑球分別為H1，H2，白球分別為B1，B2，

（方法1：列表法）如表6所示.

表6

（方法2：畫樹狀圖法）如圖13所示.

圖13

共有12種等可能的結(jié)果，兩次都摸到顏色相同的球的結(jié)果有4種，所以兩次摸到的球顏色相同的概率是

【評析】這兩道例題都是不放回抽樣的類型，都可以用列表法、畫樹狀圖法來解題，不放回抽樣體現(xiàn)的特點是，列表法的表格中“對角線”是沒有內(nèi)容的，畫樹狀圖時，分支會每次減少一支，解題時要注意是放回試驗還是不放回試驗.

3.基于統(tǒng)計思想，頻率估計概率

例17（湖北·襄陽卷）一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個黑球、4個白球和若干個紅球.每次搖勻后隨機摸出1個球，記下顏色后再放回袋中，通過大量重復摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.4，由此可估計袋中約有紅球的個數(shù)為_____.

解：因為頻率穩(wěn)定于概率，

所以可以估計摸到紅球的概率是0.4，摸到黑球或白球的概率為1-0.4=0.6.

所以估計總的球數(shù)為（8+4）÷0.6=20.

所以估計紅球的個數(shù)有20-（8+4）=8（個）.

例18（山西卷）每年5月的第二周為“職業(yè)教育活動周”，今年我省展開了以“弘揚工匠精神，打造技能強國”為主題的系列活動，活動期間某職業(yè)中學組織全校師生并邀請學生家長和社區(qū)居民參加“職教體驗觀摩”活動，相關職業(yè)技術人員進行了現(xiàn)場演示，活動后該校隨機抽取了部分學生進行調(diào)查：你最感興趣的一種職業(yè)技能是什么？并對此進行了統(tǒng)計，繪制了統(tǒng)計圖（均不完整）如圖14所示.

圖14

（1）補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖；

（2）若該校共有1800名學生，試估計該校對“工業(yè)設計”最感興趣的學生有人數(shù)有多少？

（3）要從這些被調(diào)查的學生中隨機抽取一人進行訪談，那么正好抽到對“機電維修”最感興趣的學生的概率是_______.

解：（1）補全的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖如圖15所示.

圖15

（2）1800×30%=540（人）.

所以估計該校對“工業(yè)設計”最感興趣的學生人數(shù)是540人.

（3）要從這些被調(diào)查的學生中隨機抽取一人進行訪談，那么正好抽到對“機電維修”最感興趣的學生的概率是0.13.

【評析】這兩道例題考查樣本估計總體，試題的背景貼近生活實際，注重概率知識在解決實際問題中的作用，需要學生深刻理解頻率和概率之間的聯(lián)系，頻率穩(wěn)定于概率，頻率之和等于1，概率之和等于1.

例19（四川·達州卷）達州市圖書館今年4月23日開放以來，受到市民的廣泛關注.5月底，八年級（1）班學生小穎對全班同學這一個多月來去新圖書館的次數(shù)做了調(diào)查統(tǒng)計，并制成了如圖16、表7所示的不完整的統(tǒng)計圖表.

圖16

表7：八年級（1）班學生去新圖書館的次數(shù)統(tǒng)計表

試根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息，解答下列問題：

（1）填空：a=________，b=________；

（2）求扇形統(tǒng)計圖中“0次”的扇形所占圓心角的度數(shù)；

（3）從全班去過該圖書館的同學中隨機抽取1人，談談對新圖書館的印象和感受.求恰好抽中去過“4次及以上”的同學的概率.

解：（1）該班學生總數(shù)為12÷24%=50（人），

則a=50-8-12-10-4=16，

（3）從全班去過該圖書館的同學中隨機抽取1人，有50-8=42種等可能結(jié)果，其中恰好抽中去過“4次及以上”的同學有4種結(jié)果，所以恰好抽中去過“4次及以上”的同學的概率

例20（山東·棗莊卷）小軍同學在學校組織的社會實踐活動中，負責了解他所居住的小區(qū)450戶居民的生活用水情況，他從中隨機調(diào)查了50戶居民的月均用水量（單位：t），并繪制了如表8所示的樣本的頻數(shù)分布表.

