摘 要：“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”的教學(xué)應(yīng)該更好地建立在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)上，并為學(xué)生創(chuàng)造探究的機(jī)會(huì)。在考察數(shù)學(xué)史上點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的8種推導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，選擇其中的交點(diǎn)法、最值法、三角形面積法以及向量法，并且對(duì)最值法和三角形面積法進(jìn)行必要的改進(jìn)，同時(shí)在教學(xué)中與學(xué)生自主探究得到的方法進(jìn)行比較。從學(xué)生的課堂表現(xiàn)和課后反饋來(lái)看，諸方法的選擇是恰當(dāng)?shù)模竟?jié)課揭示了點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式背后的方法之美，并為學(xué)生創(chuàng)造了探究的機(jī)會(huì)，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思維的多元性，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。

關(guān)鍵詞：HPM 點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式 證明方法 教學(xué)設(shè)計(jì)

“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”是滬教版高中數(shù)學(xué)教材二年級(jí)下冊(cè)第11章第4節(jié)的內(nèi)容，旨在解決“已知直線(xiàn)l：Ax+By+C=0及l(fā)外一點(diǎn)P（x0，y0），求點(diǎn)P到l的距離”的問(wèn)題。教材是通過(guò)向量的投影（下文稱(chēng)向量法）得出距離公式的。雖然該方法較簡(jiǎn)便，但是很多學(xué)生對(duì)于向量的印象僅僅停留在基本運(yùn)算以及數(shù)量積的層面上，還沒(méi)有樹(shù)立運(yùn)用向量解決問(wèn)題的意識(shí)，因而該方法似乎并不符合他們的認(rèn)知基礎(chǔ)。教學(xué)實(shí)踐表明，高中生在推導(dǎo)余弦定理時(shí)，很少采用教材上的向量方法，這也印證了上面的論斷。另一方面，一些教師認(rèn)為，學(xué)生只要會(huì)用公式就可以了，公式的推導(dǎo)并不重要，而升學(xué)的壓力、教學(xué)的進(jìn)度也不允許花太多時(shí)間于公式的推導(dǎo)。因此，他們往往在用向量法推導(dǎo)公式后，把剩余的絕大部分時(shí)間用于解題訓(xùn)練。在這種教學(xué)模式下，學(xué)生沒(méi)有自己探究的機(jī)會(huì)，無(wú)法發(fā)揮主觀能動(dòng)性，導(dǎo)致課堂參與度較低。

有鑒于此，我們希望將“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”的教學(xué)更好地建立在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)上，并為學(xué)生創(chuàng)造探究的機(jī)會(huì)。注意到在數(shù)學(xué)史上點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的推導(dǎo)方法精彩紛呈，我們從中選擇最適合于教學(xué)的若干方法，并與學(xué)生自主探究得到的方法進(jìn)行比較。由此，我們?cè)O(shè)定如下教學(xué)目標(biāo)：（1）會(huì)推導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式；（2）領(lǐng)會(huì)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式背后的數(shù)學(xué)思想；（3）通過(guò)探究活動(dòng)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，獲得成功體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信心。

一、歷史材料及其運(yùn)用

對(duì)20世紀(jì)中葉以前出版的65種西方解析幾何教科書(shū)的考察表明，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式有8種不同推導(dǎo)方法：原點(diǎn)距離法、交點(diǎn)法、三角法、投影法、坐標(biāo)平移法、最值法、三角形面積法、向量法。具體分布如圖1所示。

早期解析幾何教科書(shū)普遍采用直線(xiàn)的法線(xiàn)式方程，相應(yīng)地也就普遍采用原點(diǎn)距離法來(lái)推導(dǎo)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式。但是今天的教材并未采用法線(xiàn)式方程，因此原點(diǎn)距離法也就過(guò)時(shí)了。交點(diǎn)法是從已知點(diǎn)P向直線(xiàn)l引垂線(xiàn)，求P和垂足之間的距離。該方法思路清晰自然，但是運(yùn)算量很大。三角法是從點(diǎn)P分別向直線(xiàn)l和x軸引垂線(xiàn)，得到一個(gè)直角三角形，利用它的邊角關(guān)系來(lái)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。該方法比較簡(jiǎn)便，在歷史上頗受人們的喜愛(ài)，但是今天的學(xué)生對(duì)其中所需的三角公式并不熟悉，因而該方法不適合于教學(xué)。投影法和坐標(biāo)平移法也不是學(xué)生熟悉的，因而也不適合于教學(xué)。最值法利用了柯西不等式，顯然不適合于教學(xué)。三角形面積法是先求以點(diǎn)P與直線(xiàn)l和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積，繼而求得它的高。其中的三角形面積是利用三階行列式來(lái)求的，顯然不適合于教學(xué)。向量法出現(xiàn)得很遲，遠(yuǎn)遠(yuǎn)滯后于向量概念本身。該方法缺乏幾何、代數(shù)或三角方面的根基，但是計(jì)算量很小，因而受到重視向量知識(shí)的現(xiàn)代教科書(shū)的青睞。

