摘 要：數(shù)學運算能力是運算技能與邏輯思維等的有機整合。從知識的角度分析，可以將數(shù)學運算素養(yǎng)分為知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三個水平。PME研究顯示，運算思維的抽象程度是運算能力發(fā)展的主要特征之一；運算思維的發(fā)展具有一定的規(guī)律，尤其具有較強的年齡特征。為了促進學生運算思維的良好發(fā)展，教師除了應該重視關鍵期的數(shù)學教學，還要注重運算法則背后算理的教學，由知識理解向知識遷移和知識創(chuàng)新過渡和提升，著眼于運算能力中思維品質的培養(yǎng)。

關鍵詞：PME 數(shù)學運算 數(shù)概念 運算思維 培養(yǎng)策略

運算是數(shù)學的主要特征之一，也是數(shù)學的重要內容。尤其在中小學數(shù)學中，“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等領域都與運算有著密切的聯(lián)系。因此，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版） 》將運算能力作為十大核心概念之一，而高中數(shù)學課程標準修訂組的專家也將數(shù)學運算視為數(shù)學核心素養(yǎng)之一。要培養(yǎng)學生的這一素養(yǎng)（能力），需以其心理特點為基礎。本文將從數(shù)學教育心理學（Psychology of Mathematics Education，簡記為PME）的視角透析數(shù)學運算素養(yǎng)（能力）及其培養(yǎng)。

一、數(shù)學運算的基本涵義

運算指的是根據(jù)一定的數(shù)學概念、法則和定理，由一些已知量通過計算得出確定結果的過程。從知識的角度分析，運算不僅包括陳述性知識，即數(shù)學概念、法則和定理，而且包括智慧技能和認知策略兩種程序性知識：智慧技能是通過練習，其運用能達到相對自動化程度，即很少或不需要受意識控制的知識，這類知識反映出來的是運算技能，即能按照一定的程序和步驟進行運算；認知策略是受意識控制，其運用難以達到自動化程度的知識，這類知識指向的是對算理的理解和用概念、法則、定理進行的推理。因此，不能將運算簡單地理解成記住概念、法則、公式等陳述性知識，并根據(jù)它們運算得到正確結果的技能，而要把運算看成綜合了不同種類知識的能力：不僅會根據(jù)概念、法則、公式等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能根據(jù)題目條件尋求正確的運算途徑。

高中數(shù)學課程標準修訂組的專家將數(shù)學運算定義為“在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的思維過程”；并指出它具體表現(xiàn)為理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路和形成程序化思維。從發(fā)展的角度分析，理解運算對象指的是數(shù)概念的發(fā)展。正確理解相關的數(shù)概念，是逐步形成運算技能、發(fā)展運算能力的前提。掌握運算法則指的是根據(jù)法則運算得到正確的結果。對運算法則的掌握不僅要形成運算技能，而且要提升到對算理的思考和理解。探究運算思路包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算方法和設計運算程序四種心理過程。探究運算方向要從正向、單向思維逐步發(fā)展到逆向、多向思維。選擇運算方法要經歷從特殊到一般的發(fā)展，從而理解建立在計算基礎上的邏輯推理模式。

可見，運算能力是運算技能與邏輯思維等的有機整合，它不僅是一種數(shù)學的操作能力，而且是一種數(shù)學的思維能力。

二、數(shù)學運算素養(yǎng)的水平劃分

即將頒布的高中數(shù)學課程標準修訂稿將全部內容分為必修、選修Ⅰ、選修Ⅱ三個部分，并且在每個部分的學習中對數(shù)學運算素養(yǎng)都提出了相應的要求，同時將這三種要求視為數(shù)學運算素養(yǎng)的三個水平。具體描述如下：