表8

（1）根據(jù)題中已有的信息補全頻數(shù)分布表：

①________，②________，③________；

（2）如果家庭月均用水量大于或等于5 t，且小于8 t為“用水量中等”的家庭，通過樣本估計總體，試問用水量中等的家庭的戶數(shù)大約有多少？

（3）記月均用水量在2≤x＜3范圍內(nèi)的兩戶為a1，a2，在7≤x＜8范圍內(nèi)3戶為b1，b2，b3，從這5戶家庭中任意抽取2戶，并求出抽取的2戶家庭來自用水量在不同范圍的概率.

解：（1）①50×30%=15；

②50-2-12-15-10-3-2=6；

③6÷50=0.12=12%.

（2）中等用水量家庭大約有450×（20%+12%+ 6%）=171（戶）.

（3）列表如表9所示.

表9

由列表法可知，總共有20種等可能的結(jié)果，其中2戶家庭來自不同范圍的有12種.所以抽取的2戶家庭來自不同范圍的概率

【評析】這兩道例題是統(tǒng)計與概率相結(jié)合的問題，考查學生從統(tǒng)計圖表中獲取信息的能力，必須認真觀察、分析才能獲取有用的信息，讓學生經(jīng)歷了統(tǒng)計分析和概率計算活動，強化了綜合運用統(tǒng)計與概率解決實際問題能力的考查.

4.把幾何概率轉(zhuǎn)化為古典概率求解

例21（新疆卷）小球在如圖17所示的地板上自由滾動，并隨機停留在某塊正方形的地磚上，則它停在白色地磚上的概率是________.

圖17

解：由圖可知，共有5塊瓷磚，白色的有3塊，所以它停在白色地磚上的概率P=.

例22（江蘇·揚州卷）如圖18所示的六邊形廣場由若干個大小完全相同的黑色和白色正三角形組成，一只小鳥在廣場上隨機停留，剛好落在黑色三角形區(qū)域的概率為________.

圖18

解：落在黑色三角形上的概率就是黑色三角形面積與總面積的比值，因為黑色三角形的面積占總面積的，所以剛好落在黑色三角形區(qū)域的概率P=.

【評析】這兩道例題的背景是幾何概率的模型.通過觀察出白（黑）色方磚在整個地板（廣場）中所占的比值后直接得出結(jié)論，屬簡單題目.通過平面圖形的均勻分割轉(zhuǎn)化為古典概率的模型，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學思想.

例23（山東·青島卷）小明和小亮用如圖19所示的兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做游戲，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形.轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次，若兩次數(shù)字之積大于2，則小明勝，否則小亮勝.這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？說明理由.

圖19

解：先列表如表10所示.

表10

由列表法可知，共有6種等可能的結(jié)果，積大于2的有3種，

所以這個游戲?qū)﹄p方是公平的.

例24（山西卷）如圖20，是一個能自由轉(zhuǎn)動的正六邊形轉(zhuǎn)盤，這個轉(zhuǎn)盤被三條分割線分成形狀相同、面積相等的三部分，且分別標有“1”“2”“3”三個數(shù)字，指針的位置固定不動.讓轉(zhuǎn)盤自動轉(zhuǎn)動兩次，當指針指向的數(shù)都是奇數(shù)的概率為________.

圖20

解：列表如表11所示.

表11

共有9種等可能的結(jié)果，指針指向的數(shù)都是奇數(shù)有4種，所以指針指向的數(shù)都是奇數(shù)的概率

【評析】這兩道例題的背景是轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤有關的概率問題在歷年的試卷中大量出現(xiàn)，轉(zhuǎn)盤可以看作是幾何概率，但如果分析本質(zhì)，無非還是通過平面圖形的均勻分割轉(zhuǎn)化為古典概率的模型，用列表法依然可以清晰的解決問題.

二、試題特點及教學建議

中考試題中的“事件的概率”，命題特點比較明晰，主要體現(xiàn)在題型多樣，緊扣核心內(nèi)容.比較歷年的中考試卷，雖然在形式上推陳出新，但是在本質(zhì)上基本穩(wěn)定，都突出概率意義的理解和隨機觀念的培養(yǎng)，注重概率在解決實際問題中的作用.概率教學和考查的重點如圖21所示.

2016—12—24

王華（1981—），男，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學教學研究.