摘要：對一次HPM視角下“三角形中位線定理”的教學(xué)進(jìn)行評析，初步嘗試建立HPM課例評價框架，為HPM教學(xué)實(shí)踐、課例開發(fā)以及分析提供借鑒。根據(jù)HPM視角下數(shù)學(xué)史選取的原則、應(yīng)用的方式以及教育的價值，結(jié)合HPM教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，一節(jié)“好的”HPM課需要具備四個方面的特點(diǎn)：史料的適切性、方式的多元性、融入的自然性、價值的深刻性。

關(guān)鍵詞：HPM課例評價三角形中位線定理

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用是HPM領(lǐng)域的重要課題之一。近年來，由高校研究者與中學(xué)教師合作開發(fā)的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的課例不斷增多。一方面，在教學(xué)實(shí)踐中產(chǎn)生了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的原則、方式和價值等理論成果，但是在一個HPM課例實(shí)施過后如何對其進(jìn)行評價，還缺少理論方面的指導(dǎo)。另一方面，有一些課例（如“橢圓的概念”“對數(shù)的概念”）取得了理想的效果，受到了學(xué)生的喜愛，但是也有一些課例由于史料選取不當(dāng)、應(yīng)用方式單一等因素而沒有發(fā)揮數(shù)學(xué)史應(yīng)有的教育價值。

為了更好地傳播HPM的教學(xué)理念，提升HPM視角下的教學(xué)質(zhì)量，我們需要一個HPM課例評價框架來促進(jìn)教學(xué)實(shí)踐的發(fā)展。同時，這樣的評價框架可以幫助教師在實(shí)踐的基礎(chǔ)上分析與反思HPM教學(xué)，促進(jìn)自身的專業(yè)發(fā)展。因此，本文對一次HPM視角下“三角形中位線定理”的教學(xué)進(jìn)行評析，初步嘗試建立HPM課例評價框架，為HPM教學(xué)實(shí)踐、課例開發(fā)以及分析提供借鑒。

一、課例簡述

（一）歷史素材及其分析

古巴比倫泥板記載著六兄弟分割三角形土地的問題：已知三角形的面積和高，用平行于底邊且間距相等的直線來分割三角形。顯然，古代兩河流域的人們已經(jīng)知道分割三角形的這些平行線段的長度是按照等差數(shù)列遞增的，且三角形中位線等于底邊的一半。同時，這也說明三角形的中位線起源于現(xiàn)實(shí)中的土地分割問題。

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中沒有直接討論中位線的性質(zhì)，而是給出了更一般的命題：“將三角形兩腰分割成成比例的線段，則分點(diǎn)連線段平行于底邊?！睔W幾里得將線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形面積關(guān)系，再推出直線位置關(guān)系。這種方法同樣適用于三角形中位線定理的證明：如圖1，在△ABC中，AD=DB，AE=EC。連接BE和DC，則有S△EAD=S△EDB，S△DAE=S△DEC。于是得S△EDB =S△DEC，故知DE∥BC。另一方面，因?yàn)镾△EBC =S△ABE= 2S△BDE，而△EBC和△BDE是等高的，所以BC=2DE。

公元3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中通過如圖2或圖3所示的割補(bǔ)法來推導(dǎo)三角形面積公式。從中可以看出，中國古代數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道中位線與底邊的位置關(guān)系和大小關(guān)系。劉徽的第一種方法是：取三角形兩腰的中點(diǎn)，過中點(diǎn)作底邊的垂線，將垂線外側(cè)的小三角形補(bǔ)到上方的相應(yīng)位置（圖2），得到一個矩形，該矩形的面積等于原三角形的面積，它的長等于原三角形的高，寬等于原三角形底邊的一半，故三角形的面積等于半底乘以高。劉徽的第二種方法是：連接兩腰中點(diǎn)（中位線），過頂點(diǎn)作中位線的垂線，將中位線上方的小三角形分割成兩個小直角三角形，將它們補(bǔ)到下方的相應(yīng)位置（圖3），得到一個矩形，該矩形的面積等于原三角形的面積，它的長等于原三角形的底邊，寬等于原三角形高的一半，故三角形的面積等于底乘以半高。事實(shí)上，在圖3中將中位線上方的兩個小直角三角形補(bǔ)到下方的相應(yīng)位置時，所得到的四邊形是矩形（因?yàn)橐唤M對邊平行且相等），所以三角形的中位線與底邊平行，且等于底邊的一半。

