摘要：在各種考試（尤其是大型考試）中，選編一些教材例、習(xí)題的簡(jiǎn)單改編題，具有較好的檢測(cè)效果和導(dǎo)向作用。但是，這類試題的檢測(cè)結(jié)果往往很不理想。以連云港市最近一次高一期末調(diào)研測(cè)試中一道由教材習(xí)題改編而來(lái)的填空題（壓軸題）為例，分析出現(xiàn)這種現(xiàn)象原因，得到教學(xué)啟示：使用（講解）教材中的例、習(xí)題（乃至教學(xué)其他題目）時(shí)，要變換呈現(xiàn)不同的解法以及知識(shí)的不同表征、問(wèn)題的不同形式，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：教材例習(xí)題解題教學(xué)變換

教材中的例、習(xí)題一般都比較基礎(chǔ)、典型，指向通性通法、蘊(yùn)含多種變化；而且在教學(xué)中，通常教師都講過(guò)，學(xué)生都做過(guò)。因此，在各種考試（尤其是大型考試）中，選編一些教材例、習(xí)題的簡(jiǎn)單改編題，最能檢測(cè)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，而且比較公平、客觀，同時(shí)可以引導(dǎo)教師和學(xué)生重視教材例、習(xí)題，不搞題海戰(zhàn)術(shù)。

在各種考試的結(jié)果分析中，筆者發(fā)現(xiàn)，這類試題的檢測(cè)結(jié)果往往很不理想，學(xué)生的得分率相對(duì)偏低。出現(xiàn)這種現(xiàn)象原因到底是什么？教師到底應(yīng)該如何使用（講解）教材中的例、習(xí)題？下面，以連云港市最近一次高一期末調(diào)研測(cè)試中一道由教材習(xí)題改編而來(lái)的填空題（壓軸題）為例，談?wù)劰P者的思考。

一、教材原題及教學(xué)情況

此題的意思和指向非常明確：兩條曲線有公共點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍；利用本章（平面解析幾何初步）所學(xué)的直線與圓（半圓）的位置關(guān)系知識(shí)、數(shù)形結(jié)合方法求解。所以教學(xué)中遇到這道教材原題時(shí)，學(xué)生普遍不會(huì)感到困難，能夠畫(huà)圖解決；少數(shù)可能不知道方程x=1-y2表示半圓，但是經(jīng)過(guò)教師的指導(dǎo)（講解），也都能夠掌握。

二、試題及檢測(cè)結(jié)果

試題已知函數(shù)f（x）=2-x2-x+b有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為。

此題本質(zhì)上是將教材原題中的“曲線有公共點(diǎn)”先變?yōu)椤胺匠逃薪狻?，再變?yōu)椤昂瘮?shù)有零點(diǎn)”；解決時(shí)只要先逆向轉(zhuǎn)化一下即可。但是，其檢測(cè)結(jié)果并不像教師預(yù)期的那樣樂(lè)觀。表1所示是連云港市三所不同層次的直屬四星級(jí)高中此題檢測(cè)的年級(jí)均分與班級(jí)均分情況（滿分為5分）。從表中可以看到，生源最好的甲校年級(jí)平均得分率也只有30.6%，其中最好的實(shí)驗(yàn)班平均得分率也只有50%，沒(méi)有及格；生源不差的乙校和丙校年級(jí)平均得分率更是分別只有5.2%和4.2%，而且都有幾個(gè)班均分是0分，即沒(méi)有一個(gè)學(xué)生解答正確。

三、原因分析

考后，我們隨機(jī)調(diào)研了甲校的兩個(gè)班，讓學(xué)生書(shū)面寫(xiě)出為什么不會(huì)做或做錯(cuò)。學(xué)生反饋的主要原因有（遺憾的是，沒(méi)有對(duì)各類原因做更細(xì)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)）：（1）沒(méi)有思路，不會(huì)做；（2）把b（而不是-b）當(dāng)作直線在y軸上的截距；（3）不知道方程y=2-x2表示半圓；（4）沒(méi)有理解而只是畫(huà)出拋物線形圖形；（5）沒(méi)有想到轉(zhuǎn)化；（6）令2-x2-x+b=0，得2x2-2bx+b2-2=0，由其只有一個(gè)解，可得Δ=（-2b）2-4×2×（b2-2）=0；（7）有畏難心理，不敢做。

