摘要：用于大型考試的數(shù)學試題往往具有較強的原創(chuàng)性，在命制時需要利用集體的智慧對原始或新構命題（創(chuàng)意）進行反復論證打磨。以一次高三摸底考試函數(shù)與導數(shù)解答題壓軸題的命制為例，談命題的打磨。打磨試題的關鍵在于打磨試題的功能、美感和導向。

關鍵詞：數(shù)學試題命制打磨功能美感導向

用于大型考試的數(shù)學試題往往具有較強的原創(chuàng)性，在命制時需要利用集體的智慧對原始或新構命題（創(chuàng)意）進行反復論證打磨。近年來，為了集中更多優(yōu)秀命題人員的智慧，命制更加科學的試題，蘇北四市（連云港、淮安、宿遷、徐州）常常聯(lián)合命制高三模擬試題：一般地，先各市自行打磨出一份試卷；再四市匯總，共同打磨出一份試卷。

在高考數(shù)學試卷中，函數(shù)與導數(shù)解答題通常作為壓軸題，具有很強的探索性。這類試題的命制尤其需要經(jīng)過不斷地研究打磨，才能既符合命題原則與考試要求，又考查得出學生應有的知識水平與綜合能力。在2016年11月的蘇北四市高三摸底考試中，本市命制的函數(shù)與導數(shù)解答題作為壓軸題出現(xiàn)在試卷中。下面，就以本題的命制為例，談談命題的打磨。

一、題目與解答

題目設函數(shù)f（x）=ln x-ax2+ax，a為正實數(shù)。

（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）求證：f1a≤0；

（3）若函數(shù)f（x）有且只有1個零點，求a的值。

解答（1）（2）略；

（3） f′（x）=1x-2ax+a=-2ax2-ax-1x，x>0。令f′（x）>0，得a-a2+8a4a0，所以a-a2+8a4a<0，所以f（x）在0，a+a2+8a4a上單調增，在a+a2+8a4a，+∞上單調減，所以f（x）≤fa+a2+8a4a。

設x0=a+a2+8a4a。顯然，f（1）=0。

當x0=1時，f（x）≤f（x0）=f（1）=0，f（x）有且只有x0這1個零點，符合題意。此時a+a2+8a4a=1，解得a=1。

當x0>1時，f（x0）>f（1）=0。此時a+a2+8a4a>1，即01，且a+a2+8a4a<1+94a=1a。由（2）知f1a<0。所以，f（x）在x0，1a上存在零點，則f（x）共有2個零點，不符合題意。

當x0<1時，f（x0）>f（1）=0。此時a+a2+8a4a<1，即a>1，則0<1a<1，且a+a2+8a4a>1+94a=1a。由（2）知f1a<0。同理，f（x）在1a，x0上存在零點，則f（x）共有2個零點，不符合題意。

綜上，x0=1，a=1。

二、命題歷程

本題的命制由筆者（W）與四位一線教師（A、B、C、D）參與打磨，打磨的重點在于作為壓軸之問的第3問（不僅因為這一問的難度要求最高，而且因為這一問可能需要通過前兩問作出必要的鋪墊）。

（一）構造模型

首先，A教師設想構造一個對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的和函數(shù)，考查圖像的切線、函數(shù)的單調性以及零點。其理由是，這類函數(shù)求導后通常只需要研究二次函數(shù)，是學生較為熟悉的；而考查的內容則是導數(shù)的常規(guī)應用和重要考點。接著，A教師選擇ln x和a（x-1）2作為基本函數(shù)。其理由是，兩個函數(shù)圖像都過定點（1，0），而且均不復雜，這樣和函數(shù)的一個零點便是1，在一定程度上降低了討論的復雜度。于是，A教師得到初稿——

初稿設函數(shù)f（x）=ln x+a（x-1）2。

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調性，并寫出單調區(qū)間；

（3）討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)。

（二）打磨試題

B二次的形式太過明顯，會使學生很容易發(fā)現(xiàn)定點的情況。此外，如果直接對f（x）求導，二次的形式又給人以復合函數(shù)求導的感覺，這對文科生是不作要求的。

W二次的形式倒沒什么，其本來的意圖就是讓學生發(fā)現(xiàn)定點的情況。摸底考試的原則是讓學生考出信心，考出成就感。只是復合函數(shù)的形式最好不要出現(xiàn)。

