摘要：知識(shí)理解和意義建構(gòu)是決定深度學(xué)習(xí)能否實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過同化或順應(yīng)，把新的知識(shí)納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或整合重組成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才算真正的理解、建構(gòu)。為此，教師需要指導(dǎo)學(xué)生在新舊知識(shí)之間建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生將新的知識(shí)歸納、分類到相關(guān)的概念系統(tǒng)，從而不斷完善舊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二章第1節(jié)《圓》（第二課時(shí)）時(shí)，注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，認(rèn)識(shí)概念構(gòu)成的系統(tǒng)，從而體現(xiàn)過程性原則和系統(tǒng)性要求。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)邏輯聯(lián)系認(rèn)知結(jié)構(gòu)圓

“概念不清”是很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最大障礙之一。究其原因，筆者認(rèn)為，是由于學(xué)生進(jìn)行的是基于簡(jiǎn)單記憶和重復(fù)訓(xùn)練的淺層學(xué)習(xí)，而不是基于知識(shí)理解和意義建構(gòu)的深度學(xué)習(xí)，因而缺乏靈活遷移知識(shí)、解決問題等能力。

早在20世紀(jì)50年代中期，美國學(xué)者馬頓（Marton）和塞里歐（Saljo）就開始了對(duì)深度學(xué)習(xí)的實(shí)驗(yàn)研究。經(jīng)過幾十年的理論與實(shí)踐研究，不少學(xué)者基本認(rèn)同以下的定義：深度學(xué)習(xí)是一種主動(dòng)的、探究式的、理解性的、建構(gòu)性的學(xué)習(xí)方式，要求學(xué)習(xí)者進(jìn)行深層次的信息加工（在感覺記憶、工作記憶、長時(shí)記憶中注意、編碼、存儲(chǔ)、提?。┖团行缘母唠A思維（運(yùn)用、分析、綜合、評(píng)價(jià)），實(shí)現(xiàn)知識(shí)理解和意義建構(gòu)，進(jìn)而進(jìn)行靈活的知識(shí)遷移和真實(shí)的問題解決。其中，知識(shí)理解和意義建構(gòu)是決定深度學(xué)習(xí)能否實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

根據(jù)相關(guān)理論，通過同化或順應(yīng)，把新的知識(shí)納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或整合重組成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才算真正的理解、建構(gòu)。布魯納（J.S.Bruner）尤其強(qiáng)調(diào)學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的重要性：學(xué)習(xí)一門學(xué)科的關(guān)鍵是理解、建構(gòu)那些核心的、基本的概念、原理、態(tài)度、方法，抓住它們之間的意義聯(lián)系，并將其他的知識(shí)點(diǎn)與這些基本結(jié)構(gòu)邏輯地聯(lián)系起來，形成一個(gè)有機(jī)整體。實(shí)際上，只有以此為基礎(chǔ)，學(xué)生的思維和探究能力才能得到長足的發(fā)展。

為此，教師需要對(duì)教材素材進(jìn)行合理改造（加工、重組），對(duì)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，指導(dǎo)學(xué)生在新舊知識(shí)之間建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生將新的知識(shí)歸納、分類到相關(guān)的概念系統(tǒng)，從而不斷完善舊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。下面，以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二章第1節(jié)《圓》（第二課時(shí)）的教學(xué)為例，進(jìn)行說明。

一、課前分析

《圓》這一節(jié)共安排兩課時(shí)：第1課時(shí)主要學(xué)習(xí)圓的描述定義、集合定義，掌握?qǐng)A的兩個(gè)基本要素，即圓心與半徑，探索點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；第2課時(shí)則進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓的相關(guān)要素，包括弧、弦、圓心角、同心圓、等圓、等弧等概念，為后面研究圓的有關(guān)性質(zhì)做好鋪墊。本節(jié)課概念較多，學(xué)生掌握起來有一些困難。本節(jié)課主要的難點(diǎn)有弧的概念、等弧的概念。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與意圖

師今天我們一起繼續(xù)研究圓的知識(shí)。上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的定義，現(xiàn)在我們來動(dòng)手畫一個(gè)圓。

（學(xué)生在本子上畫圓。）

師在畫圓的過程中揭示了圓的兩個(gè)基本要素，分別是什么？

生（齊）圓心和半徑。

[設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)就是要學(xué)生“動(dòng)”起來，“做”數(shù)學(xué)，通過具體操作，而不是以簡(jiǎn)單的“提問”“背誦”的方式，復(fù)習(xí)圓的概念，為后續(xù)研究相關(guān)概念做鋪墊。發(fā)展基本思想和積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的“雙翼”。而動(dòng)手“做”數(shù)學(xué)是積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要形式。]

