摘要：任教于兩個平行班級的教師如果能夠自覺反思、發(fā)現(xiàn)在前一個班級的教學(xué)過程中的不足之處，并在后一個班級的教學(xué)過程中自我修正，作出調(diào)整、改進，則能有效地提升自身教學(xué)質(zhì)量和專業(yè)素養(yǎng)。以針對平行班級先后教學(xué)的兩節(jié)“兩直線的交點”課為例，談?wù)n堂教學(xué)中對課堂引入、方法實質(zhì)一致性說明、解題方法生成、問題變式處理、課堂小結(jié)的自我修正過程及感悟。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)自我修正兩直線的交點

在日常教學(xué)中，很多任教于兩個平行班級的教師常常把后一個班級的課堂教學(xué)變成前一個班級課堂教學(xué)的“實況錄播”，即一成不變地再現(xiàn)之前的教學(xué)過程。這樣做一方面不符合因材施教、以學(xué)定教的教學(xué)原則，因為即使是平行班級，畢竟學(xué)生是不同的，學(xué)情也會有所不同；另一方面錯過了自我修正，從而提升自身教學(xué)質(zhì)量和專業(yè)素養(yǎng)的機會，因為“教學(xué)是遺憾的藝術(shù)”，而且在常態(tài)教學(xué)中教師課前思考得較多的往往只能是教學(xué)內(nèi)容和課堂結(jié)構(gòu)等，故而在前一個班級的教學(xué)過程中一定會有處理不完善甚至不合理之處。

因此，任教于兩個平行班級的教師如果能夠自覺反思、發(fā)現(xiàn)在前一個班級的教學(xué)過程中的不足之處，并在后一個班級的教學(xué)過程中自我修正，作出調(diào)整、改進，則能有效地提升自身教學(xué)質(zhì)量和專業(yè)素養(yǎng)。

下面，以筆者領(lǐng)銜的名師工作室為研討“課堂教學(xué)的自我修正”而開設(shè)的兩節(jié)課為例，談?wù)務(wù)n堂教學(xué)自我修正的過程及感悟。這兩節(jié)課由筆者先后執(zhí)教本校高二年級的1班和2班，教學(xué)內(nèi)容都是蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修2中的“兩直線的交點”。

一、對課堂引入的修正

第一次教學(xué)——

師同學(xué)們，直線l1：y=k1x+b1與直線l2：y=k2x+b2的位置關(guān)系如何？

生若k1≠k2，則兩直線相交；若k1=k2且b1≠b2，則兩直線平行；若k1=k2且b1=b2，則兩直線重合。

師很好！這種判斷方法充分體現(xiàn)了解析法的本質(zhì)——用代數(shù)方法解決幾何問題。除此之外，還有什么方法可以判斷兩直線的位置關(guān)系呢？

[教師期待學(xué)生發(fā)現(xiàn)，可以通過研究兩直線方程構(gòu)成的方程組的解的組數(shù)進行判斷，但是經(jīng)過獨立思考、討論交流，只有極少數(shù)學(xué)生（有的還是預(yù)習(xí)過的）考慮到了可以利用這種方法進行判斷，于是教師只能告訴大家這種判斷的方法。]