A可以把二次的形式打開，即f（x）=ln x+ax2-2ax+1。當然，對于這樣的二次三項式，學生也很容易想到配方的。

C1、2、1這樣的系數(shù)對于學生來說太熟悉了，可以把常數(shù)項去掉，把一次項系數(shù)變得平常些，即改成f（x）=ln x+ax2-ax。

D（出示圖1）利用幾何畫板作圖可以看到，這個函數(shù)的零點可能不大容易討論。當a大到一定程度時，f（x）的兩個極值都在（0，1）內。從圖像上看，極大值始終是小于0的。但是，要證明它，可能不太容易。

A求導得f′（x）=2ax2-ax+1x，x>0。當a>8時，f′（x）在（0，1）內有兩個零點，f（x）的極大值點取在左邊，設極大值點為x0，那么極大值為f（x0）=ln x0+ax20-ax0。利用方程2ax20-ax0+1=0消元，有a=1x0-2x20>8，所以f（x0）=ln x0+x20-x0x0-2x20=ln x0+x0-11-2x0，0

W導數(shù)零點求不出，學生就怵了。利用導數(shù)方程消元不是學生的強項。不過，作為壓軸題倒也可以，起碼能夠起到引導學生提升的作用。如果作為一問，還得加上條件“a>8”，這太突兀了。那么，能不能限定f（x）只有一個零點，求a的取值范圍？

（大家合作得到如下第1稿。）

第1稿設函數(shù)f（x）=ln x+ax2-ax。

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調性；

（3）若函數(shù)f（x）有唯一零點，求a的取值范圍。

B就是說還是把它作為討論的一種情況?？紤]到第2問還要討論f（x）的單調性，過程就太復雜了，答卷上可能都寫不下。

D能不能只討論f（x）有兩個零點的情況？1已經(jīng)是一個零點了。從圖像上可以看出，當-1

（大家合作得到如下第2稿。）

第2稿設函數(shù)f（x）=ln x+ax2-ax。

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調性；

（3）若函數(shù)f（x）恰有兩個零點，求a的取值范圍。

Cf（x）恰有兩個零點，就是要f′（x）只有一個正零點。這樣f（x）的圖像就是先增后減的，所以只要極大值大于0即可。但是，fa-a2-8a4a>0這個不等式不好解，還是需要消元解決。和前面a>8時的消元過程一樣，可得g（x）=ln x+x-11-2x在14，1上單調減，在（1，+∞）上單調增。而且g（1）=0，所以只要極大值點不是1，極大值都是大于0的。

B這么說是不需要討論了。而且學生如果不會解極大值大于0的不等式，不會消元，就不能得分。

W那就讓f（x）只有一個零點，求負實數(shù)a的值。學生容易得到a的值，也容易“會而不全”。不過，一般都是指定正實數(shù)a，所以最好再改一下函數(shù)解析式。

（大家合作得到如下第3稿。）

第3稿設函數(shù)f（x）=ln x-ax2+ax。

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調性；

（3）若函數(shù)f（x）有唯一零點，求正實數(shù)a的值。

至此，圍繞壓軸問的打磨基本完成，題目的主體也基本搭建好。

（三）打磨解答

Af′（x）=-2ax2+ax+1x，x>0。設f（x）有極大值f（x0），則-2ax20+ax0+1=0。因為f（1）=0，所以f（x）的唯一零點就是1，那么極大值f（x0）必然為0，其實就是x0=1。這樣的話，代入-2ax20+ax0+1=0，即-2a+a+1=0，就能解出a=1。這就太簡單了。

W這只是找到了“f（x）有唯一零點”的一個充分條件，即如果極大值f（x0）=0，那么f（x）有唯一零點。但是，如果f（x）有唯一零點，那么極大值f（x0）也可能大于0。（出示圖2）比如，另一段圖像是以x軸為漸近線的。

B因為當x→0或x→+∞時，f（x）都是趨向于-∞的，所以可以利用零點的存在性定理判斷：極大值大于0時，f（x）一定有兩個零點。（出示圖3）解決的思路應該是這樣的。

D怎樣尋找x1，是一個難點。f（x）的圖像是動的，x1應該是與a有關的。

W近年來的江蘇高考題都比較注重這類x1的尋找。這是學生的短板，但是確實需要訓練。

B從圖像的變化來看，當x0<1時，a>1，要找的x1<1；當x0>1時，a<1，要找的x2>1。x1、x2的大小與a的大小正好相反地變化，所以可以分別取x1=1a，x2=1a，那么f1a=ln1a-1a+1，可以證明只要a≠1，f1a<0恒成立。

