許文

摘要：本文總結(jié)了力學(xué)等時(shí)圓結(jié)論的幾種證明方法，探討其結(jié)論成立的條件，并從等時(shí)圓結(jié)論的一種證明方法中發(fā)現(xiàn)軌道不光滑時(shí)存在“另一等時(shí)圓”.

關(guān)鍵詞：等時(shí)圓；結(jié)論；條件

1力學(xué)等時(shí)圓

表述1：如圖1所示，從豎直圓環(huán)的最高點(diǎn)A向圓環(huán)內(nèi)作多條不同的光滑的弦軌道，一小物體從A點(diǎn)自靜止開(kāi)始分別沿這些軌道自由下滑到軌道另一端的圓環(huán)上所用時(shí)間相等.

表述2：如圖2所示，B點(diǎn)為豎直平面內(nèi)圓環(huán)的最低點(diǎn)，在圓環(huán)上向最低點(diǎn)B作多條不同的光滑弦軌道，一個(gè)小物體分別從這些軌道的上端點(diǎn)圓環(huán)上靜止開(kāi)始自由下滑到軌道的最低點(diǎn)B所用時(shí)間相等.

圖1或圖2中的圓叫等時(shí)圓，以上兩點(diǎn)表述是關(guān)于等時(shí)圓的經(jīng)典結(jié)論，這一結(jié)論可以遷移并應(yīng)用到許多實(shí)際問(wèn)題中，為問(wèn)題的分析解決帶來(lái)了便捷.

2幾點(diǎn)思考

21結(jié)論的證明方法

211對(duì)表述1

證法1：如圖3所示，設(shè)圓的半徑為R，某一條弦軌道的水平傾角為α ，則該軌道的長(zhǎng)度 s =2Rsinα，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律知小物體在該弦軌道上無(wú)摩擦地下滑時(shí)加速度大小為a=gsinα ，下滑的時(shí)間為t ，由s=12at2，得t=2Rg（與α無(wú)關(guān)），即小物體從A點(diǎn)自靜止開(kāi)始分別沿這些軌道自由下滑到軌道另一端的圓環(huán)上所用時(shí)間相等.

證法2：建立如圖3所示的坐標(biāo)系，設(shè)對(duì)任一水平傾角為α的弦軌道，加速度a=gsinα ，運(yùn)動(dòng)t 時(shí)刻小物體位置坐標(biāo)為

x=12at2cosα，

y=-12at2sinα，消去可得：

x2+（y+gt24）2=（gt24）2，這是一個(gè)圓的方程.可見(jiàn)無(wú)論軌道的水平傾角α為何值，小物體從靜止開(kāi)始沿不同的光滑直軌道下滑，運(yùn)動(dòng)相同的時(shí)間t，小物體在同一圓周上.

證法3：建立如圖4所示的極坐標(biāo)系.設(shè)小物體從某點(diǎn)（r，α）沿傾角α的光滑直軌道下滑到O點(diǎn)的時(shí)間為t，則有

a=gsinα， r=12at2，

可得r=12gt2sinα=ksinα，這是一個(gè)圓的方程，其中k=12gt2，即小物體從靜止開(kāi)始沿光滑的直軌道下滑到O點(diǎn)的時(shí)間t相同時(shí)，所有直軌道的起始點(diǎn)在同一個(gè)圓周上.

證法1是求出物體沿任一弦軌道下滑的時(shí)間t，發(fā)現(xiàn)結(jié)果t與軌道的特性（水平傾角α）無(wú)關(guān)，由此推知物體沿上端在圓的最高點(diǎn)的所有弦軌道下滑時(shí)間相等，這是容易想到的最基本的證法；證法2選取直角坐標(biāo)系，求出物體沿任一直軌道下滑時(shí)間t的位置坐標(biāo)（x，y），通過(guò)解析幾何知識(shí)發(fā)現(xiàn)小物體沿不同的光滑直軌道下滑，運(yùn)動(dòng)相同的時(shí)間t，小物體的位置分布在同一圓周上.這種證法巧妙地將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，給人一種清新的感覺(jué)，是一種最為實(shí)用的證法；證法3思路同證法2，但選取的是極坐標(biāo)系，過(guò)程較證法2簡(jiǎn)潔，給人一種高屋建瓴之感，是一種最具內(nèi)涵的證法.

212對(duì)表述2

證明：如圖5所示，過(guò)圓的最高點(diǎn)A分別作弦軌道CB、DB的平行軌道AC′、A D′.由于AC′與CB平行且等長(zhǎng)，小物體從A點(diǎn)沿AC′滑到C′點(diǎn)時(shí)間與從C點(diǎn)沿CB滑到B點(diǎn)時(shí)間相等.同理可知小物體從D沿DB滑到B點(diǎn)與從A點(diǎn)沿A D′滑到D′點(diǎn)等時(shí)，由表述1知：小物體分別從任意兩軌道的最高點(diǎn)靜止開(kāi)始無(wú)摩擦地沿兩軌道下滑到最低點(diǎn)B所用的時(shí)間相等.

