吳增生

（浙江省仙居縣教育局教研室）

2016年中考“事件的概率”專題命題分析

吳增生

（浙江省仙居縣教育局教研室）

2016年的中考對事件的概率考查體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的基本要求：考查隨機事件及其概率的意義、簡單隨機事件的概率計算，以及用頻率估計概率及概率的應(yīng)用.還出現(xiàn)了統(tǒng)計與用列舉法求簡單隨機事件概率融合的試題.2017年本領(lǐng)域的命題趨向是整體穩(wěn)定，但在數(shù)據(jù)分析觀念的考查上可能會出現(xiàn)創(chuàng)新性的試題，創(chuàng)新點放在“數(shù)據(jù)的隨機性”上，創(chuàng)新題的切入點可能是頻率與概率的關(guān)系、抽樣合理性、數(shù)據(jù)分析方法和結(jié)果的評價三個方面.在復(fù)習(xí)中要注重基礎(chǔ)，讓學(xué)生領(lǐng)會“數(shù)據(jù)的隨機性”.

中考試題；事件的概率；命題研究

一、考點分析

事件的概率屬于統(tǒng)計與概率領(lǐng)域，研究的是隨機現(xiàn)象的規(guī)律.概率與統(tǒng)計一起，在發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念中起著不可或缺的作用.在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中，將數(shù)據(jù)分析觀念解釋為：了解現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊含著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)背景選擇合適的方法；根據(jù)數(shù)據(jù)分析體驗數(shù)據(jù)分析的隨機性.一方面，對于同樣事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

從中可知，數(shù)據(jù)分析觀念的基本要求是：（1）體會數(shù)據(jù)中蘊含著信息；（2）根據(jù)問題的背景選擇合適的數(shù)據(jù)分析方法；（3）通過數(shù)據(jù)分析體驗數(shù)據(jù)隨機性.而事件的概率的主要教育價值在于“通過數(shù)據(jù)分析體驗數(shù)據(jù)的隨機性”.例如，一個不透明的袋子里有紅球和白球若干（除顏色外沒有差別），在看不見袋子中球的數(shù)量的情況下，可以采用摸球試驗的方法獲得數(shù)據(jù),基于數(shù)據(jù)推測袋子里球的情況.袋子中紅球和白球的數(shù)量是確定的，每次摸出的結(jié)果可能是紅球也可能是白球，得到的數(shù)據(jù)是不一樣的，但只要摸球試驗次數(shù)足夠多，則可以大致估計出袋子中紅球和白球個數(shù)的比例，這樣的估計結(jié)果也有可能出錯，但當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時，出現(xiàn)這種例外的可能性比較小.在科學(xué)實驗中，經(jīng)常要分析某種因素對結(jié)果的影響，雖然在不同的試驗中，這個因素對結(jié)果的影響程度是不同的，但只要收集到足夠的數(shù)據(jù)，則就可以比較可靠地推斷出這一因素對結(jié)果的影響水平.

本質(zhì)上，統(tǒng)計和概率都是研究隨機現(xiàn)象的學(xué)科，只不過角度不同，統(tǒng)計和估計概率是用基于數(shù)據(jù)的方法歸納地推斷隨機現(xiàn)象的規(guī)律，而計算概率則是通過理論模型來推斷隨機現(xiàn)象的規(guī)律.簡單隨機事件（古典概型）中的概率計算屬于計算概率，即通過列舉一次試驗中簡單隨機事件的所有可能結(jié)果和指定事件包含的結(jié)果，用指定事件包含的結(jié)果數(shù)占總結(jié)果數(shù)的比例來確定指定事件的概率，這時，我們要對簡單隨機事件的背景（如質(zhì)地均勻的骰子）了如指掌，并且明確假設(shè)（一次試驗中出現(xiàn)的結(jié)果為有限個，每一種結(jié)果發(fā)生的可能性相同），給出概率的定義（指定事件包含的結(jié)果數(shù)占可能的總結(jié)果數(shù)的比例）.當(dāng)我們對事件的背景不甚了解時（如拋一枚瓶蓋，凹面朝上的概率），我們只能依據(jù)數(shù)據(jù)，參照數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景給出估計，這就是用頻率估計概率.用頻率估計概率，是聯(lián)系統(tǒng)計和概率的橋梁，也是讓學(xué)生體驗“數(shù)據(jù)的隨機性”的良好教育資源.

