作者簡介：王鵬飛（1964—），男，陜西商州人，正高級(jí)教師，陜西省教學(xué)能手，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育與研究工作.

[摘 要] 在對(duì)學(xué)生“錯(cuò)誤觀”調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，倡導(dǎo)關(guān)注“錯(cuò)誤”對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，采取積極有效的策略引導(dǎo)學(xué)生形成科學(xué)的“錯(cuò)誤觀”，這對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“錯(cuò)誤”問題進(jìn)行本源治理具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.

[關(guān)鍵詞] 錯(cuò)誤；錯(cuò)誤觀；教學(xué)對(duì)策

教學(xué)實(shí)踐業(yè)已表明，錯(cuò)誤率的高低是影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力高低的關(guān)鍵因素. 不出錯(cuò)誤或少出錯(cuò)誤一直是教師和學(xué)生的共同愿望，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中錯(cuò)誤的出現(xiàn)卻難以避免. 犯錯(cuò)誤并不可怕，重要的是如何客觀地認(rèn)識(shí)和對(duì)待錯(cuò)誤，這顯然是一個(gè)關(guān)乎“錯(cuò)誤觀”的重要問題.[1]

從學(xué)者方面來看，普遍存在不重視錯(cuò)誤的教益，眼高手低，一聽就懂，一看就會(huì)，一做就錯(cuò)，經(jīng)常性地“看錯(cuò)、想錯(cuò)、算錯(cuò)、寫錯(cuò)和抄錯(cuò)”. 部分學(xué)生屢錯(cuò)不改、屢改屢錯(cuò)的現(xiàn)象較為突出，怕錯(cuò)、怨錯(cuò)的不良心態(tài)也時(shí)常困擾著學(xué)生[1]. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，采取有效策略引導(dǎo)學(xué)生形成科學(xué)的“錯(cuò)誤觀”，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“錯(cuò)誤”問題進(jìn)行本源治理具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.

[?] 關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)理念，樹立科學(xué)的“錯(cuò)誤觀”

學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變是新課程改革的重要理念，是提高學(xué)習(xí)質(zhì)量的關(guān)鍵. 廣大教師不但要關(guān)注學(xué)生的全面發(fā)展，關(guān)注學(xué)生的長期發(fā)展，關(guān)注學(xué)生發(fā)展的需求，關(guān)注學(xué)生發(fā)展中的個(gè)人尊嚴(yán)，還應(yīng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)理念，關(guān)注學(xué)生發(fā)展中的富有個(gè)性的學(xué)習(xí)，特別應(yīng)關(guān)注“錯(cuò)誤”對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，逐步培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的“錯(cuò)誤觀”.

《學(xué)記》云：“教也者，長其善而救其失也.”這不只是對(duì)學(xué)生而言，也是對(duì)教師而言的. 因此，教師要廣泛宣傳數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中錯(cuò)誤的價(jià)值，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值觀. 要把握“長善救失，因材施教”的原則，把握以錯(cuò)施教的有利時(shí)機(jī)，充分挖掘以錯(cuò)啟智、以錯(cuò)啟德、以錯(cuò)啟美的功能，發(fā)揮錯(cuò)誤的教育價(jià)值[8]. 積極引導(dǎo)學(xué)生辯證地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤的兩面性、客觀存在性、不可避免性和可轉(zhuǎn)化性，使學(xué)生正確地對(duì)待錯(cuò)誤，并逐步認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，錯(cuò)誤為真理的孕育準(zhǔn)備了豐富的養(yǎng)料，錯(cuò)誤為真理的誕生提供了必要的刺激與激勵(lì). 錯(cuò)誤是真理發(fā)展的反推力，錯(cuò)誤是探索真理的指示器. 笛卡爾說：“任何改正都是進(jìn)步.”承認(rèn)和修正自己的錯(cuò)誤，那是站在真理方面與自己的錯(cuò)誤做斗爭，也是堅(jiān)持真理的一種表現(xiàn). 要做真理的主人，不要淪為錯(cuò)誤的奴隸. 鼓勵(lì)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，勇于承認(rèn)錯(cuò)誤，及時(shí)修正錯(cuò)誤，有效地利用錯(cuò)誤，積極預(yù)防錯(cuò)誤，樹立科學(xué)的“錯(cuò)誤觀”.[1]

同時(shí)，教師要倡導(dǎo)學(xué)生不但要重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的正確結(jié)果，而且要關(guān)注其錯(cuò)誤的教益；不但要發(fā)揮接受性學(xué)習(xí)的優(yōu)勢，而且要倡導(dǎo)更為主動(dòng)、積極的個(gè)性化學(xué)習(xí)方式. 積極引導(dǎo)學(xué)生要有不迷信、不盲從的質(zhì)疑精神，并有信心挑戰(zhàn)老師，“打倒”老師. 倡導(dǎo)學(xué)生做到“四敢”：敢想、敢說、敢問、敢笑；“四大”：大膽、大方、大聲、大度. 教師要堅(jiān)信成功的教學(xué)是學(xué)生自己學(xué)會(huì)的，不是教師教的.

