摘 要：邏輯推理被定義為“從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過(guò)程”。為了在教學(xué)、評(píng)價(jià)中更好地體現(xiàn)邏輯推理素養(yǎng)，需要明確學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展水平。PME研究顯示，各種邏輯推理能力在學(xué)前階段就已經(jīng)開(kāi)始萌發(fā)，歸納推理能力發(fā)展的關(guān)鍵階段在初中，而演繹推理的快速發(fā)展則會(huì)延續(xù)到高中，這些能力的發(fā)展體現(xiàn)為不同水平層次之間的提升。邏輯推理能力的培養(yǎng)可以考慮以下策略：搭建腳手架，為演繹推理鋪平道路；比較異同，為歸納推理指引方向；突出關(guān)系特征，為類(lèi)比推理提供線(xiàn)索。

關(guān)鍵詞：PME 邏輯推理 演繹推理 合情推理 培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)是一門(mén)極其重視推理（說(shuō)理）的學(xué)科。數(shù)學(xué)中的公式、定理、法則等都是推理的結(jié)果（都有存在的依據(jù)）。因此，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專(zhuān)家將邏輯推理（包括演繹推理和歸納、類(lèi)比推理）列為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。要培養(yǎng)學(xué)生的這一素養(yǎng)（能力），需以其心理特點(diǎn)為基礎(chǔ)。本文將從數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（Psychology of Mathematics Education，簡(jiǎn)記為PME）的視角透析邏輯推理素養(yǎng)（能力）及其培養(yǎng)。

一、邏輯推理的基本涵義

關(guān)于數(shù)學(xué)中的推理，波利亞的論述具有一定的代表性。他在《數(shù)學(xué)與猜想》中提出，數(shù)學(xué)中存在著兩種推理，即論證推理和合情推理，“我們借論證推理來(lái)肯定我們的數(shù)學(xué)知識(shí)，而借合情推理來(lái)為我們的猜想提供依據(jù)”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，“推理一般包括演繹推理和合情推理”，其中“演繹推理是從已有的事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算”。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中亦有類(lèi)似的論述。此外，根據(jù)《邏輯學(xué)大辭典》，“推理是由一個(gè)或一組命題推出另一個(gè)命題的思維形式”，其中“邏輯推理是保持真值的推理”。由此可見(jiàn)，傳統(tǒng)上把推理分為演繹推理和合情推理，而邏輯推理主要是指演繹推理。

而在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿中，邏輯推理被定義為“從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過(guò)程”，并被分類(lèi)為“從特殊到一般的推理（形式主要有歸納、類(lèi)比）”和“從一般到特殊的推理（形式主要有演繹）”。“邏輯”一詞在這里強(qiáng)調(diào)的是在推理過(guò)程中“關(guān)系”和“性質(zhì)”的傳遞，而非“正確性”和“有效性”，通過(guò)這種內(nèi)涵上的一般化把歸納、類(lèi)比囊括在內(nèi)。這樣的定義雖然不同于傳統(tǒng)的理解，但是深化了對(duì)歸納、類(lèi)比推理中所蘊(yùn)含規(guī)則的認(rèn)識(shí)，抓住了其與演繹推理的共性，從而拓展了邏輯推理的外延。

二、邏輯推理素養(yǎng)的水平劃分

為了在教學(xué)、評(píng)價(jià)中更好地體現(xiàn)邏輯推理素養(yǎng)，需要明確學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展水平。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組把邏輯推理素養(yǎng)劃分為三個(gè)水平，分別對(duì)應(yīng)必修、選修Ⅰ、選修Ⅱ課程教學(xué)結(jié)束時(shí)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)應(yīng)達(dá)到的程度。具體描述如下：

水平1 能夠在熟悉的情境中用歸納或類(lèi)比的方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形的性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系或圖形關(guān)系。

