摘 要：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生應(yīng)具備的、適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)包括七種成分：數(shù)學(xué)抽象、推理能力、運(yùn)算能力、建模與數(shù)據(jù)處理、空間能力、問(wèn)題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格。從數(shù)學(xué)教育心理學(xué)角度審視，陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)分別是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的基礎(chǔ)、中介；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展有年齡規(guī)律和水平劃分。要培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力，至少要厘清數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵期，并助推學(xué)生實(shí)現(xiàn)由知識(shí)理解到知識(shí)遷移進(jìn)而到知識(shí)創(chuàng)新的過(guò)渡和提升。

關(guān)鍵詞：PME 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 知識(shí)分類 認(rèn)知發(fā)展 培養(yǎng)策略

簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（Psychology of Mathematics Education，簡(jiǎn)記為PME）是研究學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律以及教師如何根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律進(jìn)行有效教學(xué)設(shè)計(jì)的學(xué)科。作為教育心理學(xué)的下位概念，PME正式提出是在20世紀(jì)70年代；這門(mén)學(xué)科歷史雖短，發(fā)展勢(shì)頭卻方興未艾。隨著全球化的教育改革，PME對(duì)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)和教師教數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用日顯突出；特別是在目前的教育背景下，從PME視角透析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其培養(yǎng)無(wú)疑是必要的。

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

教育部在《關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中明確界定了核心素養(yǎng)，即學(xué)生應(yīng)具備的、適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。作為核心素養(yǎng)的下位概念，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)即學(xué)生應(yīng)具備的、適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力。

對(duì)于品格，漢語(yǔ)的解釋一般為品性、品行；英語(yǔ)的解釋通常是品質(zhì)、特性，指一個(gè)人具有的性格和道德（ones character and morals）。心理學(xué)則把品格與性格等同看待，這里所說(shuō)的性格是指具有道德評(píng)價(jià)意義的層面，例如，“對(duì)人對(duì)事的態(tài)度誠(chéng)實(shí)、正直、勤奮、忠勇等都是人們公認(rèn)的好品格（性格），而虛偽、偏見(jiàn)、自私、懶惰等則是不好的品格（性格）”。也有觀點(diǎn)把品格作為人格的研究范疇，認(rèn)為“人格特征通常是指非認(rèn)知的、表現(xiàn)在人際交往過(guò)程中的、穩(wěn)定的心理傾向和行為模式?！本C合這些觀點(diǎn)，可以把品格解釋為一個(gè)人所具有的品德和人格。品格屬于非認(rèn)知范疇。

對(duì)于能力，心理學(xué)的解釋（界定）是清晰的（也是公認(rèn)的），即在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，直接影響活動(dòng)效率，使活動(dòng)得以完成的個(gè)體穩(wěn)定的心理特征；從斯皮爾曼（Spearman）的二因素智力研究開(kāi)始，已形成大量的研究成果。林崇德先生對(duì)智力和能力的區(qū)別作了解讀：智力偏于認(rèn)識(shí)，它看重解決知與不知的問(wèn)題；能力偏于活動(dòng)，它看重解決會(huì)與不會(huì)的問(wèn)題。其實(shí)，現(xiàn)在所說(shuō)的能力是智力與能力的綜合。能力屬于認(rèn)知范疇。

顯然，發(fā)展學(xué)生的必備品格是各個(gè)學(xué)科共同的教育任務(wù)，而發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力則是數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的教育目標(biāo)。下面的討論，主要是針對(duì)關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力展開(kāi)的。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分

這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念的外延問(wèn)題。唯有厘清這些要素，才有可能獲得課程和教學(xué)設(shè)計(jì)的操作性意義。