[?] 實(shí)行開放創(chuàng)新教學(xué)，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力

新課程改革方案特別強(qiáng)調(diào)要實(shí)行開放創(chuàng)新教學(xué)，主要表現(xiàn)為教育在時(shí)間、空間、內(nèi)容、方法等方面的進(jìn)一步拓展：①在時(shí)間上表現(xiàn)為教學(xué)要從學(xué)生未來發(fā)展的需要出發(fā)，在傳授知識(shí)的同時(shí)，更要側(cè)重于學(xué)生科學(xué)思維方法的獲取和處理信息能力的培養(yǎng)，使學(xué)生在離開老師、離開學(xué)校以后仍具有獲取知識(shí)方法的技能. ②在空間上表現(xiàn)為教學(xué)應(yīng)與社會(huì)、生活、實(shí)踐、工農(nóng)實(shí)際廣泛結(jié)合，要從教材內(nèi)向教材外延拓、鏈接，接受有益的信息，拓寬知識(shí)視野，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力. ③在內(nèi)容上表現(xiàn)為通才教育，就是在教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)科之間的聯(lián)系和滲透，增強(qiáng)綜合性. ④在教學(xué)方法上要鼓勵(lì)學(xué)生不畏師、不惟師、不惟書、不盲從，要敢于大膽質(zhì)疑.[2]

1. 培育民主的教學(xué)氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生挑戰(zhàn)老師

作為教師，特別要關(guān)注的是如何適時(shí)恰當(dāng)?shù)亟槿雽W(xué)生的活動(dòng)，盡可能少地去打擾、干涉他們的思考和探索，并充分地為他們提供合作討論、發(fā)表意見的時(shí)間和機(jī)會(huì)，這是課堂教學(xué)中文化氛圍營造的一個(gè)重要標(biāo)志. 如果教學(xué)只能是一個(gè)計(jì)劃、一種模式按部就班地進(jìn)行，學(xué)生怎敢越雷池半步？

蘇霍姆林斯基告訴我們：“能夠把少年‘拴在你的思路上，引著他們通過一個(gè)個(gè)階梯走向知識(shí)，這是教育技巧的一個(gè)重要特征. ”在教學(xué)過程中，借助多種方式和手段創(chuàng)設(shè)師生互動(dòng)的情境，充分展現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，突出學(xué)生的主體地位，增強(qiáng)教學(xué)的民主性和開放性. 不要把學(xué)生當(dāng)作教學(xué)的奴隸，要“有意”讓學(xué)生給自己“找麻煩”“挑毛病”，向?qū)W生了解他們的喜好，不要顧忌“冷場”或擔(dān)心課堂局面可能無法控制. 面對(duì)“我不想聽”的挑戰(zhàn)，應(yīng)首先想到這反映了一個(gè)學(xué)習(xí)者的主體地位不能得到保證時(shí)的反判，拒絕被當(dāng)作一個(gè)客觀容器輸入. 孔子曰：“學(xué)起于思，思源于疑. ”在課堂教學(xué)中，教師要允許學(xué)生質(zhì)疑，不要把學(xué)生發(fā)現(xiàn)并指出自己教學(xué)中的問題看作是一件尷尬的事，甚至應(yīng)鼓勵(lì)他們敢于“異想天開”. 教師不僅不能求全責(zé)備，還應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生敢于突破陳規(guī)，擺脫原有知識(shí)范圍和思維定式的禁錮，把頭腦中已有的知識(shí)信息進(jìn)行重組，從而產(chǎn)生創(chuàng)造性的新發(fā)現(xiàn)、新設(shè)想，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力. 瑞士專家皮亞杰強(qiáng)調(diào)“教師的工作不是‘教給學(xué)生什么，而是努力構(gòu)建學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并用種種方法來刺激學(xué)生的欲望. 這樣，學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來說，就是一個(gè)‘主動(dòng)參與的過程了”. 要做到這一點(diǎn)，教師只有摒棄封閉的“填鴨式”教學(xué)，實(shí)行民主的開放式教學(xué)，正確處理好以教師為主導(dǎo)、以學(xué)生為主體這二者的關(guān)系，以各種形式調(diào)動(dòng)、激活學(xué)生的思維，才能為全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)創(chuàng)造出良好的條件.

懷特黑德曾說：“畏懼錯(cuò)誤就是毀滅進(jìn)步.” 處理錯(cuò)誤的能力是學(xué)習(xí)能力的內(nèi)容之一，正確地對(duì)待錯(cuò)誤是樹立創(chuàng)新意識(shí)和提高創(chuàng)新能力的保障. 隨著新課程的運(yùn)行，教師要調(diào)整自己的角色，改變傳統(tǒng)的教育方式. 教師要由傳統(tǒng)意義上的知識(shí)的傳授者和學(xué)生的管理者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生發(fā)展的促進(jìn)者和組織者；由簡單的教書匠轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)踐的研究者或研究的實(shí)踐者；由教學(xué)活動(dòng)的主角轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者、參與者和促進(jìn)者. 教師要努力做到“書”讓學(xué)生自己讀，“問”讓學(xué)生自己提，“果”讓學(xué)生自己摘，“情”讓學(xué)生自己抒，“話”讓學(xué)生自己說，“寫”讓學(xué)生自己評(píng)；要引領(lǐng)學(xué)生“實(shí)話實(shí)說”“焦點(diǎn)訪談”，在“誤”中“悟”，在“錯(cuò)”中“磋”，最大限度地讓學(xué)生在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增加，在“探究”中創(chuàng)新.