能夠在熟悉的數(shù)學(xué)內(nèi)容中識(shí)別歸納推理、類(lèi)比推理、演繹推理；知道通過(guò)歸納推理、類(lèi)比推理得到的結(jié)論是或然成立的，通過(guò)演繹推理得到的結(jié)論是必然成立的。能夠通過(guò)熟悉的例子理解歸納推理、類(lèi)比推理和演繹推理的基本形式。能夠了解熟悉的數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系；能夠證明簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題并有條理地表述論證過(guò)程。

能夠了解熟悉的概念、定理之間的邏輯關(guān)系。能夠在交流的過(guò)程中，明確所討論問(wèn)題的內(nèi)涵，有條理地表達(dá)觀(guān)點(diǎn)。

水平2 能夠在關(guān)聯(lián)的情境中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)；能夠理解歸納、類(lèi)比是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題的重要途徑。

能夠?qū)εc學(xué)過(guò)的知識(shí)有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題，通過(guò)對(duì)條件與結(jié)果的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述論證過(guò)程；能夠通過(guò)舉反例說(shuō)明某些數(shù)學(xué)結(jié)論不成立。

能夠理解相關(guān)概念、定理之間的邏輯關(guān)系，初步建立網(wǎng)狀的知識(shí)結(jié)構(gòu)。能夠在交流的過(guò)程中，始終圍繞主題，觀(guān)點(diǎn)明確，論述有理有據(jù)。

水平3 能夠在綜合的情境中用數(shù)學(xué)的眼光找到合適的研究對(duì)象，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

能夠掌握常用邏輯推理方法的規(guī)則，理解其中所蘊(yùn)含的思想。對(duì)于新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠提出不同的假設(shè)前提，推斷結(jié)論，形成數(shù)學(xué)命題。對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠通過(guò)構(gòu)建過(guò)渡性命題，探索論證的途徑，解決問(wèn)題，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)論證過(guò)程。

能夠理解建構(gòu)數(shù)學(xué)體系的公理化思想。能夠合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和思維進(jìn)行跨學(xué)科的表達(dá)與交流。

由此可以看出，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)邏輯推理素養(yǎng)的水平劃分是從情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思這四個(gè)方面展開(kāi)的。在情境與問(wèn)題方面，表現(xiàn)為從熟悉的情境逐漸過(guò)渡到綜合情境；在知識(shí)與技能方面，表現(xiàn)為從識(shí)別、理解、簡(jiǎn)單運(yùn)用逐漸過(guò)渡到形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、解決復(fù)雜問(wèn)題等；在思維與表達(dá)方面，表現(xiàn)為從有條理的表述逐漸過(guò)渡到準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)；在交流與反思方面，表現(xiàn)為從有內(nèi)涵、有觀(guān)點(diǎn)地交流逐漸過(guò)渡到合理運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和思維進(jìn)行跨學(xué)科的交流。

此外，林崇德也對(duì)中小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展水平作了研究。他根據(jù)運(yùn)算中推理的內(nèi)容、步驟、正確性和推理品質(zhì)的抽象概括性，把小學(xué)生運(yùn)算中歸納推理能力和演繹推理能力分別劃分為四個(gè)水平，前者包括算術(shù)運(yùn)算中直接歸納推理、簡(jiǎn)單文字運(yùn)算中直接歸納推理、算術(shù)運(yùn)算中間接歸納推理、初步代數(shù)式的間接歸納推理，后者包括“簡(jiǎn)單原理、法則直接具體化的運(yùn)算”“簡(jiǎn)單原理、法則直接以字母具體化的運(yùn)算”“算術(shù)原理、法則和公式作為大前提，進(jìn)行多步演繹推理和具體化，得出正確的結(jié)論，完成算術(shù)習(xí)題”“初等代數(shù)或幾何原理為大前提，進(jìn)行多步演繹推理，得出正確的結(jié)論，完成代數(shù)或幾何習(xí)題”。類(lèi)似地，他還把中學(xué)生論證推理能力也劃分為四個(gè)水平，包括直接推理水平、間接推理水平、迂回推理水平、按照一定數(shù)理邏輯格式進(jìn)行綜合性推理的水平。