第二次教學(xué)——

師請大家在同一直角坐標(biāo)系中畫出下列兩個函數(shù)圖像：y=2x+1，y=3x-1，并觀察它們的位置關(guān)系。

生（畫圖觀察后）相交。

師你們是如何確定它們相交的？

生可以求得這兩條直線的交點坐標(biāo)為（2， 5），因為只有一個交點，所以它們一定相交。

師那你們是如何求出它們的交點坐標(biāo)的？

生解兩直線方程構(gòu)成的方程組，即得它們的交點坐標(biāo)。

師如果兩直線方程分別是y=3x+1和y=3x-1，即它們構(gòu)成的方程組將無解，又作何說明？

生說明這兩條直線平行。

師好的。那么判斷兩條給定方程的直線的位置關(guān)系，除了我們已經(jīng)研究過的利用方程中參數(shù)的特征以外，還有其他方法嗎？

生還可以研究兩直線方程構(gòu)成的方程組解的個數(shù)，即兩直線交點的個數(shù)。

課堂的引入應(yīng)該具備激發(fā)思考、引發(fā)探究、有利于發(fā)現(xiàn)的功能。第一次教學(xué)中的問題“還有什么方法可以判斷兩直線的位置關(guān)系”過于開放，使得學(xué)生無法確定思考的方向，因而缺乏引導(dǎo)、激發(fā)的功能。自我修正后，第二次教學(xué)中，教師從學(xué)生熟悉的實例出發(fā)，通過對問題的巧妙變形、設(shè)問，使得學(xué)生自覺地運用從特殊到一般的思維方式，歸納概括得出了求兩直線交點的方法和判斷兩直線位置關(guān)系的新策略，經(jīng)歷了由感性認(rèn)識到理性思考的知識建構(gòu)過程，培養(yǎng)了探究與發(fā)現(xiàn)的能力。

二、對方法實質(zhì)一致性說明的修正

第一次教學(xué)——

師通過以上研究，我們獲得了兩種判斷直線位置關(guān)系的方法，它們都是運用代數(shù)方法研究幾何問題，這兩種方法的實質(zhì)是一致的。下面請看例題。

……

第二次教學(xué)——

師我們現(xiàn)在有了兩種判斷直線位置關(guān)系的方法，分別是研究兩直線方程中系數(shù)的關(guān)系和求出方程組解的個數(shù)，均體現(xiàn)了運用代數(shù)方法研究幾何問題的基本思想。這兩種方法之間有關(guān)系嗎？

[師生共同研究：設(shè)l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，聯(lián)立得方程組，消元得（A1B2-A2B1）x=B1C2-B2C1，該方程無解、一解、無數(shù)解（對應(yīng)原方程組無解、一解、無數(shù)解）時兩直線平行、相交、重合，其滿足的條件恰好與直接用直線方程中的系數(shù)確定位置關(guān)系的條件一致，由此可見，這兩種代數(shù)方法的實質(zhì)是相同的。]

教學(xué)，尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)，需要“講理”，不能把知識強制“塞”給學(xué)生。第一次教學(xué)中，教師“霸權(quán)”地告訴學(xué)生這兩種方法的實質(zhì)是一致的。對此多數(shù)學(xué)生會一頭霧水：為何實質(zhì)是一致的？部分學(xué)生出于面子考慮和從眾心理，會帶著朦朧感點頭稱是，但是心存的疑惑并沒有真正消除。自我修正后，第二次教學(xué)中，師生共同研究，由二元一次方程組解的個數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，獲得了方法一致性的結(jié)論。學(xué)生親歷驗證的過程，既增強了符號化的意識，也感受了數(shù)學(xué)的和諧美，更培養(yǎng)了實事求是的科學(xué)精神。

三、對解題方法生成的修正

兩次教學(xué)中教師都出示了如下問題：設(shè)直線l過坐標(biāo)原點，且經(jīng)過兩直線l1：2x+3y+8=0和l2：x-y-1=0的交點，求直線l的方程。學(xué)生都展示如下解法：先求出兩直線的交點坐標(biāo)（-1，-2），再由直線l過坐標(biāo)原點易得其方程為2x-y=0。

第一次教學(xué)——

師同學(xué)們還有不同的想法嗎？

（學(xué)生冥思苦想，沒能想出其他更好的方法。）

師我給大家介紹一種更為巧妙的方法——利用兩直線的交點系方程求解。

（教師介紹方法。）

師請同學(xué)們研究教材P95的思考題：已知直線l1：2x+3y+8=0和l2：x-y-1=0，則方程（2x+3y+8）+m（x-y-1）=0（m為任意實數(shù)）表示的直線有什么特點？

生（異口同聲）經(jīng)過兩直線l1、l2的交點。

第二次教學(xué)——

師這種解法思路自然，只是運算略顯煩瑣。是否還有更為簡便的方法呢？（稍停）請同學(xué)們研究教材P95的思考題：已知直線l1：2x+3y+8=0和l2：x-y-1=0，則方程（2x+3y+8）+m（x-y-1）=0（m為任意實數(shù)）表示的直線有什么特點？