2. 進(jìn)行“嘗試錯(cuò)誤”教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的“免疫力”[3]

美國心理學(xué)家桑代克（E.L.Thorndike）的以“刺激反應(yīng)聯(lián)結(jié)”和“試誤”為主要特色的學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)乃一試誤過程. “嘗試錯(cuò)誤”教學(xué)法就是基于此思想而設(shè)計(jì)的. 它以提高錯(cuò)誤的教育價(jià)值為宗旨，堅(jiān)持“以錯(cuò)攻錯(cuò)、以錯(cuò)施教、以反顯正”的原則，其基本模式和操作程序如下：

“嘗試錯(cuò)誤”教學(xué)法的實(shí)質(zhì)是，通過暴露學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的錯(cuò)誤，即為學(xué)生提供以“錯(cuò)誤”為源泉的學(xué)習(xí)反應(yīng)后刺激，使學(xué)生在重新嘗試錯(cuò)誤中審視、體驗(yàn)、反思所給予的“刺激”，引起“知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)”的良性反應(yīng)，從而建立起科學(xué)穩(wěn)固的刺激反應(yīng)聯(lián)結(jié).不言而喻，“嘗試錯(cuò)誤”不是鼓勵(lì)和誘導(dǎo)學(xué)生重蹈覆轍，而是力圖增強(qiáng)學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的“免疫力”. 在操作上可分為局部嘗試和整體嘗試，應(yīng)通過講解、辯論、競答、討論等多種形式，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)地自我嘗試、自我剖析、自我修正、自我反思.

（1）局部嘗試法：就是提供給學(xué)生的嘗試素材較單一，但嘗試錯(cuò)誤分散、及時(shí). 教學(xué)時(shí)，可通過以下策略設(shè)置必要的教學(xué)情境，因錯(cuò)造勢，制造思維沖突，把錯(cuò)誤間接地暴露給學(xué)生，供學(xué)生嘗試.

①設(shè)置“陷阱”，“誘使”學(xué)生得出錯(cuò)誤；②重蹈學(xué)生的“歧路”，有意出現(xiàn)錯(cuò)誤；③適時(shí)引入錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立評(píng)析錯(cuò)誤；④一題多錯(cuò)，辨別、分析錯(cuò)誤；⑤創(chuàng)設(shè)愉悅情境，寓錯(cuò)于樂.

（2）整體嘗試法：就是提供給學(xué)生的嘗試素材較系統(tǒng)，或一個(gè)、幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的典型錯(cuò)誤，或一個(gè)單元、一個(gè)章節(jié)的典型錯(cuò)誤，面寬量大，綜合性強(qiáng)，嘗試時(shí)間集中.

①設(shè)計(jì)錯(cuò)誤剖析課，在剖析中嘗試錯(cuò)誤；②科學(xué)設(shè)計(jì)錯(cuò)誤辨析題，在習(xí)練中嘗試錯(cuò)誤；③加強(qiáng)診斷測試的總結(jié)，在講評(píng)中嘗試錯(cuò)誤.[4]

[?] 充分暴露錯(cuò)誤的思維過程，積極開展研究性學(xué)習(xí)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)論認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué). 數(shù)學(xué)教學(xué)中并存著三種邏輯過程，即教師的教學(xué)過程、知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生的思維過程. 暴露思維過程，就是如何描述思維過程及其產(chǎn)生的原因[12]. 鑒此，教師要充分關(guān)注錯(cuò)誤的思維過程，以“錯(cuò)誤”為素材，積極開展研究性學(xué)習(xí). 要遵循暴露思維過程的原則，充分暴露學(xué)生思維的薄弱環(huán)節(jié)，一方面有利于對(duì)癥下藥；另一方面能使學(xué)生痛切地、突破性地認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤之所在，有利于學(xué)生在自查自理、自診自治、自思自得中學(xué)會(huì)合理地調(diào)整思維方向，逐步不走或少走歧路. 通常有以下方法可供借鑒[5] ：

（1）點(diǎn)錯(cuò)反思法：直接把錯(cuò)誤暴露出來，告知學(xué)生思維過程有誤，要求學(xué)生在深刻省思中找出錯(cuò)誤之所在.

（2）設(shè)置“陷阱”法：學(xué)生在“落入”和“走出”誤區(qū)的過程中嘗到了“陷阱”的滋味，吃塹長智，防御能力倍增.

（3）重蹈“歧路”法：教師可選準(zhǔn)時(shí)機(jī)，有意按照學(xué)生的歧路適當(dāng)出錯(cuò)，看看學(xué)生能否發(fā)現(xiàn)，了解學(xué)生的警戒程度.

（4）感知對(duì)比法：把學(xué)生在解答過程中出現(xiàn)的兩種解法同時(shí)公布，進(jìn)行分析、比較，以辨正誤.

（5）集約辨析法：有些錯(cuò)誤比較頑固，糾正后還會(huì)再犯. 教學(xué)中，應(yīng)融合多種差錯(cuò)，集中暴露，組織學(xué)生積極參與辨析，挖掘致錯(cuò)根源，降低再錯(cuò)率.

