摘 要：數(shù)學(xué)抽象是舍棄事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。從知識的角度分析，可以將數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)分為知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三個水平。PME研究顯示，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握過程就是數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展過程；這種抽象思維的發(fā)展具有一定的規(guī)律，尤其具有較強(qiáng)的年齡特征。為了促進(jìn)學(xué)生抽象思維的良好發(fā)展，教師除了應(yīng)該重視關(guān)鍵期的數(shù)學(xué)教學(xué)，還要注重數(shù)學(xué)的過程性教學(xué)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，著眼于數(shù)學(xué)知識的聯(lián)結(jié)。

關(guān)鍵詞：PME 數(shù)學(xué)抽象 抽象思維 概念抽象性 培養(yǎng)策略

抽象是認(rèn)識事物本質(zhì)，掌握事物內(nèi)在規(guī)律的基本途徑。

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，抽象是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的一個重要特點(diǎn)。無論是數(shù)本身，還是直線、平面等幾何概念，都是抽象的概念。數(shù)學(xué)抽象在個體思維的發(fā)展中具有重要的地位，這種價值也是其他學(xué)科難以取代的。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是一個思維不斷抽象化的過程。因此，數(shù)學(xué)抽象歷來受到數(shù)學(xué)教育工作者的重視，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家也將數(shù)學(xué)抽象視為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。本文將從數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（Psychology of Mathematics Education，簡記為PME）的視角透析數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)（能力）及其培養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)抽象的基本涵義

抽象的英文abstract來源于拉丁語abtrahere，表示“從……拖拽”的意思，因此抽象（abstraction）一詞也具有過程、屬性和概念的多重意義。而《辭?！穼Α俺橄蟆币灿腥N解釋：第一種是內(nèi)容性解釋，與“具體”相對，認(rèn)為抽象是事物某一方面的本質(zhì)規(guī)定在思維中的反映；第二種是過程性解釋，認(rèn)為抽象是思維活動的一種特性，即在思維活動中抽取事物的本質(zhì)屬性，撇開非本質(zhì)屬性的過程；第三種是方法性解釋，與“科學(xué)的抽象”相對，認(rèn)為抽象是一種片面、不切實(shí)際地觀察事物的不當(dāng)方法。由此可以看出，東西方學(xué)者對抽象的理解較為相似，都將其歸結(jié)為內(nèi)容的抽象性和過程的抽象性。

相比較抽象的結(jié)果，數(shù)學(xué)教育研究者更關(guān)注抽象的過程，很多學(xué)者從活動和過程的角度闡述了數(shù)學(xué)抽象的定義。例如，一些歐美學(xué)者認(rèn)為，所謂的數(shù)學(xué)抽象是指對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)重組而形成一個新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的活動，而且抽象知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心。一些國內(nèi)學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象是指從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征，而舍棄非本質(zhì)特征的思維過程。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家也持類似的觀點(diǎn)，將數(shù)學(xué)抽象定義為舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程；并指出它主要表現(xiàn)為形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、形成數(shù)學(xué)命題和模型、形成數(shù)學(xué)方法和思想與形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系四個方面，包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且運(yùn)用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。這些論述都從思維過程的視角探討數(shù)學(xué)抽象的形成，對于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)具有較強(qiáng)的指導(dǎo)意義。

二、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平劃分

即將頒布的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿將全部內(nèi)容分為必修、選修Ⅰ、選修Ⅱ三個部分，并且在每個部分的學(xué)習(xí)中對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)都提出了相應(yīng)的要求，同時將這三種要求視為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的三個水平。具體描述如下：

水平1 能夠在數(shù)學(xué)情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則；能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律并形成數(shù)學(xué)命題；能夠在新的情境中模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決問題。

能夠用恰當(dāng)?shù)氖吕忉尦橄蟮臄?shù)學(xué)概念和規(guī)則；能夠分析數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論；能夠在具體的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。

能夠理解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的概念、規(guī)則、推理和論證；能夠在解決相似的問題中感悟數(shù)學(xué)的通性通法，體會其中的數(shù)學(xué)思想。

