摘 要：應(yīng)用手持技術(shù)，學(xué)生便可以對高中數(shù)學(xué)教材“閱讀材料”中的一些具有一定挑戰(zhàn)性的問題和結(jié)論展開實(shí)驗探究活動，從而教師便可以創(chuàng)設(shè)、開發(fā)更加直觀、便捷的教學(xué)情境和資源，展開“閱讀材料”的教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和效果。以基于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中的“閱讀材料”“正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加”設(shè)計的《從波的疊加到函數(shù)的合成》一課為例加以說明。

關(guān)鍵詞：手持技術(shù) 閱讀材料 教學(xué)設(shè)計 函數(shù)的合成

根據(jù)新課標(biāo)理念，現(xiàn)行各個版本的高中數(shù)學(xué)教材大多設(shè)置了“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術(shù)應(yīng)用”“鏈接”等“閱讀材料”。這些拓展性的內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)課程不可分割的一部分，有其獨(dú)特的價值：如提高數(shù)學(xué)課程的思想性、實(shí)踐性、趣味性與挑戰(zhàn)性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，發(fā)展學(xué)生“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”的意識等。同時，這些拓展性的內(nèi)容也在教學(xué)理念和方式上對傳統(tǒng)、常規(guī)的數(shù)學(xué)教學(xué)提出了挑戰(zhàn)：由于缺少評價手段的約束、教學(xué)條件的支持以及對相關(guān)豐富多樣內(nèi)容的理解、開放多變問題的研究，大多數(shù)教師沒有重視或認(rèn)識不到這部分內(nèi)容的教育價值與功能，沒有思考或不能設(shè)計這部分內(nèi)容的教學(xué)（在課堂上往往根本不講或者流于形式地一帶而過）。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理念提倡，數(shù)學(xué)教學(xué)要經(jīng)歷一個探究、發(fā)現(xiàn)的過程，并從生活走進(jìn)課堂，從課堂走向社會，從而培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維品質(zhì)，并讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識的來源和去向。弗賴登塔爾曾指出：“要實(shí)現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)教育，必須從根本上以不同的方式組織教學(xué)，否則在傳統(tǒng)的課堂里，‘再創(chuàng)造’的方法也不可能使學(xué)生得到自由的發(fā)展。”現(xiàn)代信息技術(shù)的蓬勃發(fā)展對數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了深刻的影響。對此，章建躍博士繼“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”的“三個理解”后提出了“第四個理解”——“理解技術(shù)”。圖形計算器是根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，并針對提高學(xué)生收集、處理信息和分析、解決問題的能力而設(shè)計的重要手持技術(shù)工具，是待開發(fā)的學(xué)生多樣化、個性化學(xué)習(xí)的平臺。

應(yīng)用手持技術(shù)，學(xué)生便可以對高中數(shù)學(xué)教材“閱讀材料”中的一些具有一定挑戰(zhàn)性的問題和結(jié)論展開實(shí)驗探究活動，從而教師便可以創(chuàng)設(shè)、開發(fā)更加直觀、便捷的教學(xué)情境和資源，展開“閱讀材料”的教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和效果。下面，以基于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修4第3章第2節(jié)“二倍角的三角函數(shù)”后的“閱讀材料”“正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加”設(shè)計的《從波的疊加到函數(shù)的合成》一課為例加以說明。

一、課例分析

（一）閱讀材料，集中呈現(xiàn)

教師呈現(xiàn)經(jīng)過整理的分別來源于“百度百科”和教材“鏈接”欄目、例題的如下三組“閱讀材料”：

材料1——疊加原理

在物理學(xué)與系統(tǒng)理論中，疊加原理（superposition principle）也叫疊加性質(zhì)（superposition property），即：對任何線性系統(tǒng)，“在給定地點(diǎn)與時間，由兩個或多個刺激產(chǎn)生的合成反應(yīng)是由每個刺激單獨(dú)產(chǎn)生的反應(yīng)之和”。

也就是說，如果輸入A產(chǎn)生反應(yīng)X，輸入B產(chǎn)生反應(yīng)Y，則輸入A+B產(chǎn)生反應(yīng)X+Y。例如，物理學(xué)中幾個外力作用于一個物體上所產(chǎn)生的加速度，等于各個外力單獨(dú)作用在該物體上所產(chǎn)生的加速度的總和。