“通過數(shù)據(jù)分析體驗數(shù)據(jù)分析的隨機性”的具體要求是：了解隨機現(xiàn)象和隨機事件，知道隨機事件在每一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，但發(fā)生的可能性是有大小的，而這種可能性大小可以通過大量獨立重復(fù)試驗獲得數(shù)據(jù)，通過分析事件結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)與試驗的總次數(shù)的比值來描述.對于簡單隨機現(xiàn)象（古典概型——一次試驗的結(jié)果只有有限個，每一個結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同），可以用列舉法列出一次試驗中所有可能的結(jié)果得到數(shù)據(jù)，用指定事件包含的結(jié)果數(shù)與總結(jié)果數(shù)的比值來刻畫指定事件發(fā)生可能性的大??；對于非簡單隨機事件，則需要通過大量重復(fù)獨立試驗來獲取數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)分析，用頻率估計概率.設(shè)μn是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，P是每次試驗中事件A發(fā)生的概率，對于任意給定的ε＞0，，這里就是在n次試驗中事件A出現(xiàn)的頻率.所以，大量獨立重復(fù)試驗中，頻率穩(wěn)定于概率，不是頻率等于概率，也不是頻率以概率為極限，而指的是當(dāng)相互獨立的試驗次數(shù)足夠多時，頻率偏離概率的可能性越來越小，頻率依照概率收斂于概率，即.也就是說，無論試驗次數(shù)有多大，頻率偏離概率的情況還是可能出現(xiàn)的，但只要試驗次數(shù)足夠多，則出現(xiàn)這種情況的可能性就能任意小.

《標(biāo)準(zhǔn)》對事件的概率的具體內(nèi)容要求是：（1）能通過列表、畫樹形圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率.（2）知道通過大量的重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率.

綜上所述，事件的概率領(lǐng)域命題時，首先要重視考查《標(biāo)準(zhǔn)》中提出的具體內(nèi)容的要求，即必然事件、不可能事件、隨機事件的意義，列舉法求簡單隨機事件的概率，了解怎樣用頻率估計概率；其次要重視考查“基于數(shù)據(jù)推斷隨機現(xiàn)象規(guī)律”的思想方法，考查學(xué)生對“數(shù)據(jù)分析的隨機性”的感悟水平.

二、2016年試題命題思路分析

1.2016年全國各地試卷中的數(shù)據(jù)分析

為了分析2016年全國各地中考試卷中“事件的概率”試題的權(quán)重、考試內(nèi)容、試題類型、試題背景，從全國各地的試卷中抽取了55份試卷進行分析，結(jié)果如下.

（1）事件的概率領(lǐng)域在整卷中的平均權(quán)重不大.

在抽取的55份試卷中，除了2份試卷沒有考查到事件的概率外，其余試卷均考查了事件的概率.事件的概率的平均權(quán)重為3.12%，占比不大.試題難度分布主要以簡單題和中等難度題為主.

（2）突出重點，重視列舉法求概率的考查.

在55份試卷中，絕大多數(shù)試卷考查了列舉法求概率，也有部分試卷考查了隨機事件的意義，3份試卷中考查了用頻率估計概率.總的來說，符合《標(biāo)準(zhǔn)》的具體內(nèi)容目標(biāo)要求.從2016年試卷中，可以發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了一些統(tǒng)計與概率相結(jié)合的試題，考查學(xué)生綜合的數(shù)據(jù)分析能力和基于數(shù)據(jù)的推斷能力，這可以導(dǎo)向平時教學(xué)重視學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)，具體如表1所示.