19世紀(jì)末20世紀(jì)初的幾何教科書大多數(shù)采用圖4所示的方法來證明三角形中位線定理：過點(diǎn)C作AB的平行線，交DE的延長線于點(diǎn)F，易證 △ADE≌△CFE，四邊形DBCF為平行四邊形，從而得到DE∥BC，BC=DF=2DE。

（二）教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)

“三角形中位線定理”是滬教版初中數(shù)學(xué)教材八年級第22章“平行四邊形”中的內(nèi)容。

教材通過剪紙活動將一個三角形拼接成平行四邊形，以證明三角形中位線定理。本節(jié)課的教學(xué)對象為上海市某中學(xué)初三的學(xué)生，其學(xué)習(xí)基礎(chǔ)良好。

結(jié)合三角形中位線定理的歷史，教師將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：（1）學(xué)習(xí)三角形中位線的概念，理解三角形中位線定理并加以證明；（2）通過剪紙的方法引入三角形中位線的概念，站在歷史的角度，通過轉(zhuǎn)化的思想，利用不同的方法證明三角形中位線定理，并將這些方法加以拓展；（3）通過對三角形中位線的概念及其定理的學(xué)習(xí)，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。又將本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)設(shè)定為：三角形中位線定理的證明；體驗(yàn)證明過程中的轉(zhuǎn)化思想，并將其應(yīng)用于其他題型。

（三）教學(xué)過程

教學(xué)過程分為四個環(huán)節(jié)。首先，通過快速問答復(fù)習(xí)有關(guān)三角形的知識。在“探究新知”環(huán)節(jié)，教師先給每組學(xué)生一個三角形，要求他們探討將一個三角形分成兩個面積相等的三角形的解決方案，然后剪出四個面積相等的三角形，目的是通過剪紙活動引出中位線的概念；再讓學(xué)生猜想中位線和底邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，得到中位線定理。在“定理證明”環(huán)節(jié)，教師給出歐幾里得的面積法和劉徽的割補(bǔ)法，之后播放微視頻，介紹其他幾種證明方法。最后，教師讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的關(guān)鍵詞，并寫出學(xué)完本節(jié)課后存在的疑問。具體的教學(xué)流程圖5所示。

二、課例評析

根據(jù)HPM視角下數(shù)學(xué)史選取的原則、應(yīng)用的方式以及教育的價值，結(jié)合HPM教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，我們總結(jié)出一節(jié)“好的”HPM課需要具備四個方面的特點(diǎn)：如圖6所示。下面，我們利用這四個指標(biāo)對本節(jié)課進(jìn)行評析。

（一）史料的適切性

數(shù)學(xué)史材料的選取必須遵循五個原則：趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性、新穎性。其中，趣味性是指數(shù)學(xué)史料能夠涉及數(shù)學(xué)背后的故事，并讓學(xué)生覺得有趣。科學(xué)性是指數(shù)學(xué)史料符合史實(shí)，不是胡編亂造的，沒有數(shù)學(xué)上的錯誤。有效性是指數(shù)學(xué)史料滿足教學(xué)目標(biāo)的要求，不是為了數(shù)學(xué)史而數(shù)學(xué)史?？蓪W(xué)性是指數(shù)學(xué)史料的難易程度符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，易于學(xué)生接受。新穎性是指數(shù)學(xué)史料有新意、有特色，不是老調(diào)重彈、人云亦云。

本節(jié)課選取的史料有古巴比倫泥板記載的三角形土地分割問題、古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中的證明方法、中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中的證明方法、19世紀(jì)末20世紀(jì)初幾何教科書中的證明方法。四則史料皆有明確依據(jù)，符合史實(shí)，符合科學(xué)性原則。四則史料分別對應(yīng)于讓學(xué)生“理解中位線的由來”“理解中位線定理并加以證明”的教學(xué)目標(biāo)，符合有效性原則。古巴比倫泥板的土地分割問題符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，可學(xué)性較好；而歐幾里得與劉徽的證明方法有點(diǎn)脫離學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，可學(xué)性稍差。四則史料的選取皆有新意；尤其土地分割問題經(jīng)過改編成為剪紙活動，在新穎性和趣味性上比較突出。