在交流的過程中，能夠用恰當(dāng)?shù)睦咏忉尦橄蟾拍睢?/p>

水平2 能夠在現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則；能夠?qū)⒁阎獢?shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形；能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題。

能夠從多個角度理解數(shù)學(xué)概念、規(guī)則和命題；能夠運(yùn)用多種形式表示數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論，并建立相關(guān)命題的聯(lián)系；能夠理解和構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。

能夠用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)學(xué)過的數(shù)學(xué)概念、規(guī)則、命題與模型；能夠提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)方法，理解其中的數(shù)學(xué)思想。

在交流的過程中，能夠用一般的概念解釋具體現(xiàn)象。

水平3 能夠在科學(xué)情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言予以表達(dá)；能夠在得到的數(shù)學(xué)結(jié)論基礎(chǔ)上形成新命題；能夠針對具體問題運(yùn)用或創(chuàng)造數(shù)學(xué)方法解決問題。能夠通過數(shù)學(xué)對象、運(yùn)算或關(guān)系理解數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)；能夠理解數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性；能夠感悟高度概括、有序多級的數(shù)學(xué)知識體系。在現(xiàn)實(shí)問題中，能夠把握研究對象的數(shù)學(xué)特征，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言予以表達(dá)；能夠感悟通性通法背后的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。在交流的過程中，能夠用數(shù)學(xué)原理解釋自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。

由此可以看出，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平劃分是從形成抽象、理解抽象和運(yùn)用抽象這三個方面展開的。在形成抽象部分，三種水平雖然分別對應(yīng)了數(shù)學(xué)情境、現(xiàn)實(shí)情境和科學(xué)情境，但是在要求上是逐漸遞進(jìn)的：首先從特例上歸納、在新情境中模仿，然后到數(shù)學(xué)命題的推廣、新情境的應(yīng)用，最后達(dá)到形成新命題、創(chuàng)造新方法。理解抽象和運(yùn)用抽象部分也有類似特點(diǎn)。

其實(shí)，從根本上說，學(xué)科核心素養(yǎng)生成的本源是知識，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)也是在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中逐步形成的：通過對抽象概念和方法的理解，學(xué)生逐步將抽象的概念和方法遷移到其他情境中，促進(jìn)新知識的學(xué)習(xí)，形成新的抽象，并且逐漸超越教材知識的約束，通過推廣和變式，得到更新的抽象概念和方法。因此，可以從知識的角度，將數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)分為知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三個水平。例如，通過對不同類別事物的分類得到集合的概念，并理解集合的定義與符號表示，就屬于知識理解的抽象水平；結(jié)合事例逐步理解子集、并集、交集以及它們之間的邏輯關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系，就屬于知識遷移的抽象水平；將數(shù)學(xué)情境或現(xiàn)實(shí)情境的問題抽象成集合形式，并通過較為復(fù)雜的符號推演得到解答，就屬于知識遷移的抽象水平。

三、數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展：PME視角

（一）抽象思維能力的發(fā)展

思維能力是智力的核心部分，思維能力的發(fā)展程度是整個智力發(fā)展的縮影和標(biāo)志。朱智賢和林崇德的研究表明，人從出生到3歲（嬰兒期）的思維屬于直觀行動思維；幼兒期或?qū)W前期的思維屬于具體形象思維；學(xué)齡初期或小學(xué)期的思維屬于形象抽象思維，即處于從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段；少年期的思維屬于以經(jīng)驗(yàn)型為主的抽象邏輯思維；而青年初期的思維屬于以理論型為主的抽象邏輯思維。這說明了，隨著人的成熟，抽象思維能力在不斷增強(qiáng)，這也是思維成熟的標(biāo)志之一。