綜上，歷史上點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的推導(dǎo)方法雖然豐富多彩，但是有優(yōu)有劣，并非全部適合于今日的課堂教學(xué)。我們選擇其中的交點(diǎn)法、最值法、三角形面積法以及向量法，并且對(duì)其中的最值法和三角形面積法進(jìn)行了必要的改進(jìn)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）情境引入

師 某工廠(chǎng)需要將一批大型貨物從倉(cāng)庫(kù)運(yùn)送到工廠(chǎng)附近的公路上進(jìn)行貨車(chē)裝載。由于貨物數(shù)量多、體積大、噸位重，因此需要在倉(cāng)庫(kù)與公路之間建造一條傳送軌道。為了節(jié)約成本，該如何建造這條軌道呢？如何計(jì)算軌道的長(zhǎng)度呢？

生 （思考幾秒鐘后）從倉(cāng)庫(kù)口造一條垂直于公路的軌道。

師 很好！我們現(xiàn)在把倉(cāng)庫(kù)看成一個(gè)點(diǎn)，公路看成一條直線(xiàn)。為了求軌道的長(zhǎng)度，需要研究“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”的求法。

（二）概念梳理

師 “點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”指的是該點(diǎn)與直線(xiàn)上任意一點(diǎn)連線(xiàn)長(zhǎng)度的最小值，所以同學(xué)們作的是垂線(xiàn)。那么類(lèi)似地，點(diǎn)到平面的距離指的是什么呢？

生 指的是該點(diǎn)到平面上任意一點(diǎn)連線(xiàn)長(zhǎng)度的最小值。

師 很好！那么兩條直線(xiàn)之間的距離又指的是什么呢？

生 指的是在兩條直線(xiàn)上各取一點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)之間連線(xiàn)長(zhǎng)度的最小值。

師 對(duì)。距離其實(shí)就是一個(gè)最小值的概念。

這里，教師不僅讓學(xué)生了解距離的意義，也為以后空間幾何的學(xué)習(xí)埋下伏筆，更重要的是為距離公式的最值推導(dǎo)法作了鋪墊。

（三）最簡(jiǎn)思路講授

“交點(diǎn)法”的邏輯清晰、思路簡(jiǎn)便，適合于初學(xué)者學(xué)習(xí)。教師引出思路后，便直接利用PPT展示結(jié)果，從而避免了在計(jì)算上花費(fèi)太多時(shí)間。由此，讓學(xué)生了解了這一方法的思路，感受到計(jì)算過(guò)程的煩瑣，進(jìn)而促使他們?nèi)ニ伎夹碌耐茖?dǎo)方法。

（四）其他方法探究

教師提前在PPT中預(yù)設(shè)了學(xué)生最易想到的3種推導(dǎo)方法——最值法、三角形面積法以及向量法，并制作了超鏈接。然后，不作任何提示，讓各組學(xué)生自由討論。在班級(jí)中巡視中，教師欣喜地發(fā)現(xiàn)，有兩個(gè)小組經(jīng)過(guò)合作討論，順利完成了公式的推導(dǎo)。

（六）課堂小結(jié)

學(xué)生自由發(fā)言后，教師總結(jié)：“熟記公式并能夠靈活運(yùn)用于解題固然重要，但是公式的由來(lái)也不容忽視。本節(jié)課所呈現(xiàn)的幾種推導(dǎo)方法，體現(xiàn)了一些重要的數(shù)學(xué)思想——化歸思想和模型思想。交點(diǎn)法將點(diǎn)到直線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離；三角形面積法將點(diǎn)到直線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為三角形的高，而三角形面積又通過(guò)圖形的轉(zhuǎn)化求得；最值法則運(yùn)用了二次函數(shù)模型。同學(xué)們通過(guò)團(tuán)隊(duì)合作探究獲得了貌似很復(fù)雜的點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，每一個(gè)人都做了一回?cái)?shù)學(xué)家！公式的推導(dǎo)不僅鍛煉了同學(xué)們的思維能力和創(chuàng)新能力，而且增強(qiáng)了大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。”

