種田

(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

CC-p調(diào)和映照的Liouville型定理

種田

(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

擬調(diào)和映照以及廣義擬調(diào)和映照在研究擬Hermitian幾何中發(fā)揮著重要作用。在前期工作的基礎(chǔ)上,考慮引入p-水平能量泛函以及相應(yīng)的p-水平應(yīng)力能量張量,此張量成為研究守恒律的有利工具并且推導(dǎo)出與該張量聯(lián)系緊密的基本積分公式。利用此基本積分公式建立關(guān)于p-水平能量張量的單調(diào)不等式,推導(dǎo)出關(guān)于p-水平能量增長性條件下CC-p調(diào)和映照的Liouville型定理。此類型的Liouville型定理有助于進一步理解與擬Hermitian流形相關(guān)的性質(zhì)。

CC-p調(diào)和映照;單調(diào)不等式;Liouville型定理

0 引言

調(diào)和映照是黎曼流形間映照能量泛函的臨界點,它是幾何分析領(lǐng)域中的核心課題之一,同時它也在復(fù)分析、材料科學(xué)、理論物理等自然科學(xué)分支中有著廣泛的應(yīng)用。調(diào)和映照理論被許多數(shù)學(xué)家用來研究黎曼流形的幾何結(jié)構(gòu),它是微分幾何中測地線、極小子流形以及調(diào)和函數(shù)概念的自然推廣。Liouville型定理是調(diào)和映照理論中的重要問題之一,它對研究黎曼流形結(jié)構(gòu)、黎曼幾何性質(zhì)等方面有著重要的應(yīng)用。1980年,Baird等[1]引入了黎曼流形間映照的應(yīng)力能量張量,此張量使得關(guān)于調(diào)和映照的許多理論得到了統(tǒng)一,特別是在建立調(diào)和映照Liouville型定理方面有著顯著的應(yīng)用。調(diào)和映照理論中,大部分的Liouville型定理都是在能量增長性條件或是在對映照的像進行一定限制的條件下得到的[2-6]。Sealey[5]引入了關(guān)于向量叢值p形式的應(yīng)力能量張量,并且建立了調(diào)和p形式的消滅定理。東瑜昕等[7]利用應(yīng)力能量張量建立了關(guān)于向量從p形式的單調(diào)不等式,他們?nèi)匀皇菑慕⒒镜姆e分公式出發(fā),通過使用不同的窮竭函數(shù)構(gòu)造積分公式中所需要的向量場。

近年來,擬Hermitian流形受到許多幾何學(xué)家的關(guān)注,它與復(fù)分析、黎曼幾何以及次黎曼幾何都有著緊密的聯(lián)系。如果擬Hermitian流形的擬Hermitian撓率為0,則稱其為Sasakian流形。Sasakian流形與K¨ahler流形聯(lián)系密切,實際上一個黎曼流形是Sasakian流形當且僅當其錐度量是K¨ahler的。

在研究擬Hermitian流形時,許多擬調(diào)和映照的概念在不同的問題背景下被引入,許多幾何學(xué)家針對從擬Hermitian出發(fā)的映照性質(zhì)進行了討論,并且稱在各種限制性變分條件下的水平能量泛函的臨界點為擬調(diào)和映照[8-11]。作者已經(jīng)研究了從黎曼流形出發(fā)到擬Hermitian流形的CC調(diào)和映照,并給出能量增長性條件下的Liouville型定理[12]。本文考慮引入從黎曼流形出發(fā)到擬Hermitian流形的p-水平能量泛函以及相應(yīng)的p-水平應(yīng)力能量張量,利用基本的積分公式推導(dǎo)關(guān)于p-水平能量張量的單調(diào)不等式,從而建立p-水平能量增長性條件下的Liouville型定理。類似于黎曼幾何和K¨ahler幾何中調(diào)和映照的作用,CC-p調(diào)和映照也被期望在擬Hermitian幾何中發(fā)揮重要作用。

1 擬Hermitian流形

設(shè)(N,T1,0N)是一個定向的CR流形且θ是N上的一個擬Hermitian結(jié)構(gòu)。如果其上的Levi形式Lθ是正定的,則稱(N,T1,0N)是一個嚴格擬凸的CR流形,為了突出擬Hermitian結(jié)構(gòu)的重要性,也稱其為擬Hermitian流形,并記作(N,H(N),J,θ),其中H(N)是Levi分布,J是它上的復(fù)結(jié)構(gòu)。

如果(N,H(N),J,θ)是一個擬Hermitian流形,記T為Reeb方向,有如下直和分解：

TN=H(N)⊕RT,πH:TN→H(N)

是關(guān)于此分解的投射。記gθ為其Webster度量,同黎曼流形上的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)相類似,在擬Hermitian流形上,也存在一個典范聯(lián)絡(luò),它同時保持CR結(jié)構(gòu)和Webster度量。