（學(xué)生思考并討論。）

生方程表示的直線經(jīng)過直線l1、l2的交點。

師有何啟發(fā)？

生之前的問題有了新的解法：設(shè)所求直線方程為（2x+3y+8）+m（x-y-1）=0，根據(jù)直線過原點可以求得m=8，從而直線的方程為2x-y=0。這個解法比原來的解法簡單了許多。

師棒極了！這種方法無需求兩直線交點，使得求解過程更為簡捷。能夠確定經(jīng)過兩直線交點的直線方程均可這樣設(shè)定嗎？

（師生對一般情形下經(jīng)過兩直線交點的直線系進行探究。）

教學(xué)不是告訴，也不是闡明，而是在教師主導(dǎo)下的師生共同探究的過程。教師的主導(dǎo)策略和藝術(shù)對學(xué)生能力的培養(yǎng)起著重要作用。第一次教學(xué)中，教師希望有個別“神童”級的學(xué)生能夠“代言”用交點系解題的方法，以表明是學(xué)生的自主發(fā)現(xiàn)，但是最終未能如愿，只能自己“告訴”學(xué)生。這里，教師的“導(dǎo)”實則是“灌”，同時也使得教材中思考題的思維含量喪失殆盡。自我修正后，第二次教學(xué)中。教師對教材進行合理的整合，先對教材中的思考題進行研究，讓學(xué)生自我感悟并發(fā)現(xiàn)用交點系解題的方法。這里，教師的“導(dǎo)”是合理的“引”，充分地激發(fā)了學(xué)生的主動學(xué)習(xí)潛能，有效地提升了學(xué)生的遷移能力和應(yīng)用意識。

四、對問題變式處理的修正

兩次教學(xué)中教師都出示了如下問題變式：設(shè)直線l過坐標(biāo)原點，且分別與直線l1：2x+3y+8=0和l2：x-y-1=0交于點A、B，若線段AB的中點恰好為原點，求直線l的方程。

第一次教學(xué)——

教師請四位同學(xué)板演，得到兩種不同的解法：（1）先證明直線l的斜率一定存在，故而可以設(shè)直線l的方程為y=kx，解方程組分別求得點A、B的橫坐標(biāo)xA=-82+3k，xB=11-k，由AB中點為坐標(biāo)原點可得xA+xB=0，由此可得k=611，從而所求直線l的方程為y=611x。（2）由點A、B分別在直線l1、l2上，可設(shè)點Aa，-2a+83、B（b，b-1），由AB的中點為坐標(biāo)原點可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，由此可以求得b=-a=115，從而可得直線l的方程為y=611x。

然后，教師對四位學(xué)生的解題過程逐一評析，對其中的不完善之處作了修改，并對兩種解法的優(yōu)劣作了比較：這兩種方法都充分體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，第一種方法思路自然但運算較繁，第二種方法則更為簡捷。

第二次教學(xué)——

師同學(xué)們，我感覺這道變式題表述得有點啰嗦，大家能否把它修改得更為簡潔？

（學(xué)生興致高漲。）

生可以把條件“直線l過坐標(biāo)原點”去掉，修改為：設(shè)直線l分別與直線l1：2x+3y+8=0和l2：x-y-1=0交于點A、B，若線段AB的中點為原點，求直線l的方程。

師真好！這樣的表述比原來更為簡潔，大家讀題時有什么不同的感覺嗎？

生沒有原來直白了，“直線l過坐標(biāo)原點”需要通過分析才能發(fā)現(xiàn)。

師非常棒，很有見地！這就是所謂的挖掘“隱含條件”，也是我們審題過程中需要著力培養(yǎng)的能力。下面請同學(xué)們獨立完成這道變式題。

（四位同學(xué)板演，所得解法同第一次教學(xué)。）

師請大家對照自己的解法，對這四位同學(xué)的解答過程進行評析。

（多位學(xué)生主動來到講臺前，用紅筆打鉤或進行修改、補充，尤其對解法一中l(wèi)斜率的說明進行了多次修改。最后，教師對學(xué)生的解題方法和評析作了肯定的評價。）

師解法一應(yīng)該是多數(shù)同學(xué)最為自然的想法，那么你們?yōu)楹芜€能想到解法二？

生解法一雖然自然，但是運算量較大，于是我就考慮是否有更為簡便的方法。對照條件，要求經(jīng)過一個定點的直線方程，除了可以求其斜率，還可以考慮求出直線上另一個點，所以我就嘗試求點A或B了。