總而言之，課標(biāo)修訂組提出的水平劃分全面、細(xì)致，而林崇德提出的劃分標(biāo)準(zhǔn)具體、簡(jiǎn)潔。

三、邏輯推理能力的發(fā)展：PME視角

（一）演繹推理能力的發(fā)展

雖然教育與心理學(xué)界普遍認(rèn)可演繹推理能力隨著年齡的增長(zhǎng)而發(fā)展，不同年齡階段能夠掌握不同的演繹推理形式，但是由于研究中的影響因素較多，所得到的結(jié)論并不完全一致。皮亞杰認(rèn)為，11～12歲的學(xué)生具備了“假設(shè)—演繹”推理的能力。Markovits的研究支持了皮亞杰的觀(guān)點(diǎn)，他發(fā)現(xiàn)，即便是11歲的學(xué)生，在判斷范疇三段論的大前提和中項(xiàng)是否有邏輯聯(lián)系時(shí)也感到困難。而Hawkins的研究卻表明，在用口頭提問(wèn)的方法考察4～5歲的兒童范疇三段論問(wèn)題時(shí)，許多兒童都能夠成功回答。國(guó)內(nèi)學(xué)者在相關(guān)領(lǐng)域也進(jìn)行了不少探索。方富熹的研究指出，12歲的學(xué)生假言推理能力已經(jīng)有了初步發(fā)展，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生能夠脫離具體內(nèi)容，從形式上進(jìn)行演繹推理。李丹等人的研究指出，假言推理能力在小學(xué)三年級(jí)就有初步表現(xiàn)，在初中一年級(jí)達(dá)到掌握水平，在小學(xué)六年級(jí)到初中一年級(jí)這個(gè)階段出現(xiàn)發(fā)展的加速現(xiàn)象，相比直言三段論推遲一年左右，也隨命題的具體內(nèi)容、教學(xué)條件的變化有所不同。黃煜烽等人對(duì)初一、初三、高二三個(gè)年級(jí)學(xué)生多種演繹推理能力的綜合研究顯示，演繹推理能力的迅速發(fā)展在初三到高二階段，學(xué)生感到難度最大的是聯(lián)鎖推理，其次是選言和復(fù)雜推理，掌握得最好的是直言推理。

以上研究主要針對(duì)某種特定的演繹推理形式，涉及的推理更多的是一步推理，且主要以選擇題的形式出現(xiàn)，而數(shù)學(xué)運(yùn)算和證明中使用演繹推理的情境則有所不同。林崇德的研究表明，小學(xué)生在二至三年級(jí)基本達(dá)到了簡(jiǎn)單原理、法則直接以字母具體化的運(yùn)算水平，在五年級(jí)基本能夠根據(jù)算術(shù)原理進(jìn)行多步演繹。對(duì)于初一至高二學(xué)生的論證推理能力，研究結(jié)果顯示初一和初二、高一和高二年級(jí)之間成績(jī)差異達(dá)到了顯著水平，因此這兩個(gè)年齡階段是中學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。武錫環(huán)等對(duì)于初中生演繹推理能力的研究顯示，三個(gè)年級(jí)間的結(jié)果呈直線(xiàn)上升，年級(jí)之間差異都是顯著的。