師再畫一個(gè)圓，只改變一個(gè)要素，你發(fā)現(xiàn)和原來的圓有什么關(guān)系？

（學(xué)生在本子上畫第二個(gè)圓。）

師記住要求，只改變一個(gè)要素。

（請(qǐng)部分學(xué)生展示所畫的圓。）

師我們發(fā)現(xiàn)改變圓的一個(gè)要素畫出的兩個(gè)圓有兩種情況。第一種是——

生圓心不同、半徑相等的兩個(gè)圓。

師經(jīng)過運(yùn)動(dòng)，他們能——

生（齊）重合。

師定義：能夠互相重合的兩個(gè)圓叫作等圓。（稍停）還有一種情況是——

生圓心相同、半徑不等的兩個(gè)圓。

師我們把它們叫作同心圓。

[設(shè)計(jì)意圖：以圓的兩個(gè)基本要素為變量設(shè)計(jì)活動(dòng)，使學(xué)生領(lǐng)悟改變?nèi)魏我粋€(gè)要素都會(huì)使圖形改變，進(jìn)一步體會(huì)改變某些要素是研究圖形變換的一般方法。這與研究全等三角形的思路是相通的，既讓學(xué)生深入理解了圓的兩個(gè)基本要素，也順其自然地引出了“同心圓”“等圓”兩個(gè)新概念。本環(huán)節(jié)通過觀察、實(shí)驗(yàn)、比較，采取順應(yīng)的方法，對(duì)新概念進(jìn)行了建構(gòu)。]

師在線段上任取一點(diǎn)（除端點(diǎn)外）可以把線段分成兩部分，那么圓呢？

生不行。

師如果圓上有兩個(gè)點(diǎn)呢？

生可以。

（請(qǐng)一位同學(xué)上來演示，得到圖1。）

師這兩部分都叫作圓弧。定義：圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫作圓弧，簡(jiǎn)稱弧。（稍停）弧怎么表示呢？聯(lián)想線段的表示方法。

（引導(dǎo)學(xué)生在線段表示的基礎(chǔ)上引入弧的符號(hào)表示弧，并利用加不加內(nèi)部點(diǎn)的方法區(qū)分優(yōu)弧和劣弧。）

[設(shè)計(jì)意圖：類比線段的概念學(xué)習(xí)弧的概念。與線段類似，弧的決定要素是端點(diǎn)，所以弧也可以用端點(diǎn)表示。由于圓的特殊性，即“彎曲性”和“閉合性”，兩點(diǎn)之間有不同于線段的多條弧，這觸發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，促使學(xué)生對(duì)新接收的信息重新表征、編碼，在平衡與不平衡的交替中不斷建構(gòu)和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。]

師弧與圓有什么關(guān)系？回憶剛才學(xué)的弧的概念。

生（復(fù)述）圓上任意兩點(diǎn)之間的部分。

師所以弧與圓之間的關(guān)系是什么？

生兩個(gè)弧加起來就是一個(gè)圓。

師弧與圓的關(guān)系就是部分與整體的關(guān)系。類比等圓的概念，可以聯(lián)想到什么？

生等弧。

師整體能重合，那么部分顯然也能重合，所以我們得到等弧的定義是什么？

生能夠互相重合的弧。

師這就是等弧的定義。

[設(shè)計(jì)意圖：弧與等弧概念的理解是本節(jié)課學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。教材中，等弧概念的給出尤其突兀。定量分析，等弧由兩個(gè)要素決定：弧的彎曲程度與弧的長度。由于學(xué)生的認(rèn)知水平，顯然本節(jié)課不適合教授這些知識(shí)。那么，如何讓學(xué)生理解等弧的概念，特別是“重合”兩字？筆者想到，可以類比等圓的概念，讓等弧概念的給出更加自然。這樣還滲透了部分與整體的思想。]

師（出示圖2）已知點(diǎn)A、B在圓O上。如果沿著圓走，從點(diǎn)A出發(fā)，要到達(dá)點(diǎn)B，路徑是什么？

生（齊）弧AB。

師如果在平面上，從點(diǎn)A出發(fā)，要到達(dá)點(diǎn)B，怎么走路程最短？

生直接連接AB。

師就是作連接AB的線段。這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)有什么特征？

生在圓上。

師定義：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段稱為弦。大家想一想，弦實(shí)際上是什么？

生線段。

師這條線段的特征是它的兩個(gè)端點(diǎn)在圓上。它的表示方法和線段相似，表示為弦AB。其中，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。

[設(shè)計(jì)意圖：弦與弧是平面幾何領(lǐng)域里最基本的兩類圖形直線形和曲線形的“代表”。在圓里從弧的概念引出弦的概念，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們的不同，即本質(zhì)是平面內(nèi)兩點(diǎn)連接的路徑不同，同時(shí)感受到它們的統(tǒng)一，即是相互對(duì)應(yīng)的。]

師現(xiàn)在，有一塊圓形的比薩餅，有三個(gè)人一起分享，怎樣切比較合理？

（學(xué)生在本子上分圓。）

師大家基本上都完成了。（出示圖3）有的同學(xué)比較細(xì)致，把字母、角度都標(biāo)出來了。我們現(xiàn)在切出一塊，就是需要“切出”一個(gè)角。有同學(xué)算出這個(gè)角是120°。既然是角，那么它的頂點(diǎn)在哪里？