W你因為有幾何畫板，所以看得清楚。學生怎么能夠發(fā)現(xiàn)呢？

A可以考慮在第2問中給個提示。原來的第2問討論單調性太復雜，可以改為證明不等式f1a<0？

（大家合作得到如下第4稿。）

x0≠1時x0<1時→可知f（x0）>0；

存在x1，使f（x1）<0→在（x1，x0）內有1個零點

x0>1時→可知f（x0）>0；

存在x2，使f（x2）<0→在（x0，x2）內有1個零點矛盾

第4稿設函數(shù)f（x）=ln x-ax2+ax。

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（2）求證：當0

（3）若函數(shù)f（x）有唯一零點，求正實數(shù)a的值。

A這樣只是給出了x0>1時的x2。x0<1時的x1就留待學生去發(fā)現(xiàn)吧。

W給學生先鋪個路，看學生能否細心留意。這樣，第3問的解答可以參考今年的江蘇高考題，先確定a的值，再用反證法證明。另外，第1問求出的切線方程不太簡潔，出現(xiàn)了ln 2，不如改成“在點（1，f（1））處的”。

（大家合作得到如下第5稿。）

第5稿設函數(shù)f（x）=ln x-ax2+ax，a為正實數(shù)。

（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）求證：當0

（3）若函數(shù)f（x）有唯一零點，求a的值。

至此，針對前兩問的修改也基本完成，一道題干簡潔、設問精煉、考查函數(shù)與導數(shù)的核心問題、入手淺而又不失靈活性、考查從基礎知識和基本方法到靈活的思維能力和嚴謹?shù)耐评碚撟C的壓軸題便基本完成。

后來在四市匯總時，筆者又將第2問中對a的范圍限制去掉，從而鋪了一條完整的路，讓學生能順著走下去。

三、命題體會

一道好題，應具有科學性、探究性、創(chuàng)新性，應關注學生的數(shù)學素養(yǎng)、學習過程、應用意識、思維的開放性和批判性。磨題是命題的重要環(huán)節(jié)，打磨試題的關鍵在于打磨試題的功能、美感和導向。

（一）打磨試題功能

高考模擬試題，首先要有考查基礎知識、基本技能和基本思想方法的功能，以反映教與學的有效性；其次要能兼顧考查思維的靈活性，以達到較好的區(qū)分度。本題前兩問考查導數(shù)的幾何意義（求切線方程）和導數(shù)的應用（研究函數(shù)的單調性、最值）；而第3問中，參數(shù)引起函數(shù)圖像的動態(tài)變化，關注動曲線過定點可以很好地反映思維的靈活性，不同的考生會有不同程度的思考。

（二）打磨試題美感

試題除了具有考查功能，還應注意美觀。好的試題不會給人以煩冗壓抑之感，而能讓人賞心悅目地開啟解題之旅，并隨著每一問的引導，將思考逐步深入。本題初稿中，討論f（x）單調性的問題是函數(shù)含參問題的?？碱愋?，重點考查學生的分類討論思想，但是因為討論情況過多，書寫過程復雜，占據(jù)篇幅過大，會影響考生做最后一問，于是改成了為最后一問鋪路的證明不等式問題。而經(jīng)過打磨，本題題意簡潔，目標明確，方向清晰，是訓練學生直覺猜測與嚴謹推理的好材料。

（三）打磨試題導向

命制高考模擬試題，還應考慮其對教與學的導向作用。每年高考過后，高考題的導向作用首先體現(xiàn)在下一屆的模擬題中。各地的模擬卷多少都能看到高考題的影子，其初衷是引導日常的教與學具有高考意識。本題與2016年江蘇高考第19題有著內在的聯(lián)系：由基本初等函數(shù)的性質，可以判斷出問題的結果；但是要嚴謹推理，卻要頗費一番周折。在命題的過程中，就出現(xiàn)了“極大值為0”的錯誤判斷，這是使用數(shù)形結合思想時常犯的一類錯誤，即用看到的“事實”掩蓋實在的推理。本題意在引導師生研究高考命題，研究高考題的分析思路、解答過程、書寫規(guī)范。