表1：試題考查知識點及題型分布

（3）試題的背景.

數(shù)據(jù)分析要有背景，數(shù)據(jù)分析的本質(zhì)是通過數(shù)據(jù)分析推斷背景的狀態(tài).例如，用樣本估計總體，根據(jù)背景選擇合適的數(shù)據(jù)分析方法（包括選擇合適的統(tǒng)計量分析數(shù)據(jù)，在簡單隨機現(xiàn)象中根據(jù)一次試驗的可能結(jié)果與指定事件的可能結(jié)果關(guān)系計算指定事件的概率，用頻率估計概率等）.在所抽取的55份試卷中，大多數(shù)以實際問題或游戲為背景，也有部分是以數(shù)學(xué)知識為背景，還出現(xiàn)了結(jié)合統(tǒng)計問題考查事件概率的傾向，要求學(xué)生在統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上用列舉法求概率.因為統(tǒng)計問題基本上都具有實際背景，因此數(shù)據(jù)處理時把這類試題歸入到實際背景問題中.事件的概率試題的背景分布如表2所示.

表2：試題類型及背景分布

需要指出的是，分析數(shù)據(jù)的目的是推測背景的狀態(tài)，數(shù)據(jù)分析是為了解決實際背景中的隨機問題而采用的思維活動，即便是概率的公理化理論也是用抽象的理論模型研究現(xiàn)實背景中的隨機現(xiàn)象，而不是為了解決抽象的數(shù)學(xué)問題.數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)推理不同，前者是基于數(shù)據(jù)的推理，后者是基于抽象概念和命題的推理.

在2016年各地的中考試卷中，出現(xiàn)了一些把事件的概率與代數(shù)或幾何問題拼湊在一起的試題，如下.

有一枚均勻的正方體骰子，骰子各個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，若任意拋擲一次骰子，朝上的面的點數(shù)記為x，計算，則其結(jié)果恰為2的概率是（ ）．

這有悖于概率論研究隨機現(xiàn)象的本質(zhì)，是需要糾正的.

2.典型試題分析——2016年命題的基本走向

（1）重視核心概念的考查.

“事件的概率”領(lǐng)域涉及到的核心概念有：必然事件、隨機事件、不可能事件；事件的概率的意義.2016年全國各地的中考試卷中，隨機事件的相關(guān)概念辨析和概率的意義的辨析，基本上都是以簡單的選擇題、填空題題型出現(xiàn)的.

例1（浙江·臺州卷）質(zhì)地均勻的骰子六個面分別刻有1～6的點數(shù)，擲兩次骰子，得到向上一面的兩個點數(shù)，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是（ ）.

（A）點數(shù)都是偶數(shù) （B）點數(shù)的和為奇數(shù)

（C）點數(shù)的和小于13 （D）點數(shù)的和小于2

【評析】此題中，事件C是必然事件，事件D是不可能事件，事件A、事件B是隨機事件，本質(zhì)上是考查學(xué)生對隨機事件的意義的理解，知道必然事件發(fā)生的可能性最大.

例2（廣東·茂名卷）下列事件中，是必然事件的是（ ）.

（A）兩條線段可以組成一個三角形

（B）400人中有兩個人的生日在同一天

（C）早上的太陽從西方升起

（D）打開電視機，它正在播放動畫片

【評析】此題則是從概念出發(fā)考查隨機事件的意義的.

（2）著重考查列舉法求概率.

用列舉法求概率是初中階段研究的重點概率模型，2016年各地的中考試卷中，既有用簡單的選擇題和填空題來考查，又有用簡單題或中等難度的解答題來考查的.

例3（湖南·湘西卷）在一個不透明的口袋中裝有6個紅球，2個綠球，這些球除顏色外無其他差別，從這個袋子中隨機摸出1個球，摸到紅球的概率為（ ）.