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)成分：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、幾何直觀、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。對(duì)這六個(gè)要素進(jìn)行剖析，可以看到其中的一些不足：第一，這六個(gè)要素沒(méi)有涵蓋數(shù)學(xué)文化，而對(duì)于品格的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)文化的角色是無(wú)可替代的。第二，既然邏輯推理包含演繹推理和合情推理，那么“邏輯推理”這個(gè)詞的用法就不準(zhǔn)確；一般說(shuō)來(lái)，邏輯推理與演繹推理同義，因而用“數(shù)學(xué)推理”更好。第三，這六個(gè)要素本質(zhì)上是六種能力，是在傳統(tǒng)三大能力的基礎(chǔ)上增加了三種能力，因此直接稱為能力更具有可操作性特征。第四，這六個(gè)要素的提出雖然征求了不同群體的一些意見(jiàn)，但是主要是專家思辨的結(jié)果，因而研究方法是有缺陷的。

針對(duì)這些情況，我們對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素析取作了實(shí)證研究。通過(guò)大樣本調(diào)查、因素分析和聚類分析，我們提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的七種成分：數(shù)學(xué)抽象、推理能力、運(yùn)算能力、建模與數(shù)據(jù)處理、空間能力、問(wèn)題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格。與專家組提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分相比，增加了數(shù)學(xué)文化和問(wèn)題解決要素，合并了數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析要素。特別需要說(shuō)明的是，雖然建模與數(shù)據(jù)處理也是問(wèn)題解決，但是它們只是問(wèn)題解決中的一小部分；而數(shù)學(xué)交流能力、數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)變換能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、數(shù)學(xué)解題能力等都與問(wèn)題解決相關(guān)，它們的公共因素就是問(wèn)題解決，這是前面六種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分無(wú)法涵蓋的。

三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)把知識(shí)分為陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)，前者指“是什么”的知識(shí)，后者指“怎么做”的知識(shí)。按照這種對(duì)知識(shí)的廣義分類，傳統(tǒng)意義上的知識(shí)對(duì)應(yīng)于陳述性知識(shí)，技能對(duì)應(yīng)于程序性知識(shí)。進(jìn)一步將技能分解為兩個(gè)亞類：一類用于對(duì)外辦事（通過(guò)練習(xí)可以達(dá)到相對(duì)自動(dòng)化），另一類用于對(duì)內(nèi)調(diào)控（受個(gè)體意識(shí)控制）。這樣就與加涅（Gagne）把學(xué)習(xí)結(jié)果分為言語(yǔ)信息、智慧技能、認(rèn)知策略產(chǎn)生了對(duì)應(yīng)：言語(yǔ)信息對(duì)應(yīng)陳述性知識(shí)，智慧技能對(duì)應(yīng)能相對(duì)自動(dòng)化的程序性知識(shí)，認(rèn)知策略對(duì)應(yīng)受意識(shí)控制的程序性知識(shí)。顯然，如果智慧技能的成分對(duì)應(yīng)于技能，那么認(rèn)知策略的成分則表現(xiàn)為能力。于是，認(rèn)知心理學(xué)的這種廣義知識(shí)分類方法把傳統(tǒng)意義上的知識(shí)和方法都納入知識(shí)的范疇，而且把能力作為知識(shí)的一種形式，使知識(shí)與能力得到統(tǒng)一。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)是關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力，因此數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的本源是知識(shí)。

（一）陳述性知識(shí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的基礎(chǔ)

教材上羅列的定義、公理、定理、法則等均屬于陳述性知識(shí)，它們說(shuō)明這個(gè)對(duì)象是什么，有什么特性。如同做菜要有食材，制造產(chǎn)品要有原料一樣，陳述性知識(shí)是學(xué)習(xí)的原材料，是核心素養(yǎng)生成的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的各個(gè)要素不可能脫離陳述性知識(shí)而獨(dú)立存在，它們根植于陳述性知識(shí)。

例如，“數(shù)學(xué)抽象”是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程；它主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征。