水平1

能夠在熟悉的數(shù)學情境中了解運算對象，提出運算問題。

能夠了解運算法則及其適用范圍，正確進行運算；能夠根據(jù)問題的特征，建立合適的運算思路，解決問題。

能夠在運算的過程中體會運算法則的意義和作用，能夠運用運算驗證簡單的數(shù)學結論。

在交流的過程中，能夠用運算結果說明問題。

水平2

能夠在關聯(lián)情境中確定運算對象，提出運算問題。

能夠針對運算問題，合理選擇運算方法，設計運算程序，解決問題。

能夠理解運算是一種演繹推理，能夠在綜合利用運算方法解決問題的過程中體會程序化思想的意義和作用。

在交流的過程中，能夠借助運算探討問題。

水平3

能夠在綜合情境中把問題轉化為運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向。

能夠針對運算問題，合理構造運算程序，解決問題。

能夠用程序化思想理解與表達問題，能夠理解程序化與計算機解決問題的聯(lián)系。

在交流的過程中，能夠用程式化思想理解和解釋問題。

由此可以看出，高中數(shù)學課程標準對數(shù)學運算素養(yǎng)的水平劃分是圍繞理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路和形成程序化思維這四個方面展開的。水平1側重于理解運算法則，并能正確運用，屬于基本操作的運算技能層面。水平2側重于探究運算思路，并能正確實施，屬于演繹推理的運算能力層面。水平3則在前兩個水平的基礎上，更強調對程序化思想的理解以及在解決問題中對通性通法的使用。

其實，從根本上說，學科核心素養(yǎng)生成的本源是知識。從知識的角度，可以將數(shù)學運算素養(yǎng)分為知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三個水平。其中，知識理解水平指的是對運算對象和運算法則的理解。運算法則這類知識本身就蘊含了方法，對運算法則的理解離不開對其的應用，因此該水平的觀測點在于對運算法則的正確實施。知識遷移水平與知識理解水平相比，不同之處在于情境與問題的復雜性：如果說知識理解水平是在熟悉的情境中選擇熟悉的方法，得到正確結果，那么知識遷移水平就是在不熟悉的情境中選擇恰當?shù)姆椒?，得到正確結果，以及由此導致的多種知識的介入和多種方法的運用，即需要選擇有用的資源在新的情境中進行組合。知識創(chuàng)新水平表現(xiàn)在對運算方法的突破和改進、對運算問題的推廣和變式以及形成程式化的學科思維。

三、數(shù)學運算能力的發(fā)展：PME視角

（一）數(shù)概念的發(fā)展

概括能力是掌握概念的直接前提，因此以學生數(shù)概括能力的發(fā)展趨勢來分析他們數(shù)概念的發(fā)展水平。林崇德研究時確定的小學生數(shù)概括能力發(fā)展水平的指標是：（1）對直觀的依賴性；（2）對數(shù)的實際意義（數(shù)表象范圍）的理解；（3）對數(shù)的順序和大小的認識；（4）對數(shù)的組成（分解組合）的認識；（5）對數(shù)概念擴充及定義的展開。他根據(jù)這些指標分析研究，將小學生數(shù)概括能力由低到高分為五個等級：（1）直觀概括水平，該階段學生主要依靠實物掌握10以內的數(shù)概念；（2）具體形象概括的運算水平，該階段學生進入了“整數(shù)命題運算”，盡管有的運算中數(shù)的范圍可以超過他們的生活范圍，但是由于自身經驗的局限，他們缺乏數(shù)表象而不能真正理解所有運算中數(shù)的實際意義；（3）形象抽象概括的運算水平，該階段學生能掌握整數(shù)和分數(shù)概念的定義，能概括出幾何概念，并掌握一些幾何體的計算公式和定義；（4）初步的本質抽象概括的運算水平，該階段學生能用字母的抽象代替數(shù)字的抽象（例如，初步列方程解應用題），開始掌握算術范圍內的交集與并集思想（例如，求公倍數(shù)與公約數(shù)），能完整地解答各種類型的“典型應用題”，出現(xiàn)了組合分析的運算；（5）代數(shù)命題概括的運算水平，該階段學生能根據(jù)假設進行概括，完全拋開算術框圖進行運算。

