摘要：源于教材的數(shù)學探究活動的實施策略有：由教師提出問題到學生提出問題；讓學生對知識、方法進行類比遷移；讓學生在自主探究的基礎上合作交流。源于教材的數(shù)學探究資源的選材原則包括趣味性、挑戰(zhàn)性和發(fā)展性。由此，可以分“典型探究案例”與“探究活動資源”兩部分架構“源于教材的數(shù)學探究資源庫”。

關鍵詞：數(shù)學探究課程資源教材內容實施策略選材原則

建設促進高中生數(shù)學探究的課程資源庫，能夠積累更多的數(shù)學探究素材，讓學生有更多的機會開展數(shù)學探究活動。為此，我們從融入課堂的數(shù)學探究資源庫建設、源于教材的數(shù)學探究資源庫建設、依托研究性學習的數(shù)學探究資源庫建設三個方面展開研究。

為了研究源于教材的數(shù)學探究資源庫建設，我們結合高中數(shù)學教材中的相關內容（可以是教材中的定理或性質，也可以是教材中的例題或習題），提出一系列具體的數(shù)學問題，指導學生開展有意義、有價值的數(shù)學探究活動；同時，我們還鼓勵學生從教材中的相關內容出發(fā)，自主設計數(shù)學問題，開展數(shù)學探究活動。在此基礎上，我們經(jīng)歷了“實踐→反思→提煉”的過程，逐步形成了“源于教材的數(shù)學探究活動的實施策略”“源于教材的數(shù)學探究資源的選材原則”，架構了“源于教材的數(shù)學探究資源庫”。

一、源于教材的數(shù)學探究活動的實施策略

（一）由教師提出問題到學生提出問題

數(shù)學探究活動“具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結論”?？梢?，“發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題”是學生開展數(shù)學探究活動的起點。因此，教師不僅要提出問題，讓學生開展數(shù)學探究活動；而且要引導學生用好奇的態(tài)度、質疑的精神面對所學的內容，進而讓學生自主地提出問題，確立探究主題。

例如，學習了“直線和圓的位置關系”后，教師出示蘇教版高中數(shù)學必修2習題2.2（2）第11題，作為背景，引導學生開展數(shù)學探究活動。

背景已知圓C的方程是x2+y2=r2，求證：經(jīng)過圓C上一點M（x0，y0）的切線方程是x0x+y0y=r2。

解決了這個問題后，教師啟發(fā)學生：“受這個問題啟發(fā)，你還能提出哪些問題？”通過師生交流和生生交流，促使學生提出問題：首先，將圓的方程由特殊推廣到一般，提出探究1問題；其次，考慮點M的位置變化，提出探究2問題和探究3問題；最后，類似地將探究2問題和探究3問題中的圓的方程由特殊推廣到一般，提出探究4問題和探究5問題。

探究1已知點M（x0，y0）是圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2上一點，求經(jīng)過點M的圓C的切線方程。

探究2已知點M（x0，y0）是圓C：x2+y2=r2外一點，求方程x0x+y0y=r2所表示的幾何意義。

探究3已知點M（x0，y0）是圓C：x2+y2=r2內一點，求方程x0x+y0y=r2所表示的幾何意義。

探究4已知點M（x0，y0）是圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一點，求方程（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2所表示的幾何意義。

探究5已知點M（x0，y0）是圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2內一點，求方程（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2所表示的幾何意義。

這里，數(shù)學探究活動最初源自教師的提問。然后，教師通過“你還能提出哪些問題”的引導，喚醒學生的好奇態(tài)度、質疑精神以及創(chuàng)新意識，從而實現(xiàn)由教師提出問題、學生被動地開展數(shù)學探究活動到學生提出問題、主動地開展數(shù)學探究活動的轉變。