師太棒了！在獲得一種求解的思路后，進一步思考是否有更為簡單的思路，這種求簡的意識和選擇的習(xí)慣難能可貴。這兩種方法雖然繁簡程度有所不同，但是蘊含了一個共同的數(shù)學(xué)思想——方程的思想，這也是我們探求曲線方程的常用數(shù)學(xué)思想。

例題教學(xué)不是展示教師的解題技巧，也不是“秀”個別學(xué)生的解題方法；在鞏固知識、訓(xùn)練技能的同時，培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣，感悟蘊含的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的綜合能力，才是其最終目的。審題是解題的關(guān)鍵程序。第二次教學(xué)中，教師讓學(xué)生主動修改題面，以此促進學(xué)生深入剖析題意，不失為指導(dǎo)學(xué)生審題的又一良策。例題教學(xué)要展示解法，更要暴露思維過程。第一次教學(xué)主要關(guān)注學(xué)生“怎么解”，而第二次教學(xué)還關(guān)注學(xué)生“為何這樣解”，更加有益于提升學(xué)生的解題能力，強化學(xué)生的求簡意識，培養(yǎng)學(xué)生的選擇習(xí)慣。課堂上的交流互動不應(yīng)只是師生互動，還應(yīng)注重生生互動。第一次教學(xué)中，教師對學(xué)生的板演進行評析、修改，這是我們經(jīng)常采用的教學(xué)手段，但是缺少了學(xué)生自己的分析、評判過程，使得學(xué)生缺乏主動性、參與性，也使得板演中所出現(xiàn)的錯誤的作用大打折扣；而第二次教學(xué)中，教師讓學(xué)生去思考、評價，這才是更高層次的學(xué)生主體性的體現(xiàn)，更加有益于學(xué)生能力的提升。

五、對課堂小結(jié)的修正

第一次教學(xué)——

師同學(xué)們，這一課我們學(xué)習(xí)了……

（教師從知識、方法、思想等方面對本節(jié)課作了簡要的概括總結(jié)。）

第二次教學(xué)——

師同學(xué)們，請大家盤點一下：本節(jié)課你在知識、技能、意識等方面有哪些收獲？

（教師先讓學(xué)生思考，概括總結(jié)并互相交流，最后自己作總結(jié)發(fā)言。）

課堂小結(jié)是對一節(jié)課的總結(jié)、延伸，有利于學(xué)生進行深層次的建構(gòu)，是提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力不可或缺的重要過程。第一次教學(xué)中，教師對本節(jié)課作了陳述性描述，使得學(xué)生成為被動收聽者，沒有自主思考過程，參與度不高，不能形成更深刻的認(rèn)識。自我修正后，第二次教學(xué)中，教師通過明確的引導(dǎo)，將這一過程交由學(xué)生完成，讓他們自我盤點、思考，使知識方法、數(shù)學(xué)思想等得以強化，更增強了學(xué)生反思的習(xí)慣和意識，培養(yǎng)了思維的概括性。

上述自我修正的示范可以說明，“在教學(xué)中我們能學(xué)會教學(xué)”，而“簡單的事情重復(fù)做，你將成為專家”——這里的“重復(fù)”不是一成不變的完全拷貝，而是思考、加工、調(diào)整后的重新顯現(xiàn)。教師教學(xué)質(zhì)量和專業(yè)素養(yǎng)的提升離不開專家引領(lǐng)、學(xué)習(xí)進修等“外力”作用，但是更多地需要在每天的常態(tài)教學(xué)工作中勤于思考、自我修正的“內(nèi)力”作用。我們應(yīng)該在常態(tài)教學(xué)中增強研究意識，在重視課前準(zhǔn)備和課后反思的同時注重課中的思考，并通過課堂實踐，在教材的利用、教學(xué)方法的實施、教學(xué)環(huán)節(jié)的處理等方面作出及時、有效的修正，使得我們的教學(xué)更有益于學(xué)生素養(yǎng)的提升，促進學(xué)生全面、持續(xù)、和諧發(fā)展，同時使自己的專業(yè)素養(yǎng)獲得新的增長。

參考文獻：

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