進一步的研究表明，一年級（7～8歲）學生基本上處于具體形象概括的運算水平；二、三年級（8～10歲）學生開始從具體形象概括向形象抽象概括過渡，大部分學生在三年級完成了這個過渡；四、五年級（10～12歲）學生大多數(shù)進入了初步的本質抽象概括的運算水平，極少數(shù)在良好的教育影響下開始向代數(shù)命題概括的運算水平發(fā)展。需要強調的是，在一般的教育條件下，四年級（10～11歲）學生在數(shù)概括能力發(fā)展中有顯著變化， 這是小學生掌握數(shù)概念過程中從以具體形象概括為主要形式過渡到以抽象邏輯概括為主要形式的一個轉折點——這種質的飛躍期通常稱作為“關鍵年齡”。

（二）運算思維的發(fā)展

運算思維能力發(fā)展的過程就是運算中思維結構完善的過程。蘇聯(lián)心理學家魯賓斯坦將思維結構理解成由“分析和綜合”組成的過程結構，而瑞士心理學家皮亞杰則強調思維的整體由群、群集和格等組成的邏輯結構。林崇德主張將思維的過程結構和邏輯結構相統(tǒng)一，并進一步將運算中的思維結構分為思維材料、思維方向、思維系統(tǒng)和思維法則四個方面。首先，對思維材料的研究以推理形式的發(fā)展作為觀測點，確定四項指標來分析：（1）推理發(fā)生的范圍， 即是在算術運算中的推理還是在初步代數(shù)式中的推理；（2）推理的步驟，即是直接推理還是多步間接推理；（3）推理的正確性；（4）推理品質的抽象邏輯性，即是重復按照過程還是進行邏輯推論獲得本質結論。研究得到小學生運算過程中推理能力發(fā)展的四級水平：隨著水平的提高，學生推理范圍的抽象度在加大， 推理的步驟愈加簡練，推理的正確性、合理性和推理品質的邏輯性、自覺性在增強。研究也發(fā)現(xiàn)，三、四年級學生的推理能力發(fā)展水平存在顯著差異。其次，對思維方向的研究表明，小學生在解答應用題時的思維方向， 先從正向向逆向發(fā)展，一般在一年級就已完成；再從可逆性發(fā)展到反復或反饋性， 一般到四年級才能完成。再次，對思維系統(tǒng)的研究以兒童將原有條件重新組合分析， 然后綜合列式的能力發(fā)展作為觀測點。研究表明，四年級之后學生才能綜合各種可能進行全面的配合，但是用兩種以上方法解答各類應用題的能力要到初中之后才能發(fā)展。最后，對思維法則的研究以兒童運用法則的范圍與正確率為指標。研究表明，大部分一年級學生可以在簡單的數(shù)字運算中運用交換律、結合律和分配律；經過二年級的過渡， 大部分三年級學生能夠在簡單的文字演算中運用交換律、結合律和分配律；四年級以后學生逐步掌握算術運算中的二重否定律，這是小學生運用運算法則能力發(fā)展中的一個飛躍期。

孫敦甲等人對中學生數(shù)學能力的發(fā)展做了研究，提出數(shù)學運算能力的三級水平：（1）理解掌握各種運算的能力，例如運算概念的形成、運算公式類型的概括、運算變形依據(jù)的獲得、算式及方程的討論等；（2）靈活應用各種運算的能力，例如靈活應用運算性質和方法、創(chuàng)造性地解決問題等；（3）抽象認識運算的能力，例如對運算的共同本質與聯(lián)系的認識等。

以上研究表明，數(shù)學運算能力的發(fā)展是抽象程度不斷提高的過程，具體表現(xiàn)在運算對象從常量到變量，從數(shù)到式、方程、不等式甚至集合、向量等；運算法則從四則運算、配方法、公式法到集合的交、并、補等運算，命題的或、且、非等運算。

四、數(shù)學運算能力的培養(yǎng)

已有的研究表明，運算思維的抽象程度是運算能力發(fā)展的主要特征之一；運算思維的發(fā)展具有一定的規(guī)律，尤其具有較強的年齡特征。教學中，教師要利用運算能力發(fā)展的階段性特征，把握學生學習的關鍵年齡，促進學生運算思維的良好發(fā)展。另外，教師要把握好以下教學策略，將學生發(fā)展的實際水平和潛在水平相結合。