一個(gè)概念的產(chǎn)生必然要用到其他概念，要抽象出一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念（陳述性知識(shí)），必須以理解舊的概念（陳述性知識(shí)）為前提；同樣，要知道數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系（陳述性知識(shí)），就應(yīng)當(dāng)對(duì)概念體系中的每一個(gè)概念（陳述性知識(shí)）有清晰的理解。

又如，“數(shù)學(xué)推理”是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過(guò)程；它主要包括從小范圍成立的命題推斷大范圍內(nèi)也成立的命題（形式主要有歸納、類比），從大范圍成立的命題推斷小范圍內(nèi)也成立的命題（形式主要為演繹）。事實(shí)上，推理就是由判斷推出新判斷或由命題推出新命題的過(guò)程，掌握前提性判斷或命題是推出新判斷或命題的基礎(chǔ)，而這些前提性判斷或命題就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)具備的陳述性知識(shí)。

（二）程序性知識(shí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的中介

陳述性知識(shí)與程序性知識(shí)并不是相互獨(dú)立的：靜態(tài)地看待一個(gè)概念或規(guī)則，它就是陳述性知識(shí)，是一種結(jié)果與事實(shí)；動(dòng)態(tài)地應(yīng)用這個(gè)概念或規(guī)則去解決問(wèn)題，它就是程序性知識(shí)，是一種過(guò)程與方法。程序性知識(shí)是如何做一件事情的程序、步驟的知識(shí)，其表征形式是頭腦中形成一系列“如果……那么……”的產(chǎn)生式。有了優(yōu)質(zhì)的食材后要烹飪美味的佳肴，有了合格的原料后要加工優(yōu)良的產(chǎn)品，都必須制定合理的加工程序，選擇匹配的加工方法，而程序性知識(shí)扮演的就是這一角色。在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的過(guò)程中，程序性知識(shí)起著一種中介作用。

例如，“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程；它主要包括理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果。在這個(gè)過(guò)程中，掌握運(yùn)算法則是基礎(chǔ)，而運(yùn)算法則本身給出了運(yùn)算的程序和規(guī)定；只有熟練掌握這些方法，即程序性知識(shí)，才可能發(fā)展運(yùn)算能力。

又如，“數(shù)學(xué)建?！笔侵笇?duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象，構(gòu)建模型，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的思維過(guò)程；它主要包括在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終得到符合實(shí)際的結(jié)果。在這個(gè)過(guò)程中，掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，根據(jù)具體情況合理地選擇數(shù)學(xué)模型是前提，而諸如方程模型、不等式模型、線性規(guī)劃、概率模型等數(shù)學(xué)模型本身就包含一套方法；要實(shí)現(xiàn)建模能力的發(fā)展，必須熟練掌握這些方法，即程序性知識(shí)。

四、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展有兩層涵義：一是指不同年齡階段學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展情況，即數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的年齡差異；二是指同一年齡階段學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展情況，即數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的水平差異。

（一）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的年齡規(guī)律

兒童發(fā)展的心理研究總體上分為兒童的身體發(fā)展、認(rèn)知發(fā)展和社會(huì)情緒發(fā)展三個(gè)領(lǐng)域，而認(rèn)知發(fā)展領(lǐng)域的研究成果最為豐富。皮亞杰把智力或思維的發(fā)展分為感知運(yùn)動(dòng)（0～2歲）、前運(yùn)算思維（2～7歲）、具體運(yùn)算思維（7～11歲）和形式運(yùn)算思維（11～15歲）四個(gè)階段，認(rèn)為各個(gè)階段都有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)，按從低到高的秩序發(fā)展。朱智賢、林崇德等一大批中國(guó)學(xué)者的研究表明：（1）在小學(xué)階段，學(xué)生會(huì)逐步從具體形象思維過(guò)渡到以抽象邏輯思維為主的形式，但是仍然帶有很大的具體性。（2）小學(xué)生思維由具體形象思維到抽象邏輯思維的過(guò)渡是思維發(fā)展中的飛躍或質(zhì)變；其中存在一個(gè)轉(zhuǎn)折時(shí)期（四年級(jí)，約10～11歲），這個(gè)轉(zhuǎn)折時(shí)期就是小學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵年齡。（3）小學(xué)生逐步具備了人類思維的完整結(jié)構(gòu)，但是這個(gè)思維結(jié)構(gòu)還有待于進(jìn)一步完善和發(fā)展。（4）小學(xué)生思維從具體形象思維向抽象邏輯思維的發(fā)展存在不平衡性。（5）中學(xué)生抽象邏輯思維的發(fā)展存在關(guān)鍵期和成熟期。（6）中學(xué)生智力和能力的發(fā)展存在不平衡性。