（二）讓學生對知識、方法進行類比遷移

開展數(shù)學探究活動，不僅要促進學生深刻地理解領會所學的知識，掌握知識背后所蘊含的數(shù)學思想方法，而且要幫助學生形成探究習慣、發(fā)展探究能力，從整體上把握數(shù)學知識與方法。為此，最有效的方法是，讓學生對知識、方法進行類比遷移。

例如，學習了“直線和橢圓的位置關系”后，教師讓學生回顧上述關于圓的切線方程的探究，將圓的切線的相關問題（及結論）類比遷移到橢圓的切線中，從而提出探究6問題和探究7問題，開展探究活動。

探究6 已知點M（x0，y0）是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點，求經(jīng)過點M的橢圓C的切線方程。

探究7已知點M（x0，y0）是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）外一點，求方程xx0a2+yy0b2=1所表示的幾何意義。

此外，學習了雙曲線和拋物線的內容后，教師同樣可以讓學生提出類似的問題，開展探究活動。

在這樣的數(shù)學探究活動中，學生可以從已有的問題和結論出發(fā)，發(fā)現(xiàn)、提出新的問題，并且通過分析、解決新的問題，猜想、論證新的結論，從而實現(xiàn)知識、方法的類比遷移，同時提升創(chuàng)新意識。

（三）讓學生在自主探究的基礎上合作交流

數(shù)學探究活動是以發(fā)現(xiàn)、提出有意義的數(shù)學問題為起點，以分析、解決相應的問題為目標。在探究活動中，學生的認識與思考會產(chǎn)生很多差異和不足。教師首先要讓學生通過自主探究，形成個性化的問題以及分析思路和解決策略；然后要讓學生通過合作交流，全面、深刻地認識所探究的數(shù)學問題，學會從不同的角度展開思考。

例如，提出了上述探究2問題后，教師讓學生在獨立探究的基礎上合作交流。由此，學生不僅得到了以下正確的結論，而且給出了5種不同的證法。

結論由圓外的點M（x0，y0）向圓C：x2+y2=r2引兩條切線MA、MB（A、B為切點），則方程x0x+y0y=r2表示直線AB。

證法1設點A（x1，y1）、B（x2，y2），可知直線AM：x1x+y1y=r2，BM：x2x+y2y=r2。因為點M（x0，y0）同時在直線AM和BM上，所以x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2。由這兩式分別可知點A、B在直線x0x+y0y=r2上。又兩點確定一條直線，所以直線AB：x0x+y0y=r2。

證法2如圖1，連接OM、OA，設點A（x1，y1）。

因為OM⊥AB，所以OM為直線AB的法向量，于是可設直線AB：x0x+y0y+c=0①。因為點A在直線AB上，所以x0x1+y0y1+c=0②。

因為OA⊥AM，所以OA2+AM2=OM2，即x21+y21+（x0-x1）2+（y0-y1）2=x20+y20，即x0x1+y0y1=x21+y21。又x21+y21=r2，所以x0x1+y0y1=r2③。

把③代入②，得c=-r2；再將該式代入①，得直線AB：x0x+y0y=r2。

證法3如圖1，連接OM，設點A（x1，y1）。

以O為圓心、OM為半徑作圓，以M為切點作該圓的切線l，則直線l：x0x+y0y=x20+y20。因為OM⊥AB，OM⊥l，所以AB∥l，于是可設直線AB：x0x+y0y+c=0①。因為點A在直線AB上，所以x0x1+y0y1+c=0②。