疊加原理的適用范圍非常廣泛，數(shù)學(xué)上線性方程、線性問題的研究，便經(jīng)常使用疊加原理。

材料2——正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加

材料3——光的照度問題

問題：強(qiáng)度分別為a、b的兩個光源A、B間的距離為d，試問：在連結(jié)兩光源的線段AB上，何處照度最小？試就a=8，b=1，d=3時回答上述問題。（照度與光的強(qiáng)度成正比，與光源距離的平方成反比）

評析：“閱讀材料”內(nèi)容如何選擇、組合才能對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力最有利，是值得我們思索的問題。這里，筆者將教材內(nèi)外的“閱讀材料”、例題等集中呈現(xiàn)，將相關(guān)聯(lián)的知識、方法等重新編排。這些內(nèi)容的出現(xiàn)也可以讓學(xué)生更好地理解函數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義和數(shù)學(xué)建模的過程。圖形計算器為其中一些知識或方法的進(jìn)一步探究提供了技術(shù)上的支持。

（二）物理實(shí)驗，科學(xué)研究

教師讓四位學(xué)生配合進(jìn)行物理實(shí)驗：

兩位學(xué)生敲擊音叉，并利用聲音傳感器采集數(shù)據(jù)（將聲音信息轉(zhuǎn)化為數(shù)字化信息）；另兩位學(xué)生各手持一臺與聲音傳感器相連接的圖形計算器，用它產(chǎn)生波形（聲音關(guān)于時間的函數(shù)圖像）。

整個實(shí)驗分三步進(jìn)行：先敲擊256Hz的音叉，再敲擊440Hz的音叉，最后同時敲擊兩個音叉；同時觀察第一次與第二次得到的圖像有沒有比較明顯的特征，觀察它們與第三次得到的圖像有沒有關(guān)聯(lián)，猜測并驗證相關(guān)結(jié)論。

評析：要突出學(xué)生在教學(xué)過程中的主體地位，注重學(xué)生在認(rèn)知過程中的主體作用，就必須加強(qiáng)學(xué)生在師生雙邊活動中的主體參與，讓每一位學(xué)生都有動腦、動手、動嘴的機(jī)會。教材中的問題源于物理學(xué)科，考慮到可操作性，選擇聲波的合成來進(jìn)行物理實(shí)驗。有了信息技術(shù)手段 ，我們不但可以聽到聲音的變化，而且可以“看”到聲音的變化，更可以研究其中的變化規(guī)律。圖形計算器能夠讓學(xué)生高效“做數(shù)學(xué)”并充分“想數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的完整過程，從而通過親身實(shí)踐認(rèn)識到數(shù)學(xué)是有用的，最終提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣——如果可以再讓學(xué)生經(jīng)歷一次收集數(shù)據(jù)的過程，那么學(xué)生的感想可能會更深。具體的演示代替了抽象的符號，也能夠激勵部分偏愛用觀察、觸摸和實(shí)驗方式學(xué)習(xí)（認(rèn)知風(fēng)格）的學(xué)生，對他們的思維產(chǎn)生積極的推動，引導(dǎo)他們獲得理解，形成觀點(diǎn)，積累直觀的數(shù)學(xué)知識。

（三）數(shù)學(xué)實(shí)驗，技術(shù)驗證

教師示范講解：

的過程、參與的程度、思維的深度與廣度，以及從中獲得了哪些發(fā)展，哪些探索、研究問題的方法——即“想有方向，做有收獲”。教師的示范講解一方面將學(xué)生的研究視角落實(shí)到考察兩個基本函數(shù)性質(zhì)對疊加函數(shù)的影響上，另一方面也為學(xué)生開展實(shí)驗探究提供了基本樣例。在圖形計算器的參與下，學(xué)生的學(xué)習(xí)可以更加集中在解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和較高層次的思維活動上，這實(shí)際上延伸和解放了學(xué)生的解題能力。