（二）歸納、類(lèi)比推理能力的發(fā)展

對(duì)于歸納推理能力，心理學(xué)上的研究表明，9個(gè)月大的嬰兒就已經(jīng)表現(xiàn)出了這種能力，而幼兒能夠依據(jù)顏色、質(zhì)地等外部特征進(jìn)行歸納推理。林崇德對(duì)于小學(xué)生運(yùn)算中歸納推理能力的研究顯示，小學(xué)階段隨著年齡的增長(zhǎng)，學(xué)生歸納推理能力逐步提升，在五年級(jí)基本達(dá)到了“算術(shù)運(yùn)算中間接歸納推理”的水平。倪斯杰和張君達(dá)對(duì)小學(xué)二年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理能力的研究顯示，該年齡段的學(xué)生基本不具備所考察的歸納推理能力，具體包括通過(guò)歸納理解新概念、從多步算式中找規(guī)律、從圖形變換中歸納出一般規(guī)律等。Csapó對(duì)3、5、7、9、11五個(gè)年級(jí)2400多名學(xué)生歸納推理能力的研究表明，3年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備了一定的歸納推理能力；低年級(jí)得分的標(biāo)準(zhǔn)差較大，原因是少數(shù)學(xué)生在早期就具備較強(qiáng)的能力；5～7年級(jí)間是歸納推理能力發(fā)展最迅速的時(shí)期，9年級(jí)后發(fā)展明顯放緩。武錫環(huán)等人將信息表征、歸納識(shí)別、形成猜想、假設(shè)檢驗(yàn)確定為影響歸納推理的四個(gè)重要因素，并據(jù)此編制測(cè)試題。在初中三個(gè)年級(jí)實(shí)施測(cè)試的結(jié)果顯示，信息表征穩(wěn)步上升，歸納與猜想增長(zhǎng)緩慢，而假設(shè)檢驗(yàn)增長(zhǎng)不大?？傮w而言，初一、初二年級(jí)學(xué)生差別不大，而初二、初三年級(jí)則差異顯著，說(shuō)明初二年級(jí)是數(shù)學(xué)歸納推理發(fā)展的關(guān)鍵期。黃煜烽等人對(duì)初一、初三、高二三個(gè)年級(jí)學(xué)生歸納推理能力的研究同樣顯示，初二年級(jí)是歸納推理能力迅速發(fā)展的時(shí)期，初一學(xué)生的歸納推理還依賴(lài)于具體經(jīng)驗(yàn)的支持，往往體現(xiàn)為枚舉而非得到新的涵義。

對(duì)于類(lèi)比推理能力，心理學(xué)中的研究由來(lái)已久，不同的學(xué)者對(duì)于類(lèi)比推理有不同的解釋?zhuān)M(jìn)而對(duì)于類(lèi)比推理能力的發(fā)展也存在著不同的觀(guān)點(diǎn)。皮亞杰認(rèn)為，類(lèi)比推理發(fā)展與從具體運(yùn)算到形式運(yùn)算的發(fā)展一致，學(xué)生要到11～12歲才能真正地完成類(lèi)比推理。Sternberg把類(lèi)比推理分為六個(gè)獨(dú)立的信息加工過(guò)程，分別是編碼、推斷、映射、應(yīng)用、調(diào)整、反應(yīng)，類(lèi)比推理能力的發(fā)展受這些具體成分的制約。他在研究中發(fā)現(xiàn)，8歲學(xué)生缺乏“映射”能力。張莉等人基于“關(guān)系-表征復(fù)雜性模型”分析了經(jīng)典類(lèi)比問(wèn)題的復(fù)雜性，研究發(fā)現(xiàn)，在簡(jiǎn)單任務(wù)上，5～6歲兒童呈現(xiàn)快速發(fā)展特性，而在復(fù)雜任務(wù)上，5～9歲兒童的表現(xiàn)一直平穩(wěn)上升。費(fèi)廣洪等人綜合采用了幾何圖形、關(guān)系圖形、詞語(yǔ)、數(shù)字、故事五種材料，對(duì)3～11歲兒童的研究顯示，

4～5歲兒童開(kāi)始能夠進(jìn)行類(lèi)比推理，6～7歲兒童的類(lèi)比推理主要依據(jù)外在特征，8～9歲兒童能夠完成半數(shù)以上的類(lèi)比推理任務(wù)，并更多轉(zhuǎn)向事物之間的關(guān)系，10～11歲兒童能夠較為穩(wěn)定地以事物之間的關(guān)系為依據(jù)進(jìn)行類(lèi)比推理，而各年齡成績(jī)之間均存在顯著差異；材料類(lèi)型不影響兒童的類(lèi)比推理成績(jī)，而在不同的任務(wù)中，幾何圖形類(lèi)比推理得分最高，數(shù)字類(lèi)比推理得分最低?？傮w而言，當(dāng)前類(lèi)比推理發(fā)展的研究主要關(guān)注學(xué)前及小學(xué)階段，雖然所使用的材料也涉及幾何、數(shù)字等內(nèi)容，但是缺乏專(zhuān)門(mén)針對(duì)數(shù)學(xué)中類(lèi)比推理發(fā)展的研究。