這些研究說(shuō)明，中小學(xué)階段的學(xué)習(xí)對(duì)人的一生發(fā)展至關(guān)重要，必備品格（屬于社會(huì)情緒領(lǐng)域）和關(guān)鍵能力（屬于認(rèn)知領(lǐng)域）大多在這個(gè)階段習(xí)得。教師只有明確學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展規(guī)律，才能做到在關(guān)鍵時(shí)期培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力——這正是從PME視角考察數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的意義所在。

（二）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的水平劃分

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的本源是知識(shí)，然而只有生成，沒(méi)有生長(zhǎng)，就不會(huì)形成能力。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展要經(jīng)過(guò)知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新三個(gè)階段（三級(jí)水平）。

一級(jí)水平：知識(shí)理解。知識(shí)理解的第一層涵義是指對(duì)知識(shí)的本質(zhì)、類屬以及與其他知識(shí)的聯(lián)系的理解。知識(shí)理解既是一個(gè)過(guò)程，即利用已有經(jīng)驗(yàn)和已學(xué)知識(shí)同化或順應(yīng)新知識(shí)的過(guò)程；又是一種結(jié)果，即對(duì)新知識(shí)的把握和領(lǐng)悟。知識(shí)理解的第二層涵義是指基本技能的形成和發(fā)展。知識(shí)理解不能脫離對(duì)知識(shí)的應(yīng)用，應(yīng)用是理解的必要環(huán)節(jié)。

二級(jí)水平：知識(shí)遷移。知識(shí)遷移是指把理解的知識(shí)、形成的基本技能遷移到不同的情境中去，促進(jìn)新知識(shí)的學(xué)習(xí)或不同情境中問(wèn)題的解決。這些情境包括：（1）現(xiàn)實(shí)情境，即生活相關(guān)的情境、職業(yè)相關(guān)的情境、社會(huì)相關(guān)的情境等。（2）學(xué)科內(nèi)部問(wèn)題情境，即學(xué)科知識(shí)在進(jìn)一步生長(zhǎng)的過(guò)程中產(chǎn)生的問(wèn)題情境，學(xué)科內(nèi)部不同知識(shí)體系中的問(wèn)題情境。（3）跨學(xué)科的問(wèn)題情境，即不屬于本學(xué)科知識(shí)范疇，但與本學(xué)科知識(shí)相關(guān)的問(wèn)題情境。

三級(jí)水平：知識(shí)創(chuàng)新。知識(shí)創(chuàng)新是指生成超越教材規(guī)定內(nèi)容的知識(shí)，或者對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推廣與變式，得到一個(gè)新的問(wèn)題?！皠?chuàng)新”是相對(duì)學(xué)習(xí)者而言的，即對(duì)于他們來(lái)說(shuō)是新知識(shí)、新問(wèn)題。以自我的“發(fā)現(xiàn)”得到知識(shí)，就是知識(shí)創(chuàng)新。知識(shí)創(chuàng)新表明學(xué)習(xí)者形成了學(xué)科思維，能夠領(lǐng)悟?qū)W科思想方法，體會(huì)學(xué)科價(jià)值觀，有批判和反思的意識(shí)，并能夠運(yùn)用學(xué)科思維看待和處理學(xué)科及非學(xué)科的問(wèn)題。形成學(xué)科思維是學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的最高表現(xiàn)。