朱智賢和林崇德還從思維發(fā)展的角度研究發(fā)現(xiàn)，抽象思維的發(fā)展是一個從量變到質(zhì)變的過程，有一個從許多小的質(zhì)變構(gòu)成一個大的質(zhì)變的過程，每一個心理過程或個性特征都要經(jīng)過幾次大的質(zhì)變或飛躍，并表現(xiàn)為一定的年齡特征。他們把這個質(zhì)的飛躍時期叫作關(guān)鍵年齡。其中，出生后8個月至9個月是思維發(fā)展的第一個飛躍期，直觀行動思維也自這個時期之后獲得發(fā)展；2歲至3歲是思維發(fā)展的第二個飛躍期，是從直觀行動思維向具體形象思維發(fā)展的一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)；5.5歲至6歲是思維發(fā)展的第三個飛躍期，形象抽象思維（從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡）從這個時期開始；小學(xué)四年級是思維發(fā)展的第四個飛躍期，之前是具體形象成分為主，此后是抽象邏輯成分為主；初中二年級是思維發(fā)展的第五個飛躍期，整個中學(xué)階段的思維中抽象邏輯成分占主導(dǎo)地位，初中二年級是從經(jīng)驗(yàn)型向理論型發(fā)展的開始，也是逐步了解對立統(tǒng)一的辯證思想規(guī)律的開始；16歲至17歲是思維活動的初步成熟期，研究表明，凡是高一末期是尖子的，絕大多數(shù)都能保持，因?yàn)槌墒炱诤罂伤苄员戎靶『芏?，而且年齡差異開始變小。了解個體思維發(fā)展的關(guān)鍵年齡，有利于更有針對性、實(shí)效性地實(shí)施教育。例如，在關(guān)鍵年齡盡量不要更換數(shù)學(xué)教師，而且需要配備優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師。

那么，抽象思維是怎么產(chǎn)生的？數(shù)學(xué)抽象思維具有怎樣的特點(diǎn)？英國數(shù)學(xué)教育與心理學(xué)家斯根普（R.Skemp）研究認(rèn)為，個體抽象思維的發(fā)展和分類有關(guān)，抽象思維的產(chǎn)生包含了對相似性的識別。在分類的過程中需要找出事物的共同特征，這就是一個逐漸抽象的過程；而隨著分類的深入，抽象思維的發(fā)展可以逐步從具體事物的分類過渡到符號、運(yùn)算等較為抽象事物的分類。劉靜和等人的研究也證實(shí)了這個觀點(diǎn)。他們從分類的分層對4歲到9歲兒童的抽象思維進(jìn)行調(diào)查，要求兒童按照內(nèi)容對圖片進(jìn)行分類。研究表明，不同年齡兒童的分類能力存在層次上的區(qū)別，這種區(qū)別和抽象水平有著直接的聯(lián)系。該團(tuán)隊(duì)的研究還表明，在4歲到9歲階段，5歲到6歲（尤其是5歲半到6歲）之間是兒童抽象思維發(fā)展的一個關(guān)鍵年齡，6歲以上兒童則逐步開始發(fā)展抽象思維，能認(rèn)識事物的某些本質(zhì)屬性，找出事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。這表明了，在小學(xué)階段，兒童就具備了一定的抽象思維能力，這些研究結(jié)論也是實(shí)施6歲入學(xué)的重要依據(jù)。

施瓦茨（B.Schwarz）等人也持類似的觀點(diǎn)，他們認(rèn)為個體數(shù)學(xué)抽象思維的產(chǎn)生包含了識別、整合和建構(gòu)三個階段，其中建構(gòu)是關(guān)鍵。他們的研究表明，識別和整合可以在一個活動中全部完成，但是建構(gòu)需要通過多個活動不斷地強(qiáng)化才能鞏固。英國學(xué)者Gray和Tall認(rèn)為，個體對數(shù)學(xué)的抽象過程就如同將信息“壓縮”的過程：在形成這種抽象概念或抽象思維以前，需要一步步地學(xué)習(xí)和理解；而一旦理解了事物的本質(zhì)，形成了抽象概念和抽象思維，這類信息就將壓縮在大腦里，并在需要的時候很快地“跳”出來。由此可以看出，心理學(xué)家對數(shù)學(xué)抽象思維產(chǎn)生的過程大多持建構(gòu)主義的觀點(diǎn)，認(rèn)為抽象思維的產(chǎn)生是個體在同化和順應(yīng)后建構(gòu)的結(jié)果。這種論述具有較強(qiáng)的合理性，能較好地解釋數(shù)學(xué)抽象思維的形成過程，也能較好地說明抽象知識之間的遷移和聯(lián)結(jié)。