因為直線AM：x1x+y1y=r2，點M在直線AM上，所以x1x0+y1y0=r2③。

把③代入②，得c=-r2；再將該式代入①，得直線AB：x0x+y0y=r2。

證法4如圖2，連接OM、OA，在直線AB上任取一點Q（x，y），連接OQ。設AB交OM于點T。

因為OM⊥AB于點T，所以OM·OQ=|OM||OQ|cos∠QOT=|OM||OT|。在Rt△OAM中，由射影定理，得|OM||OT|=|OA|2=r2①。

另外，OM·OQ=（x0，y0）·（x，y）=x0x+y0y②。

由①②可知直線AB：x0x+y0y=r2。

證法5如圖2，連接OM、OA，在直線AB上任取一點Q（x，y），連接OQ。設點A（x1，y1）。

因為OM⊥AB，所以OM·AQ=0，即（x0，y0）·（x-x1，y-y1）=x0x-x0x1+y0y-y0y1=0，所以x0x+y0y=x0x1+y0y1①。

因為直線AM：x1x+y1y=r2，點M在直線AM上，所以x1x0+y1y0=r2②。

由①②可得直線AB：x0x+y0y=r2。

以上證法1直接利用代數(shù)形式所表示的幾何本質，最為經(jīng)典、簡捷；證法2和證法3利用垂直關系設出直線AB的方程，再利用相切條件求出其中的參數(shù)，只是設直線方程和求參數(shù)的推理過程略有不同；證法4和證法5引入向量的數(shù)量積運算，利用不同的向量尋找等量關系，得到同樣的直線方程。從不同的角度對問題展開探究，不僅充分調動了學生運用已有的知識和方法解決新問題的積極性，而且拓寬了學生的認知視角，提升了學生的思維靈活性，同時培養(yǎng)了學生的實踐能力與創(chuàng)新精神。

二、源于教材的數(shù)學探究資源的選材原則

（一）趣味性原則

“興趣是最好的老師?！币坏W生對新知識、新方法充滿了求知欲，對客觀世界、未知世界充滿了好奇心，那么其學習的熱情與探究的活力將被點燃。為此，教師需要多一份兒童心態(tài)，從學生的角度出發(fā)，用稍顯“稚嫩”的眼光，發(fā)現(xiàn)、建立那些能夠激發(fā)學生求知欲和好奇心的有趣的探究資源。

例如，學習了“橢圓的概念”，建立了“橢圓的標準方程”，初步了解了橢圓的“參數(shù)方程”后，教師梳理蘇教版高中數(shù)學教材給出的線索，播放網(wǎng)絡視頻《橢圓的多種畫法》，讓學生探究橢圓各種畫法的數(shù)學原理。

教材中給出的線索有：（1）選修2-1第28頁“橢圓的第一定義”；（2）選修2-1第27頁“橢圓的產(chǎn)生”（平面截圓錐面和Dandelin雙球）；（3）選修2-1第33頁操作題“折紙包絡”；（4）選修2-1第64頁閱讀題“貓的運動軌跡與達·芬奇橢圓儀”；（5）選修4-4第53頁閱讀欄目“擺線”。

視頻中呈現(xiàn)的畫法有：（1）如圖3，用繩圈套住兩個固定的樁子和一支活動的鉛筆，繃緊后讓鉛筆在紙上繞圈；（2）如圖4，用一個有斜槽的圓盤約束一支可伸縮的鉛筆（斜槽在圓盤的邊緣且其投影經(jīng)過圓盤的中心），讓圓盤在平面內繞中心旋轉，讓鉛筆在下方斜放的紙上繞圈；（3）如圖5，用點光源斜照一個不透明的球體，沿著陰影的邊緣畫；（4）如圖6，用達·芬奇橢圓儀畫；（5）如圖7，讓一個動圓在一個定圓內滾動（動圓的半徑是定圓的一半），畫出短幅內擺線；（6）如圖8，讓一個平行四邊形的兩條鄰邊繞它們的共同頂點分別沿順時針方向和逆時針方向旋轉，帶動相對的頂點畫出運動軌跡；（7）如圖9，讓一個單擺在豎直平面內擺動，同時讓其下端在水平平面內旋轉（畫圓）。