（6）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法：如“實(shí)驗(yàn)幾何”“數(shù)學(xué)建模”“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”“數(shù)理綜合課”“數(shù)學(xué)活動(dòng)課”等，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和意識(shí). 一方面是由于人們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)發(fā)生了變化；另一方面，依托迅速發(fā)展的計(jì)算機(jī)技術(shù)手段，使得數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)變得更易實(shí)施，研究性學(xué)習(xí)也更加豐富多彩.

當(dāng)然，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”更多的是思維實(shí)驗(yàn)，這就要求打破常規(guī)，多增加問題的探索層次. 因此，我們的教學(xué)要盡可能地還原知識(shí)形成的本來面目，在提升問題探索價(jià)值方面多下功夫，這也是研究性學(xué)習(xí)的一個(gè)重要課題.[6]

此外，教師可有意識(shí)地“笨拙”一點(diǎn)，經(jīng)歷一番磨難之后再找到真經(jīng)，充分把自己在對(duì)某個(gè)問題的思考中走彎路以及將錯(cuò)誤的過程毫不掩飾地暴露出來，向?qū)W生展示和恢復(fù)“研究”的本來面目；或結(jié)合數(shù)學(xué)史，暴露數(shù)學(xué)家挫折、失敗的思維過程，讓學(xué)生了解探索的艱辛和反復(fù)，體驗(yàn)研究的氛圍和真諦；或讓學(xué)生把自己學(xué)習(xí)過程中的錯(cuò)誤整理結(jié)集在一起，保留錯(cuò)誤的思維過程，成為學(xué)生犯錯(cuò)誤思維過程真實(shí)記錄的有效載體. 這種長時(shí)間的“暴露”能有力地提高學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的警戒度.[5]

目前我們的課堂教學(xué)普遍存在著這樣三個(gè)問題：①學(xué)生的活動(dòng)完全由教師調(diào)控和支配，教師可以隨時(shí)打斷學(xué)生的思考和討論，這樣的活動(dòng)只是形式上的，是為知識(shí)的傳遞服務(wù)的，談不上民主，更體現(xiàn)不出主體意識(shí). ②課堂上的提問也是完全在教師的主導(dǎo)之下，以低層次的推理性、記憶性問答為主，目的是檢查學(xué)生是否接受了. 而“學(xué)問學(xué)問，貴在會(huì)問”，我們的學(xué)生會(huì)經(jīng)常向你提問嗎？③課堂的例題講解或習(xí)題安排是以“小步、多練、勤反饋”為原則，也是在低層次上反反復(fù)復(fù)，學(xué)生所學(xué)到的除了模仿還有什么呢？缺乏個(gè)性和創(chuàng)意. 因此，在對(duì)錯(cuò)誤的探究中，一定要堅(jiān)持立足課堂，讓每一個(gè)學(xué)生都成為“錯(cuò)誤”的研究者；體驗(yàn)“錯(cuò)誤”，讓每一個(gè)學(xué)生都成為實(shí)踐者；倡導(dǎo)合作，讓每一個(gè)學(xué)生都成為參與者；突破傳統(tǒng)，讓每一個(gè)學(xué)生都成為探索者. 學(xué)生在了解數(shù)學(xué)知識(shí)特別是錯(cuò)誤的思維產(chǎn)生的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程和創(chuàng)造的激情，提高發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)新精神.[7]

[?] 發(fā)揮錯(cuò)誤的教育功能，提高“錯(cuò)誤”的教育價(jià)值[8]

數(shù)學(xué)作為一種文化，在認(rèn)識(shí)上至少應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：數(shù)學(xué)是一種知識(shí)體系，數(shù)學(xué)是一種研究活動(dòng)，數(shù)學(xué)是具有人文功能的. 既然是一種知識(shí)體系，因此就有依托于科學(xué)知識(shí)之上的科學(xué)思想和信仰；既然是一種研究活動(dòng)，就有貫穿于科學(xué)研究活動(dòng)的科學(xué)精神和科學(xué)的審美能力；既然具有人文功能，因此就應(yīng)具有與之相關(guān)的科學(xué)倫理準(zhǔn)則. 從而將科學(xué)素質(zhì)教育與人文素質(zhì)教育很好地整合起來，使得數(shù)學(xué)教育也成為人文素質(zhì)的教育，并使其內(nèi)化為人的人格、氣質(zhì)、修養(yǎng)，成為人的相對(duì)穩(wěn)定的、也是終身的內(nèi)在的品質(zhì). 數(shù)學(xué)教育的價(jià)值體現(xiàn)在通過數(shù)學(xué)的思想和精神提升人的精神生活，培養(yǎng)既有健全的人格，又有創(chuàng)造、懂得生活的人，把傳遞人類文化的價(jià)值觀念和倫理道德規(guī)范與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來，以實(shí)現(xiàn)人文教育和數(shù)學(xué)教育的整合，這正是素質(zhì)教育的價(jià)值取向，也是數(shù)學(xué)教育發(fā)展的必然.

數(shù)學(xué)作為探索真理的事業(yè)，還造成一種文化的獨(dú)特的人格氣質(zhì). 在數(shù)學(xué)的探索過程中，數(shù)學(xué)家尊重事實(shí)、實(shí)事求是的求實(shí)的精神，勇于堅(jiān)持真理、敢于懷疑、自我否定的批判精神，勇于創(chuàng)新，為真理而獻(xiàn)身的精神蘊(yùn)含極其豐富的人文教育價(jià)值.[9]

1. 以錯(cuò)啟智，發(fā)揮錯(cuò)誤的智育價(jià)值

以錯(cuò)啟智，是錯(cuò)誤教育功能的核心. 對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的多種多樣的差錯(cuò)，教師應(yīng)有足夠的教學(xué)對(duì)策，力求避免和消滅它，幫助學(xué)生在知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)中構(gòu)筑起自己的知識(shí)體系.