（四）人人參與，人機(jī)交互

教師讓學(xué)生兩人一組，以圖形計算器為工具，研究疊加函數(shù)的圖像與性質(zhì)：兩位學(xué)生共同商定研究的載體和方向，即以平時學(xué)習(xí)中感興趣的某些函數(shù)為例，從奇偶性、周期性、單調(diào)性等性質(zhì)中任選一個，進(jìn)行具體、定向的研究，歸納出相應(yīng)的結(jié)論；其中一位學(xué)生負(fù)責(zé)實(shí)驗操作，另一位學(xué)生負(fù)責(zé)在表1中完成記錄。

與此同時，教師利用配套的人機(jī)交互軟件，查看每一位學(xué)生的完成情況，了解每一位學(xué)生的思維過程，從而選取（標(biāo)記）可以交流展示的探究成果，對有問題的小組進(jìn)行適當(dāng)指導(dǎo)（巡視）。

評析：傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)受到課時少、容量大等客觀因素的制約，使得課堂上往往只有教師與少部分表現(xiàn)積極的學(xué)生在交流，而大部分學(xué)生以“聽”為主，既沒有機(jī)會表達(dá)自己的想法，也沒有辦法與更多的同學(xué)交流。將圖形計算器應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，一方面可以將終端機(jī)器交到學(xué)生手中，為學(xué)生提供動手操作的機(jī)會和直觀觀察的環(huán)境，使學(xué)生不囿于教師的演示，而獲得選擇使用自己的方式“做數(shù)學(xué)”的權(quán)利，從而既有受挫的教訓(xùn)，又有成功的體驗，并且參與到知識發(fā)生與發(fā)展的過程中，完成對新知識的自我建構(gòu)；另一方面可以用配套的人機(jī)交互軟件，對學(xué)生的探究過程進(jìn)行監(jiān)管，即時了解每一個學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，讓學(xué)生引導(dǎo)課堂成為可能。在這種情況下，課堂真正交給了學(xué)生，學(xué)生可以自主進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)方式豐富了，學(xué)習(xí)興趣提高了，創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力也得到了培養(yǎng)。

（五）分享經(jīng)驗，共享成果

教師根據(jù)同步的查看，在所研究的三個方向中各選擇一個小組進(jìn)行班級層面的匯報交流。匯報時，各個小組通過投影展示研究成果，分別如表2、表3、表4所示；其中一個人操作，另一個人講解，使得結(jié)論的得出更有說服力。

在此基礎(chǔ)上，教師特別追問：“第三小組提出，‘一增一減’則情形復(fù)雜，需具體分析，那么如何分析呢？”學(xué)生異口同聲地回答：“用導(dǎo)數(shù)?！?/p>

最后，教師總結(jié)：“這三組同學(xué)得出了很多重要的結(jié)論，看來我們這一節(jié)課收獲多多呀！但是，‘圖’上得來終覺淺，絕知此事要‘驗證’，同學(xué)們課后可以對上述結(jié)論應(yīng)用定義加以證實(shí)?！?/p>

評析：長期以來，數(shù)學(xué)教學(xué)除了計算就是證明，學(xué)生缺少數(shù)學(xué)的實(shí)踐體驗，缺乏數(shù)學(xué)的情感體驗，難以充分調(diào)動思維和興趣；在不少學(xué)生眼里，數(shù)學(xué)=繁雜的計算+困難的證明。手持技術(shù)對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動可以提供演示、驗證和探究三種水平的支持；圖形計算器能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的多元關(guān)聯(lián)，其教育價值不僅在演示，更利于驗證和探究，幫助學(xué)生感受到數(shù)學(xué)內(nèi)在實(shí)質(zhì)的“真”。

二、教學(xué)反思

教材中的許多“閱讀材料”都給我們提供了“案例教學(xué)”的很好素材。如果我們認(rèn)真地研究和組織，開發(fā)出一個個精致、簡練、新穎的案例，并精心組織教學(xué)過程，則對學(xué)生已學(xué)知識的復(fù)習(xí)和鞏固，對學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的提高，都會起到事半功倍的效果。

手持技術(shù)在課堂教學(xué)中的運(yùn)用并非強(qiáng)調(diào)一種固定的模式，更重要的還是倡導(dǎo)一種觀念——促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變。圖形計算器對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際上是一種新的工具，讓學(xué)生可以使用這種工具主動地去發(fā)現(xiàn)問題，研究問題，獲取知識?！凹儆谖?，授之漁，則師生都將遠(yuǎn)行”，學(xué)校教育的真正意義似乎也正在于此。

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