摘要：數學學科核心素養(yǎng)目標引領下的課堂教學應該追求長效。解決這一問題的根本方法在于，數學課堂教學一定要基于深度的教材解讀，進行優(yōu)化的教學設計。以蘇科版初中數學教材八年級上冊第4章“實數”第1節(jié)“平方根”為例，重點介紹“點全—線聯—面融式”教材解讀的方法，并在此基礎上跟進“知識—思想—素養(yǎng)式”教學設計的優(yōu)化。

關鍵詞：教材解讀教學設計知識思想素養(yǎng)

數學學科核心素養(yǎng)這一著眼于學生終身發(fā)展的宏觀教學目標的提出，標志著數學課堂教學在原來有效的基礎上，更應該追求長效，這與數學學科基礎教育的性質是完全吻合的。

但是從當前廣大數學教師的課堂教學現狀來看，與這一目標還有不小的差距。問題主要集中在課堂教學中過多地考慮了短期效果，呈現的是孤立的知識、孤立的方法、孤立的題目，缺乏對數學知識的整體性思考，缺少對隱藏在數學知識背后的數學思想方法的挖掘，缺失培養(yǎng)學生數學學科核心素養(yǎng)的過程。解決上述問題的根本方法在于，數學課堂教學一定要基于深度的教材解讀，進行優(yōu)化的教學設計。

下面，以蘇科版初中數學教材八年級上冊第4章“實數”第1節(jié)“平方根”為例，重點介紹“點全—線聯—面融式”教材解讀的方法，并在此基礎上跟進“知識—思想—素養(yǎng)式”教學設計的優(yōu)化。

一、“點全—線聯—面融式”教材解讀的方法

關于“教材解讀”要搞清三個問題：解讀什么？怎樣解讀？為什么這樣解讀？這三個問題又可以作為一個整體來解答。我們知道，教材由于受到很多編寫原則的限制，只能呈現最簡單的知識素材。這些素材包括知識產生的問題情境、知識形成和發(fā)展的簡單過程、知識應用的典型題目。教材的簡潔性、濃縮性說明，教材解讀非常重要。我們還知道，數學學科有其自身的特點。

特點之一就是數學知識之間相互聯系，組成結構。所以，教材解讀的重點之一就是尋找知識全貌、相互關聯、整體建構，這樣可以避免學生學到的都是零碎的知識，就像散落在地上的珍珠。只有使學生所學的數學知識時時結構化，才能把散落的珍珠穿成美麗的項鏈。實際上，結構化的知識最容易儲存和提取。

特點之二就是數學知識技能背后依靠思想方法作為支撐。所以，教材解讀的重點之二就是找到這些隱藏在知識技能背后的思想方法，把這些比知識技能更為重要的思想方法顯性化。數學知識技能與思想方法好比鳥之雙翼，缺一不可；又好比人之骨架與血肉，前者只有依靠后者才能充滿生機與活力。

特點之三就是數學知識技能、思想方法一定要轉化為數學基本活動經驗才能真正服務于學生今后的發(fā)展。所以，教材解讀的重點之三（也是教學設計的重點）就是生活素材數學化、數學素材問題化、問題素材活動化。只有以問題為主線的活動過程才能保證數學學科素養(yǎng)這一過程性目標的達成。

具體來說就是，針對一個知識，必須找到這個知識的生長點、發(fā)展點、延伸點，這就是所謂的“點全”；針對多個知識，必須找到這些知識之間的邏輯性和本質性關聯，通過數學思想方法串聯，組成一條設計與教學的主線，這就是所謂的“線聯”；針對一堂課，必須找到“四基、四能”的融合交匯處，使知識技能、過程方法、情感態(tài)度價值觀的三維目標同步推進達成，這就是所謂的“面融”。從上可以看出，教材解讀的核心意義主要體現的就是章建躍教授“三個理解”中的“理解數學”。

“平方根”這一課時，教材呈現了“從格點矩形對角線長計算的情境中析出‘已知冪與指數求底數’的數學問題，進而抽象出平方根的概念以及內涵解析，然后利用開平方求平方根”三部分素材，其中新知識點是“平方根”與“開平方”的概念。

從“點全”的角度解讀，首先要搞清楚這兩個知識點的“源點”在哪里，就是它從哪里來?！扒笠粋€數的平方根的運算叫作開平方”，所以“開平方”來自“數”與“運算”，而“開平方”又會帶來無理數，無理數與有理數組成了實數。通過這樣的追溯“源點”，就找到了本課教學的出發(fā)點——數的發(fā)展性與運算的完備性。接著要搞清楚這兩個知識點的“支點”在哪里，就是它是怎樣形成的。結合已知底數和指數可以求出乘方運算的結果（冪），發(fā)現已知冪與指數來求底數的逆向問題不是時時可以解決的，由此就找到了形成新知識的必要性。通過這樣的探尋“支點”，就發(fā)現了可以通過“乘方”與“開方”互為逆運算來形成新知。最后要搞清楚這兩個知識點的“遠點”在哪里，就是它將向哪里去？顯然，應該由“平方根”走向“算術平方根”“立方根”與“n次方根”，由“開平方”走向“開立方”與“開方”，進而由兩者一起走向“實數及其運算”。通過這樣的遙望“遠點”，就找到了本章的整體面貌和基本框架。