（1）針對(duì)錯(cuò)誤設(shè)置思維情境，有利于提高學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的“免疫力”. ①以錯(cuò)誤設(shè)置懸念，激發(fā)興趣；②以錯(cuò)誤設(shè)置問題，適時(shí)質(zhì)疑；③以錯(cuò)誤設(shè)置矛盾，正誤比較；④以錯(cuò)誤設(shè)置驚詫情境，促其反思；⑤以錯(cuò)誤設(shè)置陷阱，嘗試錯(cuò)誤.[10]

（2）以錯(cuò)誤構(gòu)造錯(cuò)誤剖析課，有利于強(qiáng)化正效應(yīng)、遏制負(fù)效應(yīng).

（3）以錯(cuò)誤設(shè)計(jì)辨析題，有利于進(jìn)行改錯(cuò)的強(qiáng)化訓(xùn)練.[4]

2. 以錯(cuò)啟德，發(fā)揮錯(cuò)誤的德育價(jià)值

以錯(cuò)啟德，主要是借助錯(cuò)誤這一思想教育的極好素材，對(duì)學(xué)生進(jìn)行“錯(cuò)誤觀”的形成教育、解題的心理素質(zhì)教育，良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成教育，挫折教育等.

（1）利用錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的“錯(cuò)誤觀”，這是錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化整個(gè)過程的首要任務(wù). 通過錯(cuò)誤的有效利用，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)，使學(xué)生辯證地認(rèn)識(shí)“錯(cuò)誤”：錯(cuò)誤有使人倒霉的一面，也有使人取得教訓(xùn)的一面；錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)與正確認(rèn)識(shí)是數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中的一對(duì)矛盾，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化；對(duì)錯(cuò)誤既要積極預(yù)防，力求做到“未雨綢繆”，又要敢于暴露錯(cuò)誤、承認(rèn)錯(cuò)誤、及時(shí)改正，做好“亡羊補(bǔ)牢”的工作；既要?jiǎng)?chuàng)造條件避免和排除錯(cuò)誤，又要化錯(cuò)為利，提高對(duì)錯(cuò)誤的“免疫力”.

（2）利用錯(cuò)誤，提高學(xué)生的心理素質(zhì). 對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出的惰性思維和低級(jí)的心理素質(zhì)，要加強(qiáng)積極的歸因訓(xùn)練，教育學(xué)生不能怨錯(cuò)、怕錯(cuò)，不然就會(huì)削弱知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)的意志和探索真理的本能；要不斷地提高學(xué)生的心理素質(zhì)，使學(xué)生熱忱向錯(cuò)誤挑戰(zhàn)，并有能力獨(dú)自走出誤區(qū).

（3）利用錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生的責(zé)任感、憂患意識(shí)和愛國主義精神；利用錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、周密和一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生勇于克服困難和善于克服困難，正直、誠實(shí)、不輕率盲從的道德品質(zhì)；利用錯(cuò)誤的社會(huì)學(xué)意義，對(duì)學(xué)生進(jìn)行挫折教育.

3. 以錯(cuò)啟美，發(fā)揮錯(cuò)誤的美育價(jià)值

以錯(cuò)啟美，就是根據(jù)審美教育的特征充分挖掘?qū)徝酪蛩?，使學(xué)生在對(duì)審美客體——錯(cuò)誤的感知、理解、欣賞、評(píng)價(jià)（知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)）中產(chǎn)生美感，在以錯(cuò)誤設(shè)置的審美情境中產(chǎn)生一種愉悅的、傾向性的體驗(yàn)，自發(fā)產(chǎn)生求知渴望，輕松愉快地從感性向理性過渡，達(dá)到審美教育的目的. 在解題教學(xué)中，開展解題藝術(shù)的鑒賞活動(dòng)激發(fā)數(shù)學(xué)美感. 以錯(cuò)誤創(chuàng)設(shè)審美情境，激發(fā)數(shù)學(xué)美感：以錯(cuò)質(zhì)疑，激發(fā)數(shù)學(xué)美感；立疑設(shè)障，激發(fā)強(qiáng)烈美感；適時(shí)點(diǎn)撥，激發(fā)較強(qiáng)美感. 利用悖題，追求數(shù)學(xué)解題奇異美.

[?] 加強(qiáng)錯(cuò)誤的評(píng)價(jià)、診斷與治療，對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行綜合治理

1. 做好錯(cuò)誤的科學(xué)診斷

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生在整體或局部上掌握不夠扎實(shí)的知識(shí)或技能——“缺陷”，涉及知識(shí)、技能和各個(gè)方面，一般歸因于遺忘，理解偏差，知識(shí)的復(fù)雜性、靈活性、隱蔽性，定式思維引起的負(fù)遷移等，致使學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出不易提取、難以分辨等弱點(diǎn). 因此，必須集中“缺陷”及時(shí)診斷，制定相應(yīng)“補(bǔ)償”教學(xué)，實(shí)施矯正訓(xùn)練. 教學(xué)實(shí)踐表明，利用精心編制的診斷測試題反饋學(xué)生錯(cuò)誤信息，診斷教與學(xué)效果，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，可以強(qiáng)化正確、修正錯(cuò)誤、找出差距，確定主攻方向，自我完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，最大限度地減少失誤. 診斷性測試題的編制主要依據(jù)教師平時(shí)積累的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、作業(yè)與試卷批改記錄和學(xué)生交談情況的“錯(cuò)誤”信息匯總.[2]

（1）編制診斷測試題的原則.