（二）方式的多元性

數(shù)學(xué)史應(yīng)用的方式有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式。附加式是指展示有關(guān)數(shù)學(xué)家的圖片，講述逸聞趣事等。復(fù)制式是指直接采用歷史上的數(shù)學(xué)問題、解法等。順應(yīng)式是指根據(jù)歷史材料編制數(shù)學(xué)問題。重構(gòu)式是數(shù)學(xué)史應(yīng)用的最高層次，是指追溯思想的歷史起源，通過借鑒，重構(gòu)知識的發(fā)生、發(fā)展歷史，以尋求激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)的最佳方式。將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)時，要恰當(dāng)、靈活地使用這四種方式。

本節(jié)課的本意是重構(gòu)中位線的歷史，讓學(xué)生通過探究活動，經(jīng)歷中位線定理的發(fā)現(xiàn)、證明過程，但是由于在剪紙活動后，幾乎成了教師的一言堂，因而算不上真正的重構(gòu)式。將古巴比倫泥板上記載的土地分割問題改編為剪紙活動，使用了順應(yīng)式。直接采用歐幾里得、劉徽以及早期教科書中的證明方法，則屬于復(fù)制式。使用順應(yīng)式的剪紙活動激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，較為合理；而使用復(fù)制式的幾種證明方法的介紹有些生硬，未能很好地與學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)相契合。此外，本節(jié)課中沒有使用附加式，缺乏中位線定理背后的人文元素。

（三）融入的自然性

數(shù)學(xué)史融入的自然性，是指數(shù)學(xué)史知識在數(shù)學(xué)教學(xué)中是自然出現(xiàn)的，而不是生硬添加的。弗賴登塔爾認(rèn)為，力求用發(fā)生的方法來教概念并不意味著必須完全按照知識的發(fā)展順序，甚至連走過的彎路與死胡同都不加刪除地教；發(fā)生的方法既非邏輯概念，又非歷史概念，也不是心理概念。所以，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)不是讓學(xué)生原原本本地重蹈人類的歷史，而是要考慮邏輯順序、歷史順序和心理順序三者的統(tǒng)一。只有達(dá)到三者的統(tǒng)一，才能將數(shù)學(xué)史自然地融入數(shù)學(xué)教學(xué)；否則，就會出現(xiàn)生硬添加數(shù)學(xué)史的情況。

下面截取本節(jié)課中的兩個片段進(jìn)行分析。

【片段1】

在學(xué)生給出有關(guān)中位線性質(zhì)的猜想后，教師直接給出圖7，介紹并且板演歐幾里得的面積法；接著給出圖8，要求直角三角形斜邊上的高BD的長度，鞏固利用面積解決長度問題的轉(zhuǎn)化思想。但是由于時間原因，教師略去了作為面積思想應(yīng)用的“角平分線定理”的證明。

評析：在學(xué)生給出中位線性質(zhì)的猜測后，沒有適當(dāng)?shù)倪^渡，教師便直接給出歷史上歐幾里得對中位線定理的證明。因此，此處沒有很好地將數(shù)學(xué)史與課堂教學(xué)相融合。實(shí)際上，歐幾里得的證明用到了等積變換的思想，學(xué)生對此并不熟悉；在沒有前面的課堂過程作為鋪墊的情況下采用該方法，沒有考慮知識出現(xiàn)的必要性。

【片段2】

教師要求學(xué)生完成以下任務(wù)：做出手里得到的三角形的中位線，并利用手里的工具證明三角形的面積等于“底乘高除以二”。這時，課堂剩余的時間已然不多，學(xué)生還沒有給出有效的方法，教師就直接給出圖9，講解劉徽的割補(bǔ)法證明定理。其實(shí)，有一名學(xué)生得出了教材中的方法：沿中位線剪開，將得到的小三角形和梯形拼成一個平行四邊形。但是，教師對這一探究成果視而不見。