（二）數(shù)學(xué)概念抽象性的發(fā)展

概念根據(jù)抽象程度，可以分為初級概念和二級概念。初級概念是通過直接的具體經(jīng)驗(yàn)獲得對同類事物的定義特征的概念；二級概念是直接用定義的形式獲得的概念，具有更高的抽象性。數(shù)學(xué)概念的形成是兒童早期認(rèn)知發(fā)展的一個主要方面，它體現(xiàn)了個體抽象思維的能力水平。兒童掌握概念是一個主動的、復(fù)雜的過程：并不是成人把現(xiàn)成的概念原封不動地交給兒童，而是兒童通過自己已有的知識經(jīng)驗(yàn)主動地加以掌握；同時，也不是一次性地完成，而是隨著知識經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展，對已經(jīng)掌握的概念不斷地加以充實(shí)和改造。

隨著年齡的增長，兒童的語言能力得到提高，所掌握的數(shù)學(xué)概念的抽象性也會不斷增強(qiáng)，而且這種發(fā)展具有一定的規(guī)律性。20世紀(jì)80年代，我國學(xué)者曾對兒童在數(shù)學(xué)概念上的思維發(fā)展進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的抽象性存在發(fā)展的關(guān)鍵年齡，但是不同概念的關(guān)鍵年齡是有區(qū)別的。例如，10歲左右的兒童已經(jīng)可以理解抽象的數(shù)學(xué)概念，但是在數(shù)的概念方面，8歲左右兒童的成績已經(jīng)接近最高水平，而在長度和面積概念方面，11歲兒童的成績還保持著上升趨勢。此外，10歲開始，兒童能理解抽象的面積等分概念；11歲開始，兒童能理解抽象的概率概念；12歲開始，兒童能理解抽象的體積概念。特別值得一提的是，“零”概念的掌握是兒童數(shù)的概念形成中較高級水平的標(biāo)志之一，它的獲得要晚于其他數(shù)的概念，7歲左右（相當(dāng)于小學(xué)二年級）可能是兒童“零”概念獲得的一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)。因此，教師在教學(xué)“零”概念的時候，必須仔細(xì)闡明概念的精確含義，尤其是在除法運(yùn)算中的理解。

數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生的概括能力有著直接的聯(lián)系。朱智賢和林崇德將小學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力分為直觀概括水平、具體形象概括的運(yùn)算水平、形象抽象概括的運(yùn)算水平、初步的本質(zhì)概括的運(yùn)算水平以及代數(shù)命題概括的運(yùn)算水平五個階段；將中學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力分為數(shù)字概括水平、形象抽象概括水平、形式抽象概括水平和辯證抽象概括水平四個等級。青少年在掌握概念過程中的趨向是：先掌握具體概念，后掌握抽象概念；先掌握“是”與“非”的形式概念，然后掌握相對變化的辯證概念。喻平教授則從知識遷移的角度對數(shù)學(xué)概括進(jìn)行了研究，認(rèn)為數(shù)學(xué)對象的概括可以分為強(qiáng)抽象概括、弱抽象概括和廣義抽象概括三種情形，應(yīng)該建立在內(nèi)在結(jié)構(gòu)相似性而不是表面相似性的基礎(chǔ)上，關(guān)鍵是在多大程度上抽象出對象的本質(zhì)特征。

四、數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)