診斷性測試題是以檢查學(xué)生存在的問題為目的、檢查過程著眼未來的檢測. 診斷要準(zhǔn)確可靠，有利于學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)，編制診斷測試題必須堅(jiān)持三條原則：

①針對(duì)性. 教師必須充分了解學(xué)生，針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中容易出錯(cuò)的問題設(shè)計(jì)題目，命題者必須能診斷出學(xué)生解決問題的缺陷，使得對(duì)學(xué)生任何一種錯(cuò)誤的出現(xiàn)教師都能做出正確的分析.

②典型性. 問題的內(nèi)容要有典型性，要巧設(shè)陷阱，不露破綻，切中要害.

③迷惑性. 診斷題要有一定的迷惑性，把錯(cuò)因相似的問題置于同一命題的情境中.

（2）診斷的三個(gè)層次

要根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中不同的錯(cuò)誤類型，把握診斷的層次性.

①知識(shí)診斷. 學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常見的錯(cuò)誤主要是對(duì)知識(shí)掌握得不牢固、不全面、不透徹，有的僅從字面上理解概念、公式與定理，遇到具體問題便感到束手無策；有的理解概念不全面，當(dāng)考查熟悉的方面時(shí)得心應(yīng)手，考查不熟悉的方面時(shí)則無從下手，只能盲目作答，靠僥幸取勝；有的對(duì)數(shù)學(xué)、公式、定理僅停留在教材中介紹的幾個(gè)實(shí)例上，淺嘗輒止，未能抓住本質(zhì)做提煉升華，應(yīng)用已學(xué)過的知識(shí)解決變式問題時(shí)便困難重重；有的注意了知識(shí)的共性，卻忽視了知識(shí)的特殊性，甚至丟開了知識(shí)的適用范圍和條件，時(shí)常誤入教師設(shè)計(jì)的陷阱中. 中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)方面存在的問題集中表現(xiàn)在以下諸方面：概念含糊，是非混淆；基礎(chǔ)不牢，聯(lián)系不上；挖掘不深，知識(shí)貧乏；理解不透，顧此失彼；綜合能力弱，適應(yīng)能力差；盲用規(guī)律，胡亂遷移；知識(shí)零亂，缺乏歸納等. 所以診斷試題必須有利于知識(shí)的鞏固和開拓，有利于學(xué)生的自我調(diào)節(jié)和完善自身的知識(shí)結(jié)構(gòu).

②思維診斷. 正確的思維方法是駕馭知識(shí)的法寶. 就思維而言，學(xué)生在解決問題時(shí)常出現(xiàn)的問題有：考慮不周，掛一漏十；考慮不深，誤入歧途；思維紊亂，表達(dá)疏漏；判斷不準(zhǔn)，推理不嚴(yán)；雙基薄弱，不會(huì)分析；思維不活，缺乏機(jī)智；思辨不清，誤入圈套；撇開條件，游離題外；忽視學(xué)科特點(diǎn)，思維障礙重重；辯證觀不強(qiáng)，方法機(jī)械片面等. 所以診斷試題還必須有利于思維能力的培養(yǎng)，并使錯(cuò)誤的思維方法得以糾正.

③心理診斷.任何錯(cuò)誤都是有原因的，學(xué)生學(xué)習(xí)過程除知識(shí)性、策略性失誤外，還有心理性失誤. 比如有的看題不深入，審題不清楚，被表面現(xiàn)象所迷惑，表現(xiàn)出粗心大意、盲目沖動(dòng)，一看就偏，抓不住要害；有的受舊知識(shí)、老方法的影響，產(chǎn)生負(fù)遷移；有的易被題中的氣氛效應(yīng)所左右；有的心理定式嚴(yán)重；有的過分自信；有的焦慮太重，期望過高，心理壓力過大，表現(xiàn)出怯場心理. 凡此種種，都是心理不健全的表現(xiàn). 因此，診斷題還必須有利于根治學(xué)生中的不良心理狀況，在訓(xùn)練中不斷加以“醫(yī)治”.

2. 重視對(duì)錯(cuò)誤的科學(xué)評(píng)價(jià)

對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程所犯錯(cuò)誤不能簡單地以“對(duì)”或“錯(cuò)”論之，而應(yīng)既重視錯(cuò)誤的最后結(jié)果，又不忽視犯錯(cuò)誤的過程；既重視對(duì)錯(cuò)誤評(píng)價(jià)的數(shù)量描述，又不忽視對(duì)錯(cuò)誤過程的品質(zhì)刻畫；既重視對(duì)錯(cuò)誤的靜態(tài)管理，又不忽視對(duì)錯(cuò)誤的動(dòng)態(tài)調(diào)控. 這就要求教師在對(duì)錯(cuò)誤的評(píng)價(jià)過程中，堅(jiān)持評(píng)價(jià)錯(cuò)誤的兩個(gè)指標(biāo)“品質(zhì)標(biāo)志——錯(cuò)誤觀”與“數(shù)量標(biāo)志——錯(cuò)誤率和再錯(cuò)率”并重，“動(dòng)態(tài)”與“靜態(tài)”評(píng)價(jià)相結(jié)合，建立科學(xué)的評(píng)價(jià)體系.