評析：在此片段中，由于學(xué)生沒有一下子給出劉徽的方法，教師就直接自己來講授。因此，教師沒有充分考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)。實(shí)際上，劉徽的兩種割補(bǔ)方法都需要割兩次，不容易通過探究得出；而同樣體現(xiàn)劉徽割補(bǔ)思想的教材上的方法更容易想到。我們應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)為起點(diǎn)，在學(xué)生給出方法的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)史上的方法與學(xué)生的方法建立聯(lián)系。例如，根據(jù)學(xué)生的探究，教師可以采用圖10所示的方法來完成三角形面積公式的證明——這里最后的方法實(shí)際上就是劉徽的方法。

（四）價值的深刻性

數(shù)學(xué)史的教育價值包括“知識之諧”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”和“德育之效”?！爸R之諧”是指數(shù)學(xué)史揭示了數(shù)學(xué)主題（概念、公式、定理等）的自然發(fā)生、發(fā)展過程，能創(chuàng)造學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，促進(jìn)學(xué)生的理解；“方法之美”是指通過古今不同的思想方法，能拓寬學(xué)生的思維；“探究之樂”是指基于歷史材料提出數(shù)學(xué)問題，提供探究機(jī)會，能讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，獲得成功的體驗(yàn)；“能力之助”是指數(shù)學(xué)史在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)以及閱讀、表達(dá)等方面能力上的幫助；“文化之魅”是指數(shù)學(xué)史揭示了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活以及人類其他知識領(lǐng)域之間的聯(lián)系，能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的多元性；“德育之效”是指數(shù)學(xué)史在培養(yǎng)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)情感、信念、品行、操守等方面的有效性。將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)時，要充分彰顯這六大價值。

首先從教學(xué)目標(biāo)中可以看到，本節(jié)課沒有考慮到有關(guān)數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵與學(xué)生數(shù)學(xué)情感的目標(biāo)，說明教師對數(shù)學(xué)史“文化之魅”“德育之效”的教育價值是比較忽視的。

下面截取本節(jié)課中的兩個片段作進(jìn)一步分析。

【片段3】

教師出示任務(wù)1：用一把剪刀將一個三角形分成面積相等的兩份。學(xué)生給出的方案如圖11所示。

教師出示任務(wù)2：用一把剪刀將一個三角形分成面積相等的四份。一組學(xué)生首先想出如圖12所示的四等分三角形一底邊的方案。另一組學(xué)生接著在教師的鼓勵下給出如圖13所示的方案，從而引出中位線的概念。

評析：復(fù)習(xí)中線的性質(zhì)，為中位線概念的出現(xiàn)作鋪墊，解決傳統(tǒng)課堂上直接拋出中位線的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史“知識之諧”的教育價值。以歷史起點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)設(shè)計(jì)剪紙活動，重構(gòu)三角形中位線定理的發(fā)現(xiàn)歷程，為學(xué)生下一步猜想出三角形中位線的性質(zhì)作鋪墊，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史“探究之樂”的教育價值。但是在反饋中，有學(xué)生問：“中位線定理有何應(yīng)用？”表明在引入部分，教師忽視了中位線概念的“源”——古代兩河流域先民分土地的問題，致使學(xué)生不了解中位線之用。反映了本節(jié)課數(shù)學(xué)史教育價值的不深刻——沒有體現(xiàn)“文化之魅”。

【片段4】

師好的。前面我們接觸到三角形中的另外一個比較重要的線段，并且命名為“中位線”，那么接下來我們該怎么認(rèn)識中位線呢？

生要看中位線的性質(zhì)。

師對，我們要研究它的性質(zhì)。（在圖12中指）這條是中位線，它有什么性質(zhì)呢？

生如果連接兩個中點(diǎn)，則會得到兩個三角形相似。

師對，這個小的三角形與大的三角形相似。讓我們來研究這條中位線的性質(zhì)。

生它是底的一半。

師還有嗎？

生它與底邊平行。

師這些是我們的猜想。接下來我們就證明這個定理，我們稱它為“三角形中位線定理”。

評析：在本環(huán)節(jié)中，教師由一個學(xué)生的猜想（該生很可能已經(jīng)看過教材上的內(nèi)容，因而它可能是假猜想）便下結(jié)論，未能體現(xiàn)數(shù)學(xué)史“探究之樂”的教育價值。在反饋中，也有學(xué)生提問：“為什么我們要證明三角形中位線定理？”因此，教師應(yīng)該多問一些“為什么”。實(shí)際上，在片段3中，學(xué)生通過剪紙，得到四個兩兩全等的三角形。這里，教師應(yīng)該設(shè)問：為什么這四個三角形是全等的？如果不對這個問題進(jìn)行探究，又怎能憑空發(fā)現(xiàn)中位線的性質(zhì)？

