摘要：數(shù)學(xué)教材是命制數(shù)學(xué)試題最重要的題源藍本。立足教材編擬數(shù)學(xué)試題的主要方法有：保持條件，探求更多結(jié)論；弱化條件或增強條件，探求新的結(jié)論；保持結(jié)論，探求充分條件等。主要步驟有：立意與選材；搭架與制坯；加工與調(diào)整；復(fù)核與審查。結(jié)合三道高考模擬填空題的案例，分別闡述基于追尋數(shù)學(xué)美、考查更高能級要求知識點和提高問題難度的改編。通過反思與感悟，提出立足教材編擬數(shù)學(xué)試題的價值取向與操作原則、認識誤區(qū)與改進建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)試題改編

數(shù)學(xué)教材凝聚了眾多數(shù)學(xué)家、心理學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家和優(yōu)秀一線教師的智慧與辛勞，是集體反復(fù)打磨出的精品。它包含了數(shù)學(xué)的核心知識和思想方法，所選例、習(xí)題具有典范性、基礎(chǔ)性，不少問題還具有較好的發(fā)展性和探究性。因此，數(shù)學(xué)教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和方法最重要的文本材料，也是命制數(shù)學(xué)試題最重要的題源藍本。

立足教材編擬數(shù)學(xué)試題，更貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)實際，在一定程度上可以減輕學(xué)生過重的學(xué)習(xí)負擔（目前，題海戰(zhàn)術(shù)橫行，教輔資料泛濫），對日常教學(xué)起到良好的導(dǎo)向作用，使教學(xué)和考試變得更一致、和諧。此外，當下的高考命題倡導(dǎo)知識立意和能力立意并重，增強題目的基礎(chǔ)性和綜合性，突出選拔的客觀性和公平性，這也是立足教材命制數(shù)學(xué)試題的內(nèi)驅(qū)力所在。

那么，如何立足教材編擬數(shù)學(xué)試題呢？怎樣才能使所編擬的數(shù)學(xué)試題能測出學(xué)生的真水平呢？那些源于教材的高質(zhì)量數(shù)學(xué)試題是如何想出來的呢？筆者將結(jié)合自身的命題研究和實踐，舉例分析，望能拋磚引玉。

一、立足教材編擬數(shù)學(xué)試題的方法與步驟

立足教材編擬數(shù)學(xué)試題的主要方法是改編，而改編的主要方法有：保持條件，探求更多結(jié)論；弱化條件或增強條件，探求新的結(jié)論；保持結(jié)論，探求充分條件；疊加與組合；推廣（一般化）與演繹（特殊化）；類比與對偶；等價轉(zhuǎn)化（變化外在形式，本質(zhì)不變）；數(shù)學(xué)模型法等。

立足教材編擬數(shù)學(xué)試題的主要步驟有：（1）立意與選材。根據(jù)一定的考查目的和中心（立意）選材，立意要鮮明，選材要服務(wù)于立意。（2）搭架與制坯。有了恰當?shù)念}材后，應(yīng)采用與之相適應(yīng)的構(gòu)架，做到主干硬朗、層次分明；有了恰當?shù)臉?gòu)架后，可形成題坯，把題設(shè)和提問寫出，不必忙于文字處理，題坯應(yīng)具有一定彈性，便于加工與調(diào)整。（3）加工與調(diào)整。加工與調(diào)整主要是為了確保試題的科學(xué)性、適綱性和難度適宜性?？茖W(xué)性方面，應(yīng)注意題意的可知性、題設(shè)的充分性、題設(shè)條件之間的獨立性和相容性以及數(shù)學(xué)對象的存在性。（4）復(fù)核與審查。對編擬好的試題必須反復(fù)核查，仔細推敲，嚴防疏漏和失誤，尤其是杜絕科學(xué)性錯誤。這通常需要第二個命題人參與進行，且要防止先入為主，力求從新的角度考察試題，并對文字、公式、附圖甚至標點符號等一一推敲。