品質(zhì)標(biāo)志——錯(cuò)誤觀，主要評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)和看法是否科學(xué)；數(shù)量標(biāo)志——錯(cuò)誤率和再錯(cuò)率，錯(cuò)誤率主要評(píng)價(jià)在某個(gè)知識(shí)塊（點(diǎn)）上出錯(cuò)的多少及錯(cuò)誤的程度，再錯(cuò)率主要評(píng)價(jià)在已錯(cuò)點(diǎn)上再次犯錯(cuò)的多少. 在具體操作上，可建立學(xué)生個(gè)體的錯(cuò)誤量化曲線圖，某個(gè)群體、某個(gè)知識(shí)塊（點(diǎn)）隨時(shí)間變化的錯(cuò)誤數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)分布管理圖，直觀反映學(xué)生某個(gè)時(shí)期在某個(gè)知識(shí)塊（點(diǎn)）上的錯(cuò)誤的變化，有利于師生雙方對(duì)錯(cuò)誤的有效監(jiān)管.

此外，教師要以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的錯(cuò)誤觀、構(gòu)建穩(wěn)固的知識(shí)體系，減少錯(cuò)誤率，提高“免疫力”為目標(biāo)，在以下方面加以改革.

①改變傳統(tǒng)提問方式，以“誰不能回答這個(gè)問題”“誰做錯(cuò)了，請舉手”等反常規(guī)提問方式勇敢地暴露錯(cuò)誤，引起學(xué)生重視錯(cuò)誤，并喚起學(xué)生正視錯(cuò)誤的勇氣和信心；對(duì)回答錯(cuò)誤或不完整的學(xué)生要熱情地鼓勵(lì)其“敢于回答問題的勇氣可嘉，再想想”或“讓我們一起聽聽其他同學(xué)的意見，好嗎？”使學(xué)生感到犯錯(cuò)誤不會(huì)被指責(zé)、唾棄，而是老師給予的尊重和重視，這種評(píng)價(jià)能極大地激發(fā)學(xué)生知錯(cuò)、改錯(cuò)的自覺性.[3]

②改革作業(yè)評(píng)價(jià)語言，給學(xué)生成功的空間. 傳統(tǒng)的作業(yè)批改正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”，不能激發(fā)學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的警覺，不利于培養(yǎng)學(xué)生自我檢查、自我評(píng)價(jià)的能力；不能具體地指出錯(cuò)誤出現(xiàn)的地方和原因，不利于學(xué)生準(zhǔn)確迅速地找到錯(cuò)誤并改正. 可以自行界定一些符號(hào)語言（如“√”表示正確，“--”表示答案不具體、不完整、不確切；“～～”表示走了彎路；像眼睛一樣的符號(hào)“☉”表示不仔細(xì)；“？”表示有問題，等等）. 對(duì)以上符號(hào)不能表達(dá)的內(nèi)容可寫上具體有指導(dǎo)性、鼓勵(lì)性的批語. 這種評(píng)價(jià)有利于強(qiáng)化學(xué)生認(rèn)真細(xì)心、一絲不茍的觀念，為他們提供再次成功的機(jī)會(huì).[11]

另外，對(duì)同一個(gè)問題的解答如果兩名學(xué)生都是錯(cuò)誤的，要具體說明在關(guān)鍵步驟的第幾步出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確步驟占本題整個(gè)步驟的比重，從而描述其錯(cuò)誤的不同程度，有利于從量上刻畫同一錯(cuò)誤的錯(cuò)誤程度的差異.

③評(píng)價(jià)方式上，應(yīng)采取學(xué)生自評(píng)、學(xué)生互評(píng)、師生合評(píng)、教師點(diǎn)評(píng)等多種形式，使對(duì)錯(cuò)誤的評(píng)價(jià)多元化、多樣化.

④評(píng)價(jià)時(shí)機(jī)上，堅(jiān)持即時(shí)評(píng)價(jià)與延時(shí)評(píng)價(jià)相結(jié)合，短期評(píng)價(jià)與長期評(píng)價(jià)相結(jié)合. 如建立錯(cuò)誤集錦本保留錯(cuò)誤，作為長期評(píng)價(jià)的素材等.

⑤評(píng)價(jià)原則上，突出錯(cuò)誤評(píng)價(jià)的主體性（以學(xué)生評(píng)價(jià)為主）、差異性（不同學(xué)生、不同類型錯(cuò)誤區(qū)別對(duì)待）.