22初速度不一定為零

如圖6所示，同一豎直平面內(nèi)兩圓相切于B點(diǎn)（B點(diǎn)為下面圓的最高點(diǎn)），在兩圓內(nèi)過(guò)B點(diǎn)作許多條光滑的直軌道（每條軌道的兩個(gè)端點(diǎn)都分別在這兩個(gè)圓周上）.則一個(gè)小物體分別從每條軌道的上端靜止開(kāi)始下滑到軌道的下端所用時(shí)間相等.

證明：設(shè)上、下兩圓的半徑分別為 r 和R，過(guò)B點(diǎn)作任意一條軌道 1 ，設(shè)其兩端點(diǎn)分別為M、N .以r +R為半徑作一圓與原來(lái)兩圓分別切于最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)C（如圖6所示），過(guò)A點(diǎn)作原軌道1的平行線AD，連CD，據(jù)幾何知識(shí)我們不難證明 CD與下面圓的交點(diǎn)即為N點(diǎn)，且AD與MN平行且相等.故物體從M 點(diǎn)沿軌道1靜止開(kāi)始下滑到N點(diǎn)所需時(shí)間等于從A點(diǎn)沿AD 靜止開(kāi)始下滑到D點(diǎn)所需時(shí)間，且等于從A點(diǎn)作自由落體運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所需時(shí)間t=2R+rg；這與軌道1的水平傾角無(wú)關(guān)，即命題成立.

由等時(shí)圓的結(jié)論，我們可以看出，小物體分別沿圖6中最高點(diǎn)不在同一水平線上的軌道1和2的頂端靜止開(kāi)始滑到B點(diǎn)的時(shí)間是相等的，但物體滑到B點(diǎn)時(shí)速度的大小卻不相同 ，而物體沿這兩條軌道運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間卻是相等的，則物體分別沿這兩條軌道滑到B點(diǎn)以后在下面圓內(nèi)的另一段軌道上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)是相等的.由此可見(jiàn)，前面給出的關(guān)于等時(shí)圓的結(jié)論中，物體自軌道的最高點(diǎn)不一定要從靜止開(kāi)始下滑，結(jié)論才成立，可以有著不同的初速度下滑，結(jié)論也成立.

那么，下滑的初速度是否取任意值結(jié)論都成立呢？

如圖6所示，設(shè)光滑直軌道1的水平傾角為α，物體沿此軌道下滑的加速度為a=gsinα，且MB=2rsinα，則物體從軌道1的最高點(diǎn)M 靜止下滑到B點(diǎn)時(shí)速度大小為：v0=2a·MB=2sinαgr，又BN=2Rsinα ，設(shè)物體從B點(diǎn)滑到N點(diǎn)的時(shí)間為t′，則有：BN=v0t′+12at′2

，可得：2R=2grt′+12gt′2，可見(jiàn)t′與α角無(wú)關(guān).

由以上分析可知，只要物體沿水平傾角為α的軌道下滑的初速度的大小滿足v0 =ksinα （k≥0，是對(duì)所有軌道都相同的常數(shù)），則等時(shí)圓的結(jié)論就成立.

23軌道不光滑存在另一等時(shí)圓

建立如圖7所示的極坐標(biāo)系.設(shè)小物體與軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，小物體從某點(diǎn)B（r，α）沿傾角α（90°≥α>=arctanμ ）的直軌道下滑到O點(diǎn)的時(shí)間為t，則下滑的加速度大小為a=g（sinα – μcosα），由r=12at2得：t=12gt2（sinα-μcosα）=ksin（α-），這是一個(gè)圓的方程，這里k=121+μ2gt2，即小物體靜止開(kāi)始沿與動(dòng)摩擦因數(shù)相同的直軌道下滑到O點(diǎn)時(shí)間t相同時(shí)，所有直軌道的起始點(diǎn)位于同一個(gè)圓周的某一部分上（如圖8圓周的實(shí)線部分），該圓與傾角為φ 的斜面相切（物體在此斜面上恰好不能靜止下滑），值得注意的是O不是此圓的最低點(diǎn).

同理可得，如圖9所示，直軌道不光滑時(shí)，從圓上非最高點(diǎn)A沿不同直軌道靜止下滑到軌道另一端的圓上所用時(shí)間相同.

可見(jiàn)，直軌道不光滑也可構(gòu)成另一種“等時(shí)圓”.

練習(xí)：如圖10所示，有多條直軌道的下端交于O點(diǎn)，所有軌道的兩端點(diǎn)均在同一圓周上，一個(gè)小物體分別沿第一條直軌道的上端下滑到O點(diǎn)的時(shí)間相同，則

①小物體的初速度不一定為零，但沿所有軌道下滑的初速度大小相等

②小物體的初速度可能不為零，但沿所有軌道下滑的初速度大小不相等

③所有直軌道必須光滑

④所有直軌道不一定光滑，小物體與每條軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)必須相同

⑤O點(diǎn)一定是圓的最低點(diǎn)

⑥O點(diǎn)不一定是圓的最低點(diǎn)

關(guān)于以上說(shuō)法中正確的是（ ）

A.①③⑤ B.②④⑤

C.②④⑥ D.①④⑥

答案：C