四、邏輯推理能力的培養(yǎng)

雖然邏輯推理能力的發(fā)展表現(xiàn)出了一定的自身規(guī)律，尤其是年齡規(guī)律，但是要實(shí)現(xiàn)這一能力的發(fā)展，仍然需在發(fā)展的關(guān)鍵階段進(jìn)行合適的引導(dǎo)。有學(xué)者通過(guò)注重思維方法訓(xùn)練、強(qiáng)調(diào)元認(rèn)知策略學(xué)習(xí)等措施，對(duì)小學(xué)一、二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了為期四年的培養(yǎng)，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)組學(xué)生在演繹推理、歸納推理、類(lèi)比推理等能力上的表現(xiàn)顯著高于控制組學(xué)生，并且有顯著的延遲效應(yīng)。在此，筆者提出三點(diǎn)培養(yǎng)策略。

（一）搭建腳手架，為演繹推理鋪平道路

根據(jù)已有研究，學(xué)前時(shí)期的兒童就已經(jīng)能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理，但是推理與證明作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，也是眾所周知的。究其原因，除了推理對(duì)象是抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)外，數(shù)學(xué)中的演繹推理往往需要對(duì)前提條件進(jìn)行變換、推理的步驟更多。學(xué)生的工作記憶是有限的，可以通過(guò)搭建腳手架的方式，幫助他們將更多的精力用于演繹推理的過(guò)程。

例1 3的倍數(shù)和6的倍數(shù)之間有什么關(guān)系？證明你的回答。

該問(wèn)題的解決需要把6的倍數(shù)表征為6n，并認(rèn)識(shí)到要證明一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，即要把這個(gè)數(shù)表示成3m。否則，學(xué)生會(huì)感到無(wú)從下手，或不知道推理的方向。因此，教師可以考慮搭建腳手架，在這兩處進(jìn)行提示，引導(dǎo)學(xué)生完成推理。首先，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)舉例，發(fā)現(xiàn)6的倍數(shù)都是3的倍數(shù)這一事實(shí)。其次，教師應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)例子的個(gè)數(shù)終究是有限的，并提出問(wèn)題：能否用一個(gè)整式來(lái)代表所有6的倍數(shù)？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，教師可以給出提示：一個(gè)數(shù)是6的倍數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它是某個(gè)整數(shù)的6倍。接下來(lái)，教師可以進(jìn)一步提問(wèn)：如何證明一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)？并給出提示：一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它是某個(gè)整數(shù)的3倍。從而引導(dǎo)學(xué)生推理的方向。當(dāng)然，在提供腳手架的同時(shí)，教師也應(yīng)該注意避免給出過(guò)多提示，導(dǎo)致題目?jī)r(jià)值的喪失。

（二）比較異同，為歸納推理指引方向

歸納推理能力發(fā)展的重點(diǎn)體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是對(duì)于待歸納元素屬性的認(rèn)識(shí)，二是在此基礎(chǔ)上的猜想和驗(yàn)證。前者主要是指發(fā)現(xiàn)待歸納元素的共同點(diǎn)和差異。發(fā)現(xiàn)共性是對(duì)一般情況進(jìn)行猜想的前提，這往往構(gòu)成了教學(xué)的重點(diǎn)；與此同時(shí)，也不可忽視對(duì)于差異的認(rèn)識(shí)，因?yàn)檎遣町悰Q定了猜想一般化的程度，即適用范圍。

例2 （1）根據(jù)以下等式，你可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1+2+3=6=2×3，4+5+6=15=5×3，11+12+13=36=12×3。