例4（山東·濟寧卷）如圖1，在4×4正方形網(wǎng)格中，黑色部分的圖形構(gòu)成一個軸對稱圖形，現(xiàn)在任意選取一個白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的圖形仍然構(gòu)成一個軸對稱圖形的概率是（ ）.

圖1

例5（山東·濱州卷）有5張看上去無差別的卡片，上面分別寫著0，π，，，1.333．隨機抽取1張，則取出的數(shù)是無理數(shù)的概率是_______．

【評析】例3、例4是用選擇題題型考查列舉法求事件的概率，例5則是用填空題題型考查列舉法求概率.因為用列舉法求概率是一種結(jié)論封閉的計算，因此，此類試題用填空題或解答題題型考查可能更合適.解例5的主要障礙是無理數(shù)的概念，而不是求概率，這影響試題的效度，而且“看上去無差別”的表述也不夠嚴謹，若改為“有5張相同的卡片，在其一面上寫著這5個數(shù).然后把有文字的一面朝下洗勻后，從中隨機抽出一張，抽出的牌一面寫著無理數(shù)的概率是______”，則命題效果也許會更好.

例6（江蘇·無錫卷）甲、乙兩隊進行打乒乓球團體賽，比賽規(guī)則規(guī)定：

兩隊之間進行3局比賽，3局比賽必須全部打完，只要贏滿2局的隊為獲勝隊，假如甲、乙兩隊之間每局比賽輸贏的機會相同，且甲隊已經(jīng)贏得了第1局比賽，那么甲隊最終獲勝的概率是多少（試用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）？

例7（山東·威海卷）一個盒子里有標(biāo)號分別為1，2，3，4，5，6的六個小球，這些小球除標(biāo)號數(shù)字外都相同．

（1）從盒中隨機摸出一個小球，求摸到標(biāo)號數(shù)字為奇數(shù)的小球的概率；

（2）甲、乙兩人用這六個小球玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從盒子中隨機摸出一個小球，記下標(biāo)號數(shù)字后放回盒里，充分搖勻后，乙再從盒子中隨機摸出一個小球，并記下標(biāo)號數(shù)字．若兩次摸到小球的標(biāo)號數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則判甲贏；若兩次摸到小球的標(biāo)號數(shù)字為一奇一偶，則判乙贏．試用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個游戲?qū)?、乙兩人是否公平?/p>

【評析】例6和例7屬于難度中等的解答題，考查學(xué)生用畫表格和樹形圖的方法羅列簡單隨機事件的所有結(jié)果，以及指定事件中包含的結(jié)果數(shù)，根據(jù)古典概率的定義，用推理和計算的方法求事件的概率.

（3）頻率與概率的關(guān)系的考查.

例8（北京卷）林業(yè)部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，表3是這種幼樹在移植過程中的一組數(shù)據(jù).

估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率為____．

表3

【評析】此題需要學(xué)生分析隨著試驗次數(shù)（種樹棵數(shù)）的增加，幼樹成活的頻率是怎樣變化的，感悟表中的數(shù)據(jù)中不同的列是不同的，說明在不同的試驗中，幼樹的移植成活率數(shù)據(jù)不同，但是，在大量試驗中，從這些數(shù)據(jù)中表現(xiàn)出成活的頻率穩(wěn)定在0.88附近（不是越來越接近），因此，可以估計這種幼樹在相同條件下成活的概率為0.88.盡管這種估計可能因為例外情況出現(xiàn)而導(dǎo)致不準(zhǔn)確，但是頻率偏離概率的可能性不大.而此題妙處在于要求學(xué)生自己通過觀察發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.88附近，給出0.88這個概率估計值，這需要學(xué)生理解什么是“頻率穩(wěn)定在概率附近”的條件下才能做出正確解答.

（4）統(tǒng)計與概率的整合.

例9（湖南·邵陽卷）為了解市民對全市創(chuàng)衛(wèi)工作的滿意程度，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在全市甲、乙兩個區(qū)內(nèi)進行了調(diào)查統(tǒng)計，將調(diào)查結(jié)果分為不滿意、一般、滿意、非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計圖（如圖2）．

圖2

結(jié)合圖中信息，解決下列問題.