（一）注重運算法則背后算理的教學

運算法則解決了算什么以及怎么算的問題，而算理則回答了“為什么要這樣算”“怎樣算得好”的問題。僅關注運算法則的教學是結果型的教學：教師的主要任務是把客觀知識準確無誤地傳授給學生，學生的主要目標是遵循運算法則得到正確結果。而注重運算法則背后算理的教學是過程型的教學：將知識的產生過程和發(fā)展脈絡融于教學場景中。只有實施后者，學生才有可能在新的情境中探究運算思路，獲得運算途徑。

以“合并同類項”的教學為例，教師要創(chuàng)設情境，使學生感悟在什么情況下需要合并同類項，為什么需要合并同類項，合并同類項能起到怎樣的效果。

（二）由知識理解向知識遷移和知識創(chuàng)新過渡和提升

知識理解的教學指向基礎知識和基本技能，其目標在于學生接受教材中的知識，并能在熟悉的情境中正確運用。這是一種偏重知識接受，只關注書本知識學習，而忽視綜合素質提高的教學。

數(shù)學運算的教學中，教師需要創(chuàng)設問題情境，特別是學生不熟悉又貼近實際的問題情境，引導學生進行知識遷移。

例1 兩個厚度相同的圓餅，一個半徑為10 cm，售價為3元，另一個半徑為15 cm，售價為4元，問：買哪一種餅更劃算？

這個問題就不是直接考查學生對圓面積公式的理解情況，而是需要學生分別計算出單位面積的價格并進行比較，為此需要把圓面積公式、單位面積概念、價格以及生活經驗等知識遷移到這個情境中進行綜合分析。

此外，教師還要在“一題多解”“一題多變”的基礎上，設計不同水平逐步推進的“問題串”，幫助學生實現(xiàn)由知識理解向知識遷移和知識創(chuàng)新的過渡和提升。

例2 十位數(shù)字相同、個位數(shù)字是5的兩位數(shù)的平方運算可以按照如下步驟得出運算結果：①十位的數(shù)字乘以比它本身大1的數(shù)；②在步驟①的乘積后面緊接著寫上“25”。

（1）依照上面的法則，請你計算95×95，并寫出你的計算方法。

（2）如圖1，一個大正方形被切割成四塊，可以移動四塊的位置，如圖2。你覺得這一變化過程與上述計算有聯(lián)系嗎？如果有，請寫出具體的聯(lián)系？ 由此，你覺得293×297有速算法則嗎？如果有，請寫出計算步驟。

（3）你能自己編兩道其他的題目，也具有這樣的速算法則嗎？你能總結出這些題目的共同特點嗎？

這道題目的三個小問便分別體現(xiàn)了數(shù)學運算的知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新水平。在教學中，同時呈現(xiàn)它們，可以逐步有效提升學生的數(shù)學運算能力。

（三）著眼于運算能力中思維品質的培養(yǎng)

培養(yǎng)思維品質是提高教學質量的重要途徑。運算能力中的思維品質包括：（1）思維的敏捷性，指正確、迅速地運算；（2）思維的靈活性，指從不同角度、用多種方法運算各類數(shù)學題；（3）思維的深刻性，指運算思維中的邏輯性；（4）思維的獨創(chuàng)性，指善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，能夠在新情境中采取新對策，獨立解決問題。

有研究表明，可以通過教學干預提高學生運算思維的品質。首先，突出運算的速度要求和速算方法的訓練，可以提高學生正確、迅速運算的能力。但是，在教學中要講究適度性：訓練不足，難以形成技能；而一味地追求熟練，搞成題海戰(zhàn)術，則學生的付出與收獲不成比例，反而得不償失。其次，培養(yǎng)學生運算思維的靈活性，可以鼓勵學生“一題多解”“一題多變”。再次，學生運算思維的深刻性可以通過加大運算的難度和抽象程度來培養(yǎng)。例如，依據(jù)上述推理水平指標，提高推理發(fā)生范圍的抽象程度，增加推理所需的步驟等。最后，提高學生運算思維的獨創(chuàng)性，可以鼓勵學生自編各類應用題。

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