三、學(xué)生反饋

課后，我們對(duì)全班40名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查。

首先，調(diào)查學(xué)生在不考慮計(jì)算量的前提下對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式不同推導(dǎo)方法的傾向性。24人（60%）認(rèn)為交點(diǎn)法的思路最簡(jiǎn)單。10人（25%）認(rèn)為三角形面積法最容易想到。5人（12.5%）認(rèn)為向量法最容易。只有1人（2.5%）認(rèn)為最值法思路最簡(jiǎn)單。

其次，調(diào)查學(xué)生在考慮計(jì)算難易程度的情況下對(duì)不同方法的傾向性。22人（55%）認(rèn)為向量法最精彩，其中一人寫(xiě)道：“只需要用到投影公式，幾乎是零計(jì)算量，太方便、太精彩了?！?2人（30%）認(rèn)為三角形面積法最精彩，其中一人寫(xiě)道：“三角面積形法用到的都是初中學(xué)過(guò)的最基本的知識(shí)，計(jì)算量也不大，喜歡?！笔Ｏ?人（15%）則表示所有的方法都很精彩。

最后，調(diào)查學(xué)生對(duì)利用多元方法推導(dǎo)公式的教學(xué)方式的感受。36人（90%）認(rèn)為，有必要從多元化的視角對(duì)公式進(jìn)行探究，其主要理由是：探究的過(guò)程可以開(kāi)拓思維，而做題需要多種思維；技多不壓身，多角度思考很有趣。4人認(rèn)為，只需要知道結(jié)論，能夠解題，并沒(méi)有體會(huì)到對(duì)公式進(jìn)行探究的意義——在“唯分?jǐn)?shù)論”盛行的今天，他們的觀點(diǎn)具有一定的代表性。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課中，我們采用了四種方法來(lái)推導(dǎo)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式。從學(xué)生探究的結(jié)果和課后的反饋來(lái)看，交點(diǎn)法、最值法和三角形面積法都比較符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，因而諸方法的選擇是恰當(dāng)?shù)?。四種方法中，最值法和三角形面積法都是對(duì)歷史上的方法進(jìn)行改進(jìn)得到的，故屬于順應(yīng)式，而交點(diǎn)法和向量法則屬于復(fù)制式。

從數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值看，本節(jié)課揭示了點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式背后的方法之美，并為學(xué)生創(chuàng)造了探究的機(jī)會(huì)，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思維的多元性，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。但是，本節(jié)課缺乏數(shù)學(xué)史的附加式應(yīng)用，即沒(méi)有呈現(xiàn)不同方法的來(lái)源，沒(méi)有交待歷史上有關(guān)方法的發(fā)現(xiàn)者，使得學(xué)生雖然獲得了探究的機(jī)會(huì)，但是沒(méi)有獲得歷史感，未能跨越時(shí)空與數(shù)學(xué)家“對(duì)話(huà)”，未能感受數(shù)學(xué)的文化之魅。

在本節(jié)課中，我們還看到了一些矛盾現(xiàn)象：歷史上的多元方法富有教育價(jià)值，但是運(yùn)用到教學(xué)中勢(shì)必減少學(xué)生練習(xí)的時(shí)間；向量法非常簡(jiǎn)潔，但是遠(yuǎn)離學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”；教師追求美好的課堂教學(xué)，部分學(xué)生的心中卻只有分?jǐn)?shù)。如何解決這些矛盾，是未來(lái)HPM理論和實(shí)踐研究的課題之一。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊懿荔，汪曉勤.20世紀(jì)中葉以前西方解析幾何教科書(shū)中的“點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式”[J].數(shù)學(xué)傳播，2016（3）.

[2] Purcell， E.J.Analytic Geometry[M].New York：AppletonCentruyCrofts，1958.

[3] Loomis， E.The Elements of Analytical Geometry[M].New York：Harper Brothers，1877.

[4] Taylor， A.E.Calculus， with Analytic Geometry[M].New Jersey：PrenticeHall，1959.

[5] Johnston， W.J.An Elementary Treatise on Analytical Geometry[M].Oxford：The Clarendon Press，1893.

[6] Murnaghan， F.D.Analytic Geometry[M].New York：PrenticeHall，1946.