從“線聯”的角度解讀，由數學概念的歷史或認知過程，可以找到“平方根與開平方的產生—平方根與開平方的形成—平方根與開平方的發(fā)展—平方根與開平方的作用”這樣的知識關聯線；由于數學概念的形成通常是數學思想“歸納、抽象”的產物，因此又可以找到“通過特殊到一般的歸納、抽象形成概念”這樣的思想方法線。

從“面融”的角度解讀，首先要把這堂課作為一個完整的系統(tǒng)來通盤考慮，其次要以“平方根”與“開平方”的“點全”解讀與“平方根與開平方的產生、形成、發(fā)展、運用”“歸納、抽象思想”的“線聯”解讀為素材和線索，充分地考慮“四基、四能”融合，以“三維目標”為標準，進行整體性認識和設計。

二、“知識—思想—素養(yǎng)式”教學設計的優(yōu)化

關于“教學設計”要把握三個問題：設計什么？怎樣設計？為什么這樣設計？我們知道，數學教材主要是學術形態(tài)的，教學設計就是要在教材解讀的基礎上，充分考慮學生，基于學生現實，把數學的學術形態(tài)轉化成教學形態(tài)。常規(guī)的教學設計是研究教什么、怎么教、為什么這樣教的。在“點全—線聯—面融式”教材解讀下，可以采用與之相對應的更為優(yōu)化的“知識—思想—素養(yǎng)式”教學設計。

“點全”解讀下的“知識技能層面”設計要基于學生的生活現實與數學現實，從學生的“已有發(fā)展區(qū)”出發(fā)，通過“最近發(fā)展區(qū)”，引領學生邁向“可能發(fā)展區(qū)”；讓學生逐步清晰、全面認識所學知識，做到充分了解知識的發(fā)生、發(fā)展，深刻理解知識的來龍去脈，全面掌握知識的數學本質，進而靈活地“學以致用”；保證對每個知識“不僅知其然，而且知其所以然”，使單個知識通體透明。“點全”解讀下的“知識”設計強調知識的全面與完整性，體現系統(tǒng)性教學中對知識的理解長度。

“線聯”解讀下的“思想方法層面”設計不僅要找到多個知識之間的關聯，而且要找到隱含在知識背后的思想方法，以知識技能為明線，以思想方法為暗線，兩線齊頭并進；利用任務驅動設計活動問題串，以活動問題為主線展開課堂教學?！熬€聯”解讀下的“思想”設計強調知識的關聯與方法性，體現系統(tǒng)性教學中對知識的理解寬度。

“面融”解讀下的“能力素養(yǎng)層面”設計就是要把知識點、關聯線放在同一層面來認識和看待，從宏觀上整體構建知識體系，通過活動和過程全面理解數學，提升學生的數學能力與學科素養(yǎng)?！懊嫒凇苯庾x下的“素養(yǎng)”設計強調知識的融合與過程性，體現系統(tǒng)性教學中對知識的理解高度。

從上可以看出，基于“教材解讀”的優(yōu)化教學設計的核心價值主要體現的就是章建躍教授“三個理解”中的“理解數學”與“理解學生”。

“平方根”這一課時，按照上述優(yōu)化設計思路，可以形成如下教學設計：

（一）追溯舊知找源點，邏輯發(fā)展顯自然

1.引導學生從知識發(fā)展性來看數的發(fā)展：如圖1所示。

算術數→（引進負數）→產生有理數→（引進無理數）→（產生什么數？）

2.引導學生從知識完備性來看數的運算：如圖2所示。

（二）生活數學緊相連，瞻前顧后想關聯

1.出示如下問題：（1）（生活問題）已知一塊正方形木板的邊長是2米，則這塊正方形木板的面積是多少平方米？（2）（數學問題）計算32、232、（0.5）2。

2. 引導學生歸納共性：上述問題分別可以看成22=x和32=x，232=x，（0.5）2=x，兩類問題都是已知底數和指數，根據乘方定義求出冪，用符號語言可以表述為“在a2=x中，已知a，利用乘方，可以求出x”。

3.出示如下“倒過來”的問題：（1）（生活問題）已知一塊正方形木板的面積是4平方米，則這塊正方形木板的邊長是多少米？（2）（數學問題）已知一個數的平方等于9，這個數是多少？