（1）求此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)．

（2）求此次調(diào)查中結(jié)果為非常滿意的人數(shù)．

（3）興趣小組準(zhǔn)備從調(diào)查結(jié)果為不滿意的4位市民中隨機選擇2位進行回訪，已知4位市民中有2位來自甲區(qū)，另2位來自乙區(qū)，試用列表或用畫樹狀圖的方法求出選擇的市民均來自甲區(qū)的概率．

例10（山東·煙臺卷）網(wǎng)上購物已經(jīng)成為人們常用的一種購物方式，售后評價特別引人關(guān)注，消費者在網(wǎng)店購買某種商品后，對其有“好評”“中評”“差評”三種評價，假設(shè)這三種評價是等可能的．

（1）小明對一家網(wǎng)店銷售某種商品顯示的評價信息進行了統(tǒng)計，并列出了如圖3、圖4所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

利用圖中所提供的信息解決以下問題.

①小明一共統(tǒng)計了______個評價；

②試將圖3補充完整；

③圖4中“差評”所占的百分比是______；

（2）若甲、乙兩名消費者在該網(wǎng)店購買了同一商品，試用列表格或畫樹狀圖的方法幫助店主計算兩名消費者中至少有一名給“好評”的概率．

圖3

圖4

【評析】例9和例10是近年來逐漸形成的整合統(tǒng)計和概率類型試題，在考查相關(guān)知識的同時，努力嘗試考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念.但試題中都設(shè)計了“不完整的統(tǒng)計圖”，有人為造作之嫌，因為任何一次統(tǒng)計活動中不可能畫出“不完整的統(tǒng)計圖”，而且這種現(xiàn)象在統(tǒng)計試題中出現(xiàn)的頻率很高，在今后命題中需要改進.

三、2017年命題趨勢及復(fù)習(xí)建議

與《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》相比，《標(biāo)準(zhǔn)》基本保留了其中的主干內(nèi)容，削枝強干，把重點放在了用列舉法求簡單隨機事件（古典概型）概率和了解頻率與概率的關(guān)系這兩個方面，讓學(xué)生通過用概率刻畫事件發(fā)生可能性大小，進一步體會隨機現(xiàn)象及其研究的基本方法.

1.試題考查的重點總體穩(wěn)定

考查的重點是隨機事件及概率的意義，用列舉法求簡單隨機事件的概率，了解在大量獨立重復(fù)試驗中可以用頻率估計概率.這是《標(biāo)準(zhǔn)》中內(nèi)容目標(biāo)所給定的，因此不會有大的變化.

2.可能的新方向

對“數(shù)據(jù)分析的觀念”考查會進一步深化.在“事件的概率”這一領(lǐng)域中，數(shù)據(jù)分析觀念主要是指“根據(jù)數(shù)據(jù)分析體驗數(shù)據(jù)分析的隨機性：一方面，對于同樣事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”.在今后的命題中，可能會對怎樣考查學(xué)生“對數(shù)據(jù)分析的隨機性的體會”的命題技術(shù)進行創(chuàng)新.

首先，基于頻率與概率的關(guān)系可以命制探索性的試題；其次，也可以在抽樣過程中融入數(shù)據(jù)隨機性觀念的考查，如讓學(xué)生基于“總體中每一個個體被抽到的可能性大小相同”判斷幾種不同的抽樣方案中哪一種最合理；第三，還可以是對數(shù)據(jù)分析結(jié)果的評價，如在若干次測量某圓柱形工件直徑得到數(shù)據(jù)后，讓學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量估計工件的實際直徑，最后問學(xué)生：這樣的估計結(jié)果是否隨著測量次數(shù)的變化而變化？通過數(shù)據(jù)分析結(jié)果的評價、觀察，學(xué)生是否體會到，一種抽樣分析的結(jié)論在下一次抽樣分析中可能有變化，但是在多次重復(fù)抽樣分析中會表現(xiàn)出較高的可靠性.“根據(jù)數(shù)據(jù)分析體驗數(shù)據(jù)分析的隨機性”可以實現(xiàn)統(tǒng)計與概率的深度自然融合，這是事件的概率這一領(lǐng)域命題創(chuàng)新的基本方向.