定理[11]設(shè)(N,H(N),J,θ)是一個擬Hermitian流形,則TN上存在唯一的線性聯(lián)絡(luò)?,稱為Tanaka-Webster聯(lián)絡(luò),滿足：

(1)分布H(N)關(guān)于?平行; (2)?J=0,?gθ=0;

(3)?的撓率T?滿足對任意的Z,W∈Γ(T1,0N):T?(Z,W)=0

T?(Z,ˉW)這里相應(yīng)的向量值1形式τ是相應(yīng)的擬Hermitian撓率。

由上述定理可知?T=0,?θ=0,擬Hermitian撓率τ是H(N)值的,且關(guān)于gθ是自伴的,記A(X,Y)=〈τX,Y〉,則A(X,Y)=A(Y,X)。如果一個擬Hermitian流形的τ=0,則將其稱為Sasakian流形。

引理1設(shè)f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是從黎曼流形到擬Hermitian流形的光滑映照,對于任意的X,Y∈Γ(TM),有

證明令(U,x1,···,xm)和(V,y1,···,y2n+1)分別是M和N上的局部坐標系。不妨假設(shè)f(U)?V。由于[?/?xi,?/?xj]=0,為證引理結(jié)果只用說明

將拉回坐標系記作(?/?yα)f,可作如下計算：證畢。

2CC-p調(diào)和映照

2.1 水平能量的第一變分公式

設(shè)f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是從黎曼流形到擬Hermitian流形的光滑映照。對M中任意具有光滑邊界的有界區(qū)域D,考慮如下形式的p-水平能量泛函(p≥2)：

其中,dfH=πH?df。

如果M是緊的,那么自然可以在整個M上定義水平能量泛函,記作EpH(f)。

令?M和?分別是(M,g)和(N,H(N),J,θ)上的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)以及Tanaka-Webster聯(lián)絡(luò)。記β是關(guān)于(?M,?)的第二基本形式,接下來推導(dǎo)關(guān)于p-水平能量的第一變分公式。

定理1設(shè)f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是從黎曼流形到擬Hermitian流形的光滑映照。對M中任意具有光滑邊界的有界區(qū)域D,若V∈Γ(f-1H(N))是M中的水平變分向量場并且支集落在D中,{ft}|t|＜ε是f的光滑單參數(shù)變分滿足

其中：βH=πH?β,稱τpH(f)為f的CC-p張力場。

證明對于給定的單參數(shù)變分{ft}(|t|＜ε),令的一組局部正交標架。由引理1,計算可得：

2.2 CC-p調(diào)和映照的概念

定義1設(shè)f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是從黎曼流形到擬Hermitian流形的光滑映照。若對M中任意的具有光滑邊界的有界區(qū)域D,f是p-水平能量關(guān)于任意的水平變分向量場V的臨界點(V的支集落在D中),則稱f是CC-p調(diào)和映照。

3 p-水平應(yīng)力能量張量

Baird-Eells引入了關(guān)于黎曼流形間映照能量泛函的應(yīng)力能量張量場,并且證明了如果映照是調(diào)和的,那么它一定滿足守恒律。下面考慮關(guān)于p-水平能量泛函的p-水平應(yīng)力能量張量場,并且可以證明在某些特殊條件下,CC-p調(diào)和映照也滿足守恒律。

定義2設(shè)f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是從黎曼流形到擬Hermitian流形的光滑映照。f的p-水平應(yīng)力能量張量是M上的對稱2-張量：

其中,(f*gθ)H(·,·)=〈πHdf(·),πHdf(·)〉。

對于任意給定的2-張量W∈Γ(T*M?T*M),可按如下方式計算W的散度：

證明根據(jù)散度的定義可知

利用引理1,分別計算式(2)等號右邊第1、第2項可得：將上述兩式代入式(2),整理可得：證畢。定義3如果div=0,則稱f滿足守恒律。

與黎曼幾何中調(diào)和映照不同,只有在一些特殊條件下,CC-p調(diào)和映照才滿足守恒律。比如當目標流形是Sasakian的,可得如下推論。

推論1如果設(shè)f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是從黎曼流形到Sasakian流形的CC-p調(diào)和映照,則f滿足守恒律,即div=0。

4 單調(diào)不等式及Liouville型定理

假定(M,g)是一個帶有極點x0的完備黎曼流形,并且M是連通的。所謂極點是指該點處的指數(shù)映照是微分同胚。記r(x)為關(guān)于x0的距離函數(shù),首先利用積分公式推導(dǎo)出關(guān)于p-水平能量的單調(diào)不等式,再利用此單調(diào)不等式建立關(guān)于CC-p調(diào)和映照的Liouville型定理。