這些生動的畫面和神奇的畫法讓學生覺得非常有趣，極大地激發(fā)了學生的求知欲和好奇心，使學生探究熱情高漲，積極嘗試，爭相展示。當堂，學生就指出了前四種畫法的原理：第一種是橢圓的第一定義；第二種是平面截圓錐面；第三種是Dandelin雙球；第四種是橢圓的標準方程或參數(shù)方程（證明過程如下）。同時指出了前四種畫法的同類變式：第一種是將繩圈改成繩子，將兩頭分別綁在兩個柱子上；第二種是將斜槽改為直槽（垂直于圓盤）；第三種是將點光源改為平行光源；第四種是將活動桿從兩個滑動點的中間（中點）處折斷并用鉸鏈連接，將離鉛筆較遠的滑動點固定在十字槽的中心（交點）處（這樣可以去掉一根沒有滑動點的槽）。

證明1如圖10，設MN=k（k>0），MP=λMN（λ>1）。建立平面直角坐標系，設P（x，y）、N（x0，0）、M（0，y0）。

由ON2+OM2=MN2，得x20+y20=k2①。

由MP=λMN，得（x，y-y0）=λ（x0，-y0），所以x=λx0，y-y0=-λy0，即x0=xλ，y0=y1-λ②。

將②代入①，得x2λ2+y2（λ-1）2=k2，即x2（λk）2+y2[（λ-1）k]2=1，所以點P的軌跡是橢圓。

證明2如圖10，設MN=a，MP=l（l>a）。建立平面直角坐標系，設P（x，y），∠xNP=θ，則x=lcos θ，y=（l-a）sin θ，所以點P的軌跡是橢圓。

（二）挑戰(zhàn)性原則

“壓力是很好的動力。”挑戰(zhàn)困難，可以激發(fā)學生的成就欲和好勝心；克服困難，可以培養(yǎng)學生的科學精神（學習和探究的勇氣和信心）。為此，教師需要多一點學者心態(tài)，從數(shù)學的角度出發(fā)，用比較“成熟”的眼光，發(fā)現(xiàn)、建立那些能夠激發(fā)學生成就欲和好勝心的困難的探究資源。

上述案例中，教材給出的后一種線索和視頻呈現(xiàn)的后三種畫法涉及比較復雜的復合運動，讓學生覺得比較困難，進一步激發(fā)了學生的成就欲和好勝心，使學生學習和探究熱情不減，繼續(xù)嘗試，不斷挑戰(zhàn)。課后，學生又得出了后三種畫法的原理：第五種是橢圓的參數(shù)方程（證明過程如下）；第六種和第七種也是橢圓的參數(shù)方程（限于篇幅，證明過程省略）。

證明如圖11，設大圓的圓心為O1，半徑為R；小圓的圓心為O2，半徑為r（R=2r）。設筆尖的位置為A，O2A=a（r>a>0）。建立平面直角坐標系，設點A（x，y），其初始位置在O1O2延長線上。

當點O2在圓O1中繞點O1按逆時針方向轉過角θ到達點O2′位置時，點A做一個復合運動：一方面在圓O1中繞點O1按逆時針方向轉過角θ到達點A′位置，另一方面在圓O2中繞點O2按順時針方向轉過角2θ到達點A″位置。

所以x=rcos θ+acos θ=（r+a）cos θ，y=rsin θ-asin θ=（r-a）sin θ，消去θ，得x2（r+a）2+y2（r-a）2=1，所以點A的軌跡是橢圓。

（三）發(fā)展性原則

R.M.加涅說過：教育的目的是使學生更好地“思考”，教學就是“使學生參與到那些促進學習的事件和活動中去”。開展數(shù)學探究活動的最終目的是促使學生形成良好的探究習慣和探究能力，能夠在今后的數(shù)學學習過程中，自主確立探究課題，開展探究活動，為終生發(fā)展奠定良好的基礎——這也正是我們所期待的最美好的結果。為此，教師需要具有學生意識，用發(fā)展的眼光，發(fā)現(xiàn)、建立那些能夠促進學生延伸思考、進一步探究、自主發(fā)展的探究資源。