生（齊）圓心。

師定義：頂點(diǎn)在圓心的角，我們把它稱為圓心角。圖中，∠AOB就是圓心角。我們?nèi)粘Ｉ钪?，還能碰到類似的例子，從中找到圓心角嗎？

生傘……

[設(shè)計(jì)意圖：通過“切比薩”這個(gè)日常生活中常見的問題引出圓心角的概念，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活。學(xué)生在畫圓心角的過程中，能感受到其大小與“切塊”大小之間的關(guān)系，進(jìn)而能認(rèn)識(shí)到其大小對(duì)弧的彎曲程度的刻畫。]

在適當(dāng)?shù)撵柟叹毩?xí)之后，筆者出示圖4，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)。

[設(shè)計(jì)意圖：以概念關(guān)系圖的形式，通過“視覺化”的手段，幫助學(xué)生深度理解概念，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。]

三、課后反思

本節(jié)課（本節(jié)）主要研究圓的有關(guān)概念，接下來通過研究圓的組成要素（弧、弦、圓心角等）之間的關(guān)系來研究圓的有關(guān)性質(zhì)的。因此，本節(jié)課注重引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓的有關(guān)概念之間的邏輯聯(lián)系，以基本概念為核心形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)理解和意義建構(gòu)。

（一）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，體現(xiàn)過程性原則

美國著名數(shù)學(xué)教育家David.Tall說過：初等數(shù)學(xué)的概念大多是過程性概念，它實(shí)際上是三種物質(zhì)的合金，即數(shù)學(xué)對(duì)象、產(chǎn)生這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的過程、表示這個(gè)對(duì)象和過程的符號(hào)。他要求教師將過程與結(jié)果拉到同一個(gè)水平線上，即平衡地關(guān)注這兩者，讓學(xué)生在探究的過程中獲得體驗(yàn)，在發(fā)現(xiàn)的過程中有所感悟，從而認(rèn)識(shí)結(jié)果。作為結(jié)果，數(shù)學(xué)概念往往是抽象的、一般的和孤立的、零散的，這是學(xué)生理解、建構(gòu)的最大障礙。讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，是解決這個(gè)問題的好辦法。概念形成的方式，可以分為順應(yīng)和同化。前者主要是從豐富、典型、具體、直觀的例子出發(fā)，經(jīng)過一定的思考和實(shí)踐，歸納、概括出一類事物的共同本質(zhì)特征；后者主要是從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的概念出發(fā)，經(jīng)過一定的分析和聯(lián)想，演繹、類比出相關(guān)事物的個(gè)別關(guān)鍵特征。

本節(jié)課中，筆者力求展示概念形成的過程，促進(jìn)學(xué)生理解、建構(gòu)。例如，通過改變圓的兩個(gè)要素之一，引出等圓和同心圓的概念；通過類比線段的概念，學(xué)習(xí)弧、弦的概念；利用“切比薩”的生活問題，獲得圓心角的概念；等等。這同時(shí)促進(jìn)了學(xué)生的體驗(yàn)，提升了學(xué)生的認(rèn)識(shí)。

（二）引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)概念構(gòu)成的系統(tǒng)，體現(xiàn)系統(tǒng)性要求

系統(tǒng)思維是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系和作用中綜合地考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法。系統(tǒng)思維能夠極大地簡(jiǎn)化和強(qiáng)化人們對(duì)事物的認(rèn)知。數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和建構(gòu)數(shù)學(xué)概念需要運(yùn)用系統(tǒng)思維，對(duì)數(shù)學(xué)概念展開從宏觀到微觀的研究。

圓是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)曲線形，也是平面幾何中基本的曲線形之一。雖然由直線形到曲線形在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍，但是一樣可以借助研究直線形的一般套路研究圓，即利用系統(tǒng)思維研究圓。圓就是一個(gè)小系統(tǒng)，它的組成要素和相關(guān)要素有圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角等。圓與弧的關(guān)系對(duì)應(yīng)了系統(tǒng)與要素的關(guān)系，也體現(xiàn)了整體與部分的思想?；　⑾遗c圓心角的關(guān)系反映了系統(tǒng)內(nèi)要素與要素的關(guān)系，也具體體現(xiàn)出圓的對(duì)稱性（旋轉(zhuǎn)不變性）——圓的其他許多性質(zhì)也是通過與圓有關(guān)的線段（如直徑、弦、切線等）和角（如圓心角、圓周角等）體現(xiàn)出來的。所以，理解和建構(gòu)圓的相關(guān)概念對(duì)掌握《圓》這一章的內(nèi)容顯得尤為重要。先研究幾何對(duì)象的要素、相關(guān)要素，即概念，再研究要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系，即性質(zhì)，這是一種普遍適用的方法。

總之，讓學(xué)生經(jīng)歷研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過程，運(yùn)用系統(tǒng)思維發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，不斷完善舊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，是完成數(shù)學(xué)教學(xué)根本任務(wù)的重要途徑。

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“元認(rèn)知訓(xùn)練促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的行動(dòng)研究”（編號(hào)：C-a/2016/02/09）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 【美】布魯納.布魯納教育論著選[M].邵瑞珍，張渭城等譯.北京：人民教育出版社，1989.