【案例1】基于追尋數(shù)學(xué)美的試題改編

素材（蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2第35頁第2題）某空間幾何體的三視圖如圖1所示，試畫出它的直觀圖，并指出其中的線面垂直關(guān)系。

靈感與動機：圖1中，3個全等的等腰直角三角形給人以一定的美感，但是，擺放的形式缺乏統(tǒng)一美。若將3個三角形的擺放變得更加統(tǒng)一（如圖2所示），豈不完美？那么，空間中是否存在這樣的幾何體呢？經(jīng)過一番思考，筆者發(fā)現(xiàn)在正方體ABCD-A1B1C1D1中存在這樣的幾何體，即四面體D1-ABD（如圖3所示）。

思考與斟酌：能否圍繞圖3所示的幾何體編擬一道有關(guān)面積或體積的計算型填空題呢？由于三視圖已從江蘇高考《考試說明》中刪去了，因此不宜以三視圖來表征該幾何體?？紤]到圖形語言可以轉(zhuǎn)化為文字、符號語言，故可通過敘述“在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，且AB=BC=CD”確定該幾何的形狀。若再給出長度（不妨設(shè)AB=BC=CD=1 cm），就可確定該幾何體的大小。再結(jié)合球的表面積計算，就可命制一道交匯自然、簡潔新穎的試題——

試題（江蘇省海安縣2010～2011學(xué)年度高二期末調(diào)研考試第13題）在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，且AB=BC=CD=1 cm，則該四面體的外接球的表面積為cm2。

【案例2】基于考查更高能級要求知識點的試題改編

素材（蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4第68頁第8題）如圖4，在任意四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，求證：AB+DC=2EF。

靈感與動機：本題圖形對稱，結(jié)論優(yōu)美，但是考查的主要是平面向量的線性運算（B級知識點），那么能否基于本題的圖形和結(jié)論編擬一道考查平面向量數(shù)量積（C級知識點）的試題呢？本題結(jié)論的證明很簡單：如圖5，取AC的中點G，構(gòu)造△GEF，再利用向量加法的三角形法則。因此，若給定AB、EF、DC的長度，則△GEF就確定了，便可以求出其中任意兩個向量的數(shù)量積了。

思考與斟酌：為了保證△GEF存在，不妨設(shè)AB、EF、DC的長度依次為1、2、5，從而編擬如下題坯：在平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，AB、EF、CD的長度依次為1、2、5，則AB·CD的值為。本題屬于中等題，解題時只要先找出等式AB+DC=2EF，再平方代入數(shù)據(jù)即可。若要改編成較難題，還需再次隱藏已求結(jié)論“AB·CD=-1”，并添加新條件，探求新結(jié)論。從形式對稱的角度看，若再給出條件“DA·BC的值”，能否求出AC·BD的值呢？經(jīng)過一番嘗試，筆者驚喜地發(fā)現(xiàn)了一個有趣的結(jié)論：如圖6，在任意四邊形ABCD中，AC·BD=AD·BC+AB·CD。這樣，一道考查平面向量數(shù)量積的較難題就命制出來了——

試題（江蘇省南通市2013屆高三第三次模擬考試第13題改動）在平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，且AB=1，EF=2，CD=5。若AD·BC=15，則AC·BD的值為。

【案例3】基于提高問題難度的試題改編

素材（蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2第117頁第2題）過點P（-3，-4）作直線l，當l的斜率為何值時，l與圓（x-1）2+（y+2）2=4相交于A、B兩點，且AB=2？