五、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

（一）厘清數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵期

如前所述，思維的發(fā)展是有一定規(guī)律的，核心素養(yǎng)的發(fā)展也一樣。某種核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵期也就是培養(yǎng)這種核心素養(yǎng)的最佳時(shí)期，一旦錯(cuò)過(guò)這個(gè)時(shí)期，要補(bǔ)上這種核心素養(yǎng)，可能會(huì)事倍功半。某種能力在應(yīng)該培養(yǎng)的時(shí)候沒(méi)有培養(yǎng)，或者在不應(yīng)該培養(yǎng)的時(shí)候培養(yǎng)了，前者坐失良機(jī)，后者拔苗助長(zhǎng)，它們都是教育工作者的失誤。對(duì)此，中小學(xué)教師應(yīng)當(dāng)了解已有的一些研究結(jié)論。例如，數(shù)學(xué)推理能力發(fā)展的關(guān)鍵期是小學(xué)三、四年級(jí)，初中二年級(jí)，高中二年級(jí)；數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力發(fā)展的關(guān)鍵期都是初中二年級(jí)。

（二）助推知識(shí)理解到知識(shí)遷移的過(guò)渡

盡管課程標(biāo)準(zhǔn)擬定了“知識(shí)與技能”“過(guò)程與方法”“情感態(tài)度與價(jià)值觀”的三維教學(xué)目標(biāo)，但是當(dāng)下的教學(xué)和評(píng)價(jià)事實(shí)上只關(guān)注“知識(shí)與技能”。這樣的教學(xué)停留在了知識(shí)理解的層面，從嚴(yán)格意義上說(shuō)只是“知識(shí)教育”，而非“能力教育”。由知識(shí)生成能力的一個(gè)必要環(huán)節(jié)是知識(shí)遷移。教師應(yīng)當(dāng)采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，使學(xué)生：（1）能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)遷移到不同的情境中去，解決與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題、數(shù)學(xué)內(nèi)部情境問(wèn)題、跨學(xué)科情境問(wèn)題；（2）能夠理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，掌握與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的思想方法，判斷數(shù)學(xué)知識(shí)遷移的準(zhǔn)確性和有效性；（3）能夠解決需要多種數(shù)學(xué)知識(shí)介入、多種數(shù)學(xué)方法運(yùn)用的常規(guī)性復(fù)雜問(wèn)題。

（三）實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移向知識(shí)創(chuàng)新的提升

知識(shí)遷移本質(zhì)上還是學(xué)習(xí)者以旁觀者的身份介入學(xué)習(xí)，而要培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，學(xué)習(xí)者必須以參與者的身份介入學(xué)習(xí)，即在學(xué)習(xí)的過(guò)程中有自己的發(fā)言權(quán)，能融入自己的觀點(diǎn)、意見(jiàn)、思想——這就是知識(shí)創(chuàng)新層面的涵義。在教學(xué)中，教師要在知識(shí)遷移的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升學(xué)生的思維水平，使學(xué)生：（1）具有探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)，即在學(xué)習(xí)中養(yǎng)成觀察、反思的習(xí)慣，具有善于提問(wèn)、樂(lè)于思考的行為；（2）具備探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，即具有敏銳的直覺(jué)能力、合情推理能力、批判性思維能力和檢驗(yàn)論證能力，能夠提出富有見(jiàn)解的猜想，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行證偽和證實(shí)；（3）具備解決非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，即能夠靈活運(yùn)用知識(shí)和方法解決非常規(guī)性問(wèn)題；（4）形成數(shù)學(xué)思維，即能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思維對(duì)事物進(jìn)行判斷和分析，初步形成數(shù)學(xué)特定的認(rèn)識(shí)世界和改造世界的世界觀和方法論。

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