此外，在三角形中位線定理的證明活動中，雖然體現(xiàn)了一定的“方法之美”，但是學(xué)生感受不到這些證明方法的獨(dú)到之處。實(shí)際上，中位線定理背后有著豐富的歷史文化內(nèi)涵，古代巴比倫、希臘、中國的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中都有相關(guān)素材。但是在教學(xué)中，教師剝離了文化元素，只字不提歐幾里得、劉徽等數(shù)學(xué)家的名字，也只字未提古巴比倫土地分割問題，因而未能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的悠久歷史與多元文化，使得數(shù)學(xué)史“文化之魅”的教育價值蕩然無存。而且，由于剪紙活動沒有得到充分利用，學(xué)生在課堂上失去了穿越時空與古人對話的機(jī)會，因而本節(jié)課也未能彰顯數(shù)學(xué)史“德育之效”的教育價值。

三、教學(xué)啟示

從以上課例評析中可以得知，要上好一節(jié)HPM課，需要考慮以下因素。

首先，要恰當(dāng)、靈活地選用數(shù)學(xué)史。并不是所有的歷史素材都適合一節(jié)課的教學(xué)，要在五項(xiàng)原則的指導(dǎo)下選取適合的歷史素材。歷史素材的應(yīng)用也不是只有附加式或復(fù)制式，可以在不同的環(huán)節(jié)靈活采取不同的方式。比如上述課例中，剪紙活動不應(yīng)該只在引入環(huán)節(jié)中出現(xiàn)，也可以運(yùn)用在證明活動中，從而真正采用重構(gòu)的方式將數(shù)學(xué)史與課堂的每個環(huán)節(jié)融為一體；而附加式的使用也可以增加課堂的人文色彩。

其次，要將數(shù)學(xué)史自然地融入課堂。數(shù)學(xué)史是古人與今人之間的一座橋梁，能讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)。將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，不是為了數(shù)學(xué)史而數(shù)學(xué)史，而要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，讓學(xué)生真正參與到課堂中。在將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，要充分注重學(xué)生的活動，在學(xué)生活動的基礎(chǔ)上讓數(shù)學(xué)史自然地出現(xiàn)。比如上述課例中，除了剪紙活動之外，教師全程講解，且忽視課堂上出現(xiàn)的有效資源，學(xué)生沒有參與到課堂主體當(dāng)中，數(shù)學(xué)史也就變成了“天外來客”。

最后，要充分彰顯數(shù)學(xué)史的教育價值。數(shù)學(xué)史有著豐富的教育價值。在將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，要深度挖掘、充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史材料的教育價值。比如，上述課例的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)過程就沒有很好地展現(xiàn)出所選用的數(shù)學(xué)史材料的教育價值。首先，參照數(shù)學(xué)史自然地引出三角形中位線的概念，體現(xiàn)了“知識之諧”；讓學(xué)生拼圖解決問題，體現(xiàn)了“探究之樂”。然而，教師全程講解，沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)史促進(jìn)探究的價值；同時，證明的講解過程過于倉促，沒有體現(xiàn)方法背后的深刻數(shù)學(xué)思想，所以對于“方法之美”的體現(xiàn)還不充足。其次，所選用的數(shù)學(xué)史材料有古巴比倫的泥板、古希臘的《幾何原本》以及中國古代的《九章算術(shù)注》，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的多元性；可是，將概念、性質(zhì)與情境剝離，失去了一次傳遞數(shù)學(xué)文化的機(jī)會。此外，所選用的歷史素材也有著使學(xué)生與古人親近，培養(yǎng)數(shù)學(xué)自信心的德育效果；但是，由于過于側(cè)重證明方法的講授，也沒有體現(xiàn)出這一價值。

*本文系上海市教育科學(xué)研究重大項(xiàng)目“中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的有效設(shè)計(jì)”的子課題“中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)文化素材的案例設(shè)計(jì)”（編號：D1508）的系列研究成果之一。

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