3.復(fù)習(xí)建議

事件的概率這部分內(nèi)容不多，目標(biāo)明確，歷年考試的題型基本一致，即用簡單的選擇題或填空題考查隨機事件的概念及概率的意義；重點考查用列舉法求簡單隨機事件的（古典概型）的概率，這可以根據(jù)需要以不同的題型出現(xiàn).而重視數(shù)據(jù)分析觀念的考查，是今后命題創(chuàng)新的基本方向.因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，首先要通過具體實例讓學(xué)生領(lǐng)會隨機事件的相關(guān)概念（必然事件、隨機事件、不可能事件），知道隨機事件在某次試驗中既可能發(fā)生又可能不發(fā)生，且發(fā)生的可能性有大小，概率是用來刻畫隨機事件發(fā)生可能性大小的一種度量.其次，要讓學(xué)生在理解簡單隨機事件兩個條件的基礎(chǔ)上理解其概率的意義，并通過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練形成用列舉法求事件概率的基本技能.第三，重視頻率與概率關(guān)系的體驗式學(xué)習(xí)活動教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生在具體背景中理解什么是“頻率穩(wěn)定于概率附近”.

四、模擬試題

1.骰子的六個面上分別標(biāo)有1～6中的一個數(shù)字，擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，分別得到朝上一面的一個數(shù)字.下列事件是隨機事件的是（ ）.

（A）得到的兩個數(shù)字之和小于13

（B）得到的兩個數(shù)字之和等于1

（C）得到的兩個數(shù)字之和是奇數(shù)或偶數(shù)

（D）得到的兩個數(shù)字之和是3的倍數(shù)

答案：D.

2.下列事件中，發(fā)生可能性最大的是（ ）.

（A）拋兩次均勻的硬幣，都是國徽圖案一面朝上

（B）拋兩次均勻的硬幣，都是國徽圖案一面朝下

（C）拋兩次硬幣，至少有一次國徽圖案朝上

（D）拋兩次硬幣，國徽圖案一面一次朝上，一次朝下

答案：C.

3.為了解學(xué)生在課外活動中喜歡籃球、足球、乒乓球、圍棋、羽毛球、跳繩這六項體育活動中的哪些項目，擬采用抽樣調(diào)查方式，你認為下列抽樣方式中最合理的是（ ）.

（A）在七年級隨機抽取50名女生進行問卷調(diào)查

（B）在八年級隨機抽取50名男生進行問卷調(diào)查

（C）在七、八、九年級各指定一個班級進行問卷調(diào)查

（D）在全校學(xué)生中根據(jù)學(xué)籍號隨機抽取50名學(xué)生進行問卷調(diào)查

答案：D.

4.某班級同學(xué)在課外進行了不同次數(shù)的摸球試驗（袋子里有紅、白兩種只有顏色不同的球），每次摸出球后都把球放回，搖勻后再進行下一次摸球.表4是該班8個小組的摸球結(jié)果.

表4

如果袋子里共有10個球，試估計一下袋子里的白球數(shù)目大致是_________，你覺得你的估計一定正確嗎？

答案：4個，估計不一定正確，只是很可能有4個白球.

5.小明測量一個圓柱體工件的直徑得到以下10個數(shù)值（單位：cm）.

8.03 7.92 7.95 7.98 7.98

7.98 7.93 7.94 8.05 8.03

如果要取其中一個數(shù)據(jù)作為工件直徑的估計值，則該估計值是__________，理由是___________.