3. 提供有效的防錯(cuò)策略

對(duì)錯(cuò)誤，一要積極預(yù)防，教學(xué)中，教師要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)做好預(yù)測差錯(cuò)的工作，并采取得力措施加強(qiáng)易錯(cuò)、易混知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，努力做到未雨綢繆，防患于未然；二要善于利用，知錯(cuò)、改錯(cuò)實(shí)質(zhì)是預(yù)防學(xué)生再錯(cuò)、有效利用錯(cuò)誤的重要手段，通過剖析、修正錯(cuò)誤，研究差錯(cuò)發(fā)生的特點(diǎn)與規(guī)律，掌握預(yù)防策略，這是化錯(cuò)為利的根本宗旨.[12]

一般地，排除錯(cuò)誤不能就錯(cuò)改錯(cuò)，不計(jì)其余，而在于透過錯(cuò)誤的表象，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的實(shí)質(zhì)和導(dǎo)因. 要從實(shí)質(zhì)上糾正錯(cuò)誤，從導(dǎo)因上消除隱患，而錯(cuò)誤的具體表現(xiàn)則應(yīng)盡可能地讓學(xué)生自己來糾正. 同時(shí)，要通過對(duì)錯(cuò)誤的剖析和糾正，力求轉(zhuǎn)化“失誤者”的心態(tài)，逐步消除學(xué)生不良的思維習(xí)慣，加強(qiáng)積極的歸因訓(xùn)練，提高知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)的心理素質(zhì)，使學(xué)生獲得成功的勇氣和信心，熱忱向錯(cuò)誤挑戰(zhàn)，并有能力獨(dú)自走出誤區(qū). 教師應(yīng)使學(xué)生切記：知之愈深，正之愈易. 要把知錯(cuò)的希望留給學(xué)生，使他們在自知中明，知錯(cuò)中改，改錯(cuò)中防.[12]

（1）加強(qiáng)檢驗(yàn)環(huán)節(jié)，提高解題的正確率[13]

著名數(shù)學(xué)教育家·波利亞在他的“四步解題法”的“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”兩步中都強(qiáng)調(diào)要“檢驗(yàn)每一步驟”，并指出：“如果學(xué)生在實(shí)行其計(jì)劃的過程中檢驗(yàn)每一步驟就可以避免許多錯(cuò)誤. 如果學(xué)生不去重新檢查或重新考慮已完成的解答，則可能失去某些最好的效果.”教學(xué)中，“教師必須堅(jiān)持讓學(xué)生檢查每一步驟”，要引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)范圍、題目特點(diǎn)、時(shí)間許可度，有目的地選擇和尋找更切合實(shí)際的檢驗(yàn)方法，讓“學(xué)生應(yīng)當(dāng)真正地相信每一步驟的正確性”. 檢驗(yàn)的常用方法有：代入法；另解法；賦值法；圖示法；邏輯分析法；反例法；估值法；比較法；常識(shí)法；量綱法；綜合法.

（2）講究改錯(cuò)策略，提高修正錯(cuò)誤的能力[14]

改錯(cuò)要遵循適時(shí)性原則、分類性原則、差異性原則、自主性原則，講究改錯(cuò)策略，并從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，積極預(yù)防.

①對(duì)錯(cuò)誤預(yù)設(shè)所造成的永久性失敗，可考慮以下策略：為了提高學(xué)生對(duì)事物深刻的洞察力和總體把握感，加深對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的理解，積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行病題診治. 對(duì)數(shù)學(xué)問題中存在的一系列或明或暗的異常征兆，要善于捕捉、收集和綜合分析，找出病題的癥結(jié)，修正題目預(yù)設(shè)，進(jìn)行新的探索，以取得新預(yù)設(shè)下的成功. 在多方診治病題中，要堅(jiān)持保留原題風(fēng)貌的原則，采取簡單易行的方法，重新構(gòu)建問題內(nèi)部各因素之間的“正相關(guān)”，解決其內(nèi)部矛盾，求得妙手回春之效.

②對(duì)正確預(yù)設(shè)下的暫時(shí)性失敗，可考慮以下策略：因解題思路錯(cuò)誤造成的暫失敗，可“另辟蹊徑”，即放棄原來的思路，選擇新的思路，沿著新的思路進(jìn)行新的探索，以取得新思路下的成功. 正確思路下出現(xiàn)的暫失敗，可“掃清障礙，繼續(xù)前進(jìn)”，即從解題細(xì)節(jié)上一步步地查找和排除錯(cuò)誤，不斷完善解題過程，直到最后取得成功.

（3）加強(qiáng)歸因訓(xùn)練，提高心理適應(yīng)的能力[3]

學(xué)生的年齡特征、性別和數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的差異，常造成錯(cuò)誤歸因上的差異：積極歸因型或消極歸因型. 歸因類型會(huì)直接影響學(xué)業(yè)成績. 心理研究表明，失敗更能使女性產(chǎn)生羞愧. 在學(xué)校中，羞愧能引起學(xué)生的畏縮，當(dāng)他們犯錯(cuò)誤時(shí)，女生比男生更傾向于責(zé)備自己. 可見，男、女生對(duì)錯(cuò)誤的感受性存在明顯差異，這就要求教師在學(xué)生錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化過程中，對(duì)男生與女生，好、中、差不同層次的學(xué)生所犯錯(cuò)誤要因人而異，全面照顧，為學(xué)生提供參與、討論、展現(xiàn)思維過程的空間和機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽暴露錯(cuò)誤的思維過程，通過學(xué)生的心理調(diào)適，加強(qiáng)積極的歸因訓(xùn)練，提高錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化能力和創(chuàng)新能力.

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