（2）觀(guān)察以下等式，你能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律？12+14+16=42=14×3，14+17+20=51=17×3，14+18+22=54=18×3。

（3）證明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。想一想，還能發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律嗎？

這道題就是一個(gè)通過(guò)設(shè)置差異性元素來(lái)不斷拓展歸納推理一般性的例子。問(wèn)題（1）中的前兩個(gè)等式是歸納推理的最基礎(chǔ)依據(jù)，學(xué)生能夠歸納出3個(gè)連續(xù)的個(gè)位數(shù)之和是3的倍數(shù)，但是對(duì)于兩位數(shù)的情況或許會(huì)存在疑問(wèn)；第三個(gè)等式幫助學(xué)生把這一推理拓展到了自然數(shù)的范圍。問(wèn)題（2）中三個(gè)等式中的數(shù)字從連續(xù)變成了固定間隔，幫助學(xué)生將規(guī)律分別拓展到間隔為2、3、4的情況。在這一差異的基礎(chǔ)上，學(xué)生如果能發(fā)現(xiàn)新的共同點(diǎn)，就能夠?qū)崿F(xiàn)更高層次上的一般化，這是問(wèn)題（3）希望實(shí)現(xiàn)的?？傊?，通過(guò)這類(lèi)題目的訓(xùn)練，能夠培養(yǎng)學(xué)生有意識(shí)地尋找共同點(diǎn)和差異的能力，啟發(fā)學(xué)生不斷嘗試更高層次上的一般化，從而提高歸納推理的能力。

（三）突出關(guān)系特征，為類(lèi)比推理提供線(xiàn)索

類(lèi)比推理能力發(fā)展過(guò)程中一個(gè)關(guān)鍵的轉(zhuǎn)換就是由依據(jù)事物表面的特征轉(zhuǎn)向依據(jù)事物內(nèi)部的關(guān)系或結(jié)構(gòu)，這一點(diǎn)對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)格外重要。數(shù)學(xué)的抽象性使其脫離了事物表面的特征，又在更深的層次上將不同事物聯(lián)系在一起。要促進(jìn)這種轉(zhuǎn)化的發(fā)生，可以通過(guò)教學(xué)中問(wèn)題的設(shè)置。

例3 學(xué)校藝術(shù)節(jié)上將要展出同學(xué)們的圖畫(huà)作品。

（1）為了展出的方便，需要為每一幅作品配一個(gè)畫(huà)框?，F(xiàn)在有一摞畫(huà)框（如圖1），已知高度為60厘米，而每一個(gè)畫(huà)框的厚度為0.4厘米。請(qǐng)問(wèn)這摞畫(huà)框一共有多少個(gè)？

（2）為了把畫(huà)框固定在墻上，還需要使用圖釘。小明找到了一盒圖釘（如圖2），但是不知道里面有多少個(gè)，一個(gè)個(gè)數(shù)又會(huì)劃破手。給你一個(gè)電子秤，你能想到好的辦法嗎？

（3）聯(lián)系前兩個(gè)小問(wèn)，你還能提出哪些類(lèi)似問(wèn)題和解答？

該問(wèn)題（1）（2）中的畫(huà)框和圖釘在表面特征上不具備相似性，僅僅依靠表面特征無(wú)法觸發(fā)學(xué)生產(chǎn)生類(lèi)比思維，進(jìn)而利用問(wèn)題（1）解決問(wèn)題（2）。只有當(dāng)學(xué)生意識(shí)到兩個(gè)問(wèn)題內(nèi)部關(guān)系上的相似性——即已知總體和個(gè)體厚度（重量）的情況下求數(shù)量——才能完成類(lèi)比推理。問(wèn)題（3）需要學(xué)生主動(dòng)把這一思想運(yùn)用到更多的情境中，類(lèi)比更多具有相同關(guān)系的問(wèn)題。這類(lèi)題目的設(shè)置可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)事物中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系的關(guān)注以及對(duì)表面特征背后的數(shù)學(xué)聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，這正是類(lèi)比推理能力所需要的。

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