答案：7.98，因為10次測量中得到結(jié)果是7.98的頻率最大，為0.3，根據(jù)頻率估計概率，隨機從這10個數(shù)據(jù)中選擇一個數(shù)據(jù)，7.98被選到的概率最大，因此選擇7.98作為工件直徑最可靠.

6.歷史上，有些人曾經(jīng)做過成千上萬次的拋硬幣試驗，結(jié)果如表5所示.

表5

（1）根據(jù)頻率估計概率的方法，你認為拋一枚硬幣，正面向上的概率是多少？

（2）用簡單隨機事件概率的意義算一算，得到的結(jié)果與（1）中估計的結(jié)果一致嗎？

答案：（1）0.5.

（2）一枚均勻的硬幣，拋一次只有兩種可能，正面向上或背面向上，而且這兩種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，根據(jù)簡單隨機事件概率的定義，可得這與上述用頻率估計概率得到的結(jié)果相一致.

7.在如圖5所示的電路中，有A，B，C，D四個開關(guān)，隨機閉合三個開關(guān)，燈泡亮起的概率是多少（試用樹形圖或列表法列出所有可能結(jié)果并進行計算）？

圖5

答案：畫出樹形圖如圖6所示.

圖6

8.某水果批發(fā)公司用2元/kg的價格進來1 000箱橘子，每箱10 kg.由于進來的水果都有損耗，所以真正可以出售的水果不到10 000 kg.如果該公司希望這批橘子銷售能獲得5 000元毛利潤，應(yīng)該把銷售價格定為多少？為了解決這個問題，首先要估計這10000 kg橘子中除去損耗后剩下多少橘子可以銷售，因此需要估計損耗的橘子是多少.為此，該公司進行了抽樣調(diào)查.

（1）有如下兩種抽樣方案，為了使每一箱橘子被抽到的概率相等，你認為哪一種比較合適？

①從倉庫中最方便處打開若干箱進行逐個檢查.

②把這批橘子每箱從1～1000編號，用電腦隨機選擇若干號碼，打開相應(yīng)的箱子進行逐個檢查.

（2）該公司用合理的方式抽取了20箱橘子進行逐個檢查，并在表6中記錄了每個被抽查到的箱子里橘子的損耗情況.

表6

為了估計整批橘子的損耗率，有三種不同的方法：

①先算出20箱橘子損耗率的平均數(shù)，并以此估計整批橘子的損耗率；

②先求出這些損耗率的中位數(shù)，并以此估計整批橘子的損耗率；

③先求出這20箱橘子損耗率的眾數(shù)，并以此估計整批橘子的損耗率.

你認為用哪種方法比較合理？

（3）試用最合理的方法估計這批橘子的總損耗率并確定適當(dāng)?shù)匿N售價格，盡可能達到公司的盈利目標(biāo)（精確到0.01元/kg）.

答案：（1）用方法②抽樣比較合理，這樣能使這批橘子中的每一箱被抽到的概率相等.

（2）用所抽取的20箱橘子的損耗率平均值代表整批橘子的損耗率比較合理，因為這20箱橘子的平均損耗率==0.083 6，這就是20次抽查中損耗的頻率，它應(yīng)用了20次抽查的所有信息，根據(jù)用頻率估計概率的方法，總試驗次數(shù)越多，頻率越穩(wěn)定于概率.

（3）根據(jù)樣本估計總體思想，這批橘子的總損耗量約為10 000×0.083 6=836，可銷售的橘子有10 000-836=9 164，設(shè)銷售價格應(yīng)定為每千克x元，根據(jù)公司的盈利目標(biāo)列出方程9 164x=20 000+5 000，x≈2.73.

因此，銷售價格定為每千克2.73元比較合理.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］史寧中.數(shù)學(xué)思想概率（第一輯）：數(shù)與數(shù)量關(guān)系的抽象［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2015.

［3］李靜.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）的關(guān)鍵詞與初中數(shù)學(xué)教學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

2016—11—25

吳增生（1962—），男，中學(xué)高級教師，浙江省特級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及命題評價研究.