4.出示如下拓展問題：設圖3中的小方格的邊長為1，你能分別算出兩個長方形的對角線AB、A′B′的長嗎？

（三）特殊一般來歸納，逐步抽象定支點

1.引導學生歸納共性：上述問題分別可以看成x2=4，x2=9和x2=169，x2=5，這兩類問題中的4個問題相當于已知乘方的結果（冪）和指數（2），反過來求底數，用符號語言可以表述為“在x2=a中，已知a，利用什么，可以求出x”。

2.引導學生分析發(fā)現：上述問題應該是乘方運算的逆向問題。

3.引導學生嘗試解決：2（1）當x2=4時，因為22=4，（-2）2=4，所以x= ±2；因為x代表邊長，所以x=2。2（2）當x2=9時，因為3 ？倕 =9，（-3）2=9，所以x= ±3。3（1）當x2=169時，因為（）2=169，（-）2=169，所以x=（）；因為x代表線段長，所以x=（）。3（2）當x2=5時，因為（）2=5，（-）2=5，所以x=±（）；（）。

4.引導學生歸納結論：使x2=a（a≥0）成立的數有兩個，它們互為相反數。

5.引導學生抽象定義：（文字表達）如果一個數的平方等于a（a≥0），那么這個數叫作a的平方根，也稱為二次方根。（符號表達）如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根，也稱為二次方根。正數a的兩個平方根記作“±a”，讀作“正、負根號a”。

6.引導學生給出定義：求一個數的平方根的運算叫作開平方。

（四）點全解析理解透，示范表達顯規(guī)范

1.引導學生交流：下列各數有平方根嗎？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由。9、5、925、0.16、0、-36、-0.01、-8、-49。

2.引導學生歸納：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。

3.出示例1：求下列各數的平方根。（1）25；（2）1681；（3）15；（4）0.09。

4.出示例2：求下列各式中的x。（1）x2=196；（2）4x2=81；（3）5x2-10=0；（4）36（x-1）2-25=0。

5.引導學生總結反思：例1可以直接利用開平方運算求出平方根，需要注意的是表達規(guī)范；例2是要間接利用開平方運算求出x，如果我們換個視角，把x看成未知數，那么條件給出的就是關于x的方程（這類方程你學過嗎），可見開平方可以解一類特殊的一元二次方程（這個具體留在初三分解）。

（五）回顧反思勤拓展，遙望新知尋遠點

1.引導學生總結所學知識：開平方的定義；平方根的定義。

2.引導學生總結思想方法：從特殊到一般的歸納；數學抽象。

3.引導學生總結知識價值：數的發(fā)展完善；數的運算完備。

4.引導學生解決拓展練習：（1）已知5x-1的平方根是±3，4x+2y+1的平方根是±1，求4x-2y的平方根。（2）已知（x+y+2）（x+y-2）=45，則x+y的值是。

5.引導學生提出延伸問題：（1）數學中平方根往往有2個，而生活中往往只取其中的1個正的。據此你能提出什么問題？（因為平方根有2個，它們互為相反數，所以只要研究其中的一個，就可以知道另外一個，是否可以只研究正的平方根？）（2）平方是乘方的特殊情形，開平方得平方根是開方的特殊情形。據此你能提出什么問題？（立方也是乘方的特殊情形，開立方能得到什么呢？而一般的開方又能得到什么呢？）（3）通過本節(jié)課的學習，你覺得本章主要會研究哪些內容？（開平方、平方根、正的平方根；開立方、立方根；開方、n次方根；實數的定義和運算。）

事實上，教材解讀可以有許多不同的視角，教學設計可以有許多不同的方案，但是不管如何解讀與設計，教材解讀應該成為教學設計的前奏曲。從上述案例及分析中可以看出，“點全—線聯—面融式”教材解讀是一種有效的方法，跟進的“知識—思想—素養(yǎng)式”教學設計是一種優(yōu)化的方案。在此基礎上，結合章建躍教授的“理解教學”，演奏課堂教學主旋律，必定會既立足當前，又著眼發(fā)展，使數學課堂教學之路越“奏”越寬。

*本文系江蘇省“十二五”教育科學規(guī)劃（初中教育專項）課題“初中數學教材‘點全·線聯·面融式’課時解讀的實踐研究”（編號：Ec/2015/26）的階段性研究成果之一。

參考文獻：

[1] 浦敘德.數學教師的學習之材與研究之道[J].中學數學教學參考（中旬），2015（10）.

[2] 浦敘德.課堂引入情境：既要選好，更要用好！[J].中學數學（初中），2016（2）.

[3] 浦敘德.初中代數“用……解決問題”課時的解讀與設計[J].中學數學（初中），2016（7）.

[4] 浦敘德.初中數學教材解讀的幾個視角[J].中學數學教學參考（中旬），2016（11）.