上述案例中，教材給出的線索和視頻呈現(xiàn)的畫法有很好的發(fā)展性，尤其是后一個線索和后三種畫法：不僅能讓學生想到同類的變式，而且能誘導學生發(fā)現(xiàn)延伸的課題，展開進一步探究。比如，一位學生基于上述第五個線索的內容和第五種畫法的原理，主動發(fā)現(xiàn)課題“內擺線的性質研究”，展開探究：從內擺線的參數(shù)方程出發(fā)，對定圓、動圓半徑的倍數(shù)關系n分整數(shù)、分數(shù)、無理數(shù)情況進行探究，得到不同的內擺線；在此基礎上，對內擺線的周長、面積進行探究，得到相應的表達式；最后，還利用內擺線的極坐標方程，證明了當n依次取3、4、5、6、7、8時，內擺線是一系列曲邊星形，每一個曲邊星形頂點依次在雙曲螺線上。他的部分探究成果如下：

1.內擺線的定義和參數(shù)方程。

一個動圓內切于一個定圓，做無滑動滾動，其上一個定點的軌跡叫作內擺線。

設定圓圓心為O，半徑為R；動圓圓心為O′，半徑為r；定點P的初始位置在切點P0處。如圖12，以O為原點、OP0（即OO′）為x軸正方向，建立平面直角坐標系。

設當點O′相對于點O轉過了角θ（到達點O1）時，點P0相對于點O1轉過了角φ（從點P1到達點P）。這時，點P在定圓O上無滑動滾動所轉過的弧長為Rθ，在動圓O′上無滑動滾動所轉過的弧長為rφ，所以Rθ=rφ，即φ=Rrθ。

過點O1作與x軸正半軸方向一致的射線O1Q，則∠QO1P1=θ，所以∠QO1P=φ-θ=R-rrθ。

設P（x，y），則x=（R-r）cos θ+rcosR-rrθ，

y=（R-r）sin θ-rsinR-rrθ。

1.1. 定圓和動圓半徑比n=Rr取不同值時內擺線的形狀。

1.1.1. 當n是有理數(shù)時，由φ=nθ，得一定存在θ=2kπ，使得φ=2lπ（k、l∈Z且kl≠0）。這即是說，當n為有理數(shù)時，在轉動一段時間后，點P會回到初始位置點P0。

①當n=2時，點P的坐標滿足參數(shù)方程x=2rcosθ，

y=0，所以點P的軌跡是定圓O的過P0的直徑；

②當n=3時，點P的坐標滿足參數(shù)方程x=2rcos θ+rcos2θ，

y=2rsin θ-rsin2θ，利用幾何畫板軟件可以畫出點P的軌跡如圖13所示，是三曲邊星形。圖14

……

此外，教材必修5第62頁閱讀欄目“斐波那契數(shù)列”也是具有趣味性、挑戰(zhàn)性和發(fā)展性的比較好的探究資源。

三、源于教材的數(shù)學探究資源庫的基本架構

為了使“源于教材的數(shù)學探究資源庫”具有較強的可操作性，類似于“融入課堂的數(shù)學探究資源庫”建設，我們依據(jù)“源于教材的數(shù)學探究活動的實施策略”和“源于教材的數(shù)學探究資源的選材原則”，選取適當?shù)囊越滩膬热荩ㄌK教版高中數(shù)學）為基礎的探究資源（兼顧教師發(fā)現(xiàn)的主題和學生自主建立的優(yōu)秀案例），分“典型探究案例”與“探究活動資源”兩部分，按如圖14所示的基本結構對其進行架構。

本文系江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃課題“促進高中生數(shù)學探究的課程資源庫建設研究”（編號：C-c/2015/025）的階段性研究成果。

參考文獻：

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[2] 劉明.融入課堂的數(shù)學探究資源庫建設研究[J].教育研究與評論（中學教育教學），2017（10）.

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