4.1 基本積分公式

設(shè)D為M上具有C1邊界的有界區(qū)域。記υ為沿著?D的單位外法向量場。對p-水平應(yīng)力能量張量應(yīng)用已知的基本積分公式[8],可得：Z

如果f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是從黎曼流形到Sasakian流形的CC-p調(diào)和映照,利用推論1以及積分公式(3)可推出：

4.2 p-水平能量的單調(diào)不等式及Liouville型定理

對任意給定的向量場X,Y,Z∈Γ(TM),記θX為X的對偶一形式,即θX(Y)=g(X,Y), θX的共變導(dǎo)數(shù)(?MθX)(Y,Z)=〈?MYX,Z〉。如果X=?Mψ是M上某光滑函數(shù)的梯度,那么θX=dψ并且?MθX=Hessg(ψ)。

下面將通過選取積分公式(4)中的特殊向量場,來建立關(guān)于p-水平能量的單調(diào)不等式。

定理3設(shè)f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是從帶極點x0的完備流形到Sasakian流形的CC-p調(diào)和映照,如果存在正常數(shù)Λ使得

則對任意的0＜ρ1≤ρ2,有

證明由于目標流形是Sasakian且f是CC-p調(diào)和的,在式(4)中取D=B(t),

通過定義以及簡單的計算可知：

由余面積公式以及定理中的式(5)可得：

由此可知。將上述不等式在區(qū)間[ρ1,ρ2]積分,從而有證畢。

引理2設(shè)f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是一個光滑映照。如果dfH=0,那么f(M)一定落在某根纖維中,這里的纖維是指N中沿Reeb方向T的積分曲線。

證明由于擬Hermitian流形(N,H(N),J,θ)上自然有一個1維的葉狀結(jié)構(gòu),故對于M中的任意一點x,都存在f(x)的一個鄰域V?N以及某個流形B使得π:V→B是一個淹沒。這里不妨將U選取的足夠小,滿足f(U)?V。考慮復(fù)合映照π?f:U→B,顯然可以看出d(π?f)=0當且僅當dfH=0。從而由引理條件可得d(π?f)=0,即π?f在U中是常值。因此,f(U)包含在某根纖維中。由于M連通,故f(M)一定落在某根纖維中。證畢。

定理4設(shè)f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是從帶極點x0的完備流形到Sasakian流形的CC-p調(diào)和映照,記r為從x0出發(fā)的距離函數(shù),如果存在正常數(shù)Λ使得

且則dfH=0,即f(M)落在N的一根纖維中。

5 結(jié)語

本文研究從黎曼流形出發(fā)到擬Hermitian流形的光滑映照。首先引入了相關(guān)的p-水平能量泛函,將在限制性變分條件下此類能量泛函的臨界點稱為CC-p調(diào)和映照。隨后引入p-水平應(yīng)力能量張量,并證明了任何從黎曼流形出發(fā)到Sasakian流形的CC-p調(diào)和映照都滿足守恒律。最后,利用基本的積分公式推導(dǎo)出關(guān)于p-水平能量的單調(diào)不等式,利用此類單調(diào)不等式建立了能量增長性條件下CC-p調(diào)和映照的Liouville型定理。

對于本文中單調(diào)不等式成立的條件,目前的研究工作正在嘗試用更加幾何化的曲率條件代替。此外,除了能量增長性條件,也正在考慮嘗試建立映照像有界或者滿足無窮遠漸進條件下的Liouville型定理。

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Liouville Type Theorem for CC-p Harmonic Maps

CHONG Tian
(School of Science,Shanghai Polytechnic University,Shanghai 201209,China)

The theory of pseudoharmonic and general pseudoharmonic maps plays an important role in studying pseudo-Hermitiangeometry.In spired by the previous work,p-horizontal energy and p-horizontal stress-energy tensor have been introduced.This stressenergy tensor becomes a useful tool to investigate theconservation law of CC-p harmonic maps and the basic integral formulae.Using the basic integral formulae,one can establish some monotonicity formulae for CC-p harmonic maps.Liouville type results follow immediately from these monotonicity formulae and the basic integral formulae under suitable growth conditions on the p-horizontal energy. These results become a useful tool to investigate the properties of pseudo-Hermitian geometry.

CC-p harmonic map;monotonicity formulae;Liouville type theorem

O186.1

A

1001-4543(2017)01-0043-06

10.19570/j.cnki.jsspu.2017.01.008

2016-09-18

種田(1988—),女,安徽馬鞍山人,講師,博士,主要研究方向為微分幾何學(xué)。E-mail：chongtian@sspu.edu.cn。

上海第二工業(yè)大學(xué)?；?EGD16XQD01),上海第二工業(yè)大學(xué)校重點培育學(xué)科(XXKPY1604)資助