靈感與動機：本題考查了直線方程與圓的方程2個C級知識點，只是問題過于簡單，那么能否基于本題編擬出一道較難題呢？

思考與斟酌：可以變換條件，以增加難度：過點P（-3，-4）作直線l，當l的斜率為何值時，l與圓（x-1）2+（y+2）2=4相交于A、B兩點，且PA=AB？由此引入變量，以增加難度：過直線2x+y+10=0上一點P作直線l，與圓（x-1）2+（y+2）2=4相交于A、B兩點，且PA=AB，則點P橫坐標的取值范圍是。接著再引入變量，并逆向思維，以增加難度：若直線2x+y+10=0上存在一點P，滿足過點P可作射線與圓（x-1）2+（y+2）2=r2（r>0）相交于A、B兩點，且PA=AB，則r的取值范圍是。 最后再變換條件和結(jié)論，以增加難度：設(shè)圓C1：（x+1）2+（y-6）2=25，圓C2：（x-5）2+（y+2）2=r2（r>0），若圓C1上存在一點P，使得過點P可作射線與圓C2相交于A、B兩點，且PA=2AB，則r的取值范圍是。本題難度明顯提高，由定圓上一點向動圓作滿足題設(shè)的射線，蘊含著“靜止與變化是相對的”的基本觀念。不過，倘若再次逆向思考，由動圓上一點向定圓作滿足題設(shè)的射線呢？經(jīng)過一番探究，筆者發(fā)現(xiàn)這個問題在解答時更有旨趣，更能考查思維品質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)美。在此基礎(chǔ)上，為了“多考一點想，少考一點算”，筆者利用勾股數(shù)對數(shù)據(jù)進行了簡化處理，命制出如下試題——

試題（江蘇省南通市2015屆高三第二次模擬考試第14題改動）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)圓C1：（x+1）2+（y-6）2=25，圓C2：（x-17）2+（y+30）2=r2（r>0），若圓C2上存在一點P，使得過點P可作射線與圓C1相交于A、B兩點，且PA=2AB，則r的取值范圍是。

二、立足教材編擬數(shù)學(xué)試題的反思與感悟

（一）價值取向與操作原則

立足教材編擬數(shù)學(xué)試題通常應(yīng)選取核心知識為載體，考查核心思想和方法，并且更多地著眼于有普遍價值或?qū)嶋H意義的問題以及一般的數(shù)學(xué)思想方法。在選材時視野要寬廣，選取的素材可以是教材中的例題和習(xí)題，也可以是定理和公式的推導(dǎo)過程以及“閱讀鏈接”“探究拓展”等內(nèi)容。

立足教材編擬數(shù)學(xué)試題除了應(yīng)遵循試題編擬的一些基本原則（科學(xué)性、公平性、適綱性等）之外，還應(yīng)努力使所編擬的試題自然、本原（避免拼湊的痕跡），具有一定的探究性和可發(fā)展性，能讓解題者有所啟迪，增長智慧；此外應(yīng)努力使所編擬的試題體現(xiàn)數(shù)學(xué)美（對稱美、和諧美、簡潔美、統(tǒng)一美、奇異美等），能給解題者以美觀、大氣之感。

（二）認識誤區(qū)與改進建議

在傳統(tǒng)觀念里存在一個認知誤區(qū)：認為改編自教材的試題大多只能是容易題，至多是中等題（歷年高考中對知識層面的考查基本直接源于教材，并且大多以容易題呈現(xiàn)）。這也是不少教師和學(xué)生在備考復(fù)習(xí)中舍棄教材，投入題海的重要原因之一。

事實上，基于教材也可以編擬出有一定難度和新意的好題，關(guān)鍵是看命題人的編題意識和技術(shù)水平。比如，2016年高考江蘇卷填空題第14題便是這樣的好題。因此筆者建議，在各級考試中命制填空題“小把關(guān)題”時應(yīng)盡量基于教材進行改編，并且高考《考試說明》可明確指出試題中源于教材的改編題所占的大致比例。

最后想要指出的是，立足教材編擬數(shù)學(xué)試題要求教師真正做到充分領(lǐng)悟教材的編寫意圖，合理使用教材，最大化教材的教學(xué)以及備考功能。它仍有著較大的探索和生長空間，會隨著數(shù)學(xué)考試命題的不斷實踐以及命題技術(shù)和理論水平的不斷提高而逐步完善與成熟。

參考文獻：

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