已有的研究表明，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握過程就是數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展過程；這種抽象思維的發(fā)展具有一定的規(guī)律，尤其具有較強(qiáng)的年齡特征。抽象思維發(fā)展的關(guān)鍵期也就是培養(yǎng)抽象思維的最佳時期；一旦錯過這個時期，無論提前，還是推后，都可能會事倍功半。因此，教師應(yīng)該結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對關(guān)鍵期的教學(xué)給予更多的重視，促進(jìn)學(xué)生抽象思維的良好發(fā)展。此外，教師要把握好以下教學(xué)策略。

（一）注重數(shù)學(xué)的過程性教學(xué)

從PME的研究中可以看出，數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展需要一個過程：從具體事物的接觸，到本質(zhì)特征的初步概括，到符號表征，最后到更深層次的概括和推演、遷移，這是一個由表及里的過程，也是一個緩慢發(fā)展的過程。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，逐步深入地概括；而不能追求所謂的“效率”，以記憶和背誦代替理解，以解題訓(xùn)練代替過程體驗(yàn)。例如，在勾股定理的教學(xué)中，有教師在簡單的引入后，讓學(xué)生記住直角三角形具有的性質(zhì)，進(jìn)而讓學(xué)生進(jìn)入解題訓(xùn)練。這種教學(xué)方式具有典型的行為主義特征，即用強(qiáng)化和刺激來作為理解知識的方式。這種教學(xué)模式違背了思維發(fā)展的基本規(guī)律，即使對學(xué)生短期的考試成績提高有幫助，對學(xué)生長期的數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展也是十分不利的。

（二）強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的一個關(guān)鍵點(diǎn)，因?yàn)槊總€數(shù)學(xué)概念都是抽象的產(chǎn)物：它是感官對外在經(jīng)驗(yàn)的探索或思考，經(jīng)由抽象之后所得到的數(shù)、量、形的性質(zhì)，或者是由歷代數(shù)學(xué)家把前代的概念結(jié)果更加抽象化、一般化而得來的。但是從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，數(shù)學(xué)概念的獲得又不完全是一個邏輯的過程，并不是一開始就獲得一個純粹的形式概念，而是受到個體的思維發(fā)展水平以及教學(xué)方式、環(huán)境等的影響，隨后通過一個比較精確的定義限制概念的意義和范圍，并引進(jìn)一個名稱或符號去表示這個概念。因此，教師要強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，讓學(xué)生通過觀察、比較，歸納出對象的共同特征，逐步發(fā)展學(xué)生的概念意向，讓學(xué)生能充分理解概念的本質(zhì)。研究表明，豐富學(xué)生概念意向的一個重要方式就是幫助學(xué)生獲得把數(shù)學(xué)概念視覺化的能力。例如，在無理數(shù)概念的教學(xué)中，如果直接向?qū)W生介紹無限不循環(huán)的小數(shù)就是無理數(shù)，學(xué)生就只能較為膚淺地辨識，而無法真正理解無理數(shù)的本質(zhì)特征，無法將其和其他知識建立有效聯(lián)系，也就無法形成有效的概念意向；而通過觀察、比較，則可以讓學(xué)生較好地區(qū)分無理數(shù)的共有特征。因此，搭建腳手架，讓學(xué)生在特定背景下，探究概念的外延與內(nèi)涵，以及通過變式，多角度辨析與理解概念，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念。

（三）著眼于數(shù)學(xué)知識的聯(lián)結(jié)

從PME的角度來看，概念形成的本質(zhì)就是一個抽象的過程。通過觀察、比較，讓學(xué)生歸納數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征，只是數(shù)學(xué)抽象的一部分，更主要的目的是，讓學(xué)生構(gòu)建概念的表征體系，形成聯(lián)結(jié)的知識結(jié)構(gòu)。為此，在學(xué)生初步形成抽象概念后，教師要幫助學(xué)生分析概念的關(guān)鍵屬性，包括它與其他概念的從屬關(guān)系，如何推廣到同類事物中，如何用符號體系進(jìn)行表征，如何以它為基礎(chǔ)形成新的抽象概念等。例如，在學(xué)生初步獲得無理數(shù)的基本特征后，教師要幫助學(xué)生理解無理數(shù)無法表示成pq的形式以及無理數(shù)的稠密性等。

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