進(jìn)一步分析解題思維時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)改編試題比教材原題要求更高。原題明顯指向直線與圓的位置關(guān)系，指向數(shù)形結(jié)合，學(xué)生容易想到。試題則隱去了“曲線的公共點(diǎn)”，看上去與“直線與圓的位置關(guān)系”沒(méi)有關(guān)系，也不一定需要“數(shù)形結(jié)合”。學(xué)生解決此題時(shí)，首先會(huì)想到如何求函數(shù)的零點(diǎn)，能否求函數(shù)的單調(diào)性等；發(fā)現(xiàn)不好求之后，會(huì)想到將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，嘗試解方程2-x2-x+b=0；發(fā)現(xiàn)不容易討論之后，才會(huì)想到將方程的解轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)，嘗試畫(huà)出圖形。而且，學(xué)生如果對(duì)方程所表示的曲線不熟悉，那么還是很難想到怎樣轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成2-x2-x=-b、2-x2=x-b還是其他形式?？傊瘮?shù)的零點(diǎn)方程的解曲線的交點(diǎn)，這一系列思維辨別、分析、轉(zhuǎn)化、選擇的過(guò)程對(duì)學(xué)生的能力要求很高。因此，如果沒(méi)有教材原題做鋪墊，學(xué)生解答改編試題時(shí)，識(shí)別不了直線與圓的位置關(guān)系這一模式，發(fā)現(xiàn)不了數(shù)形結(jié)合這一策略，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤，也是可以理解的。

基于上述原因，如果照搬教材原題考查，很多學(xué)生能夠通過(guò)記憶解決，這樣雖然可以考查學(xué)生解決此類問(wèn)題的能力，但是不夠深入、到位，還會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生“死做題”；而利用改編試題考查，可以進(jìn)一步凸顯能力立意，考查學(xué)生辨別、分析、轉(zhuǎn)化、選擇的能力，還可以進(jìn)一步凸顯知識(shí)交匯，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程這一高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的掌握。

四、教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征是變化中有不變（多樣與不同中有聯(lián)系與統(tǒng)一）。教師使用（講解）教材中的例、習(xí)題（乃至教學(xué)其他題目）時(shí)，不能停留在會(huì)解答的層面，更不能停留在重復(fù)“練習(xí)”甚至反復(fù)“強(qiáng)調(diào)”的層面，而要通過(guò)各種變換，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，從而強(qiáng)化學(xué)生的體驗(yàn)，提升學(xué)生的理解，發(fā)展學(xué)生的模式識(shí)別能力和策略遷移能力。

（一）變換呈現(xiàn)不同的解法

首先要基于學(xué)生的認(rèn)識(shí)和思考，呈現(xiàn)最基本的一般解法；其次要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度認(rèn)識(shí)和思考，尋求其他解法。這樣，才能豐富學(xué)生的認(rèn)知，深化學(xué)生的思維，讓學(xué)生在遇到變化了的情境時(shí)更容易識(shí)別模式，遷移策略。

教學(xué)上述教材原題時(shí)，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)曲線交點(diǎn)問(wèn)題，已知的兩個(gè)方程一個(gè)有參數(shù)，表示一條動(dòng)直線，另一個(gè)沒(méi)有參數(shù)，表示一個(gè)定圓，而且所求的參數(shù)有明確的幾何意義，表示直線在y軸上的截距，因此利用直線與圓（半圓）的位置關(guān)系知識(shí)、數(shù)形結(jié)合方法求解，最為自然、便捷，從而得到如下解法1。

解法1曲線x=1-y2是單位圓x2+y2=1的右半圓。直線y=x+b的斜率為1，在y軸上的截距為b。畫(huà)出圖形，如圖1所示?？芍?dāng)直線與半圓相切時(shí)，它們恰有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)b=-2；當(dāng)直線與y軸的交點(diǎn)在半圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間（可取上交點(diǎn)，不可取下交點(diǎn)）時(shí)，直線與半圓也恰有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)-1

圖1

解法1是學(xué)生最容易想到、接受和掌握的方法。但是只講解法1，會(huì)使學(xué)生認(rèn)知不夠豐富，思維不夠深入，遇到變化的情境時(shí)難以識(shí)別、遷移。

因此，教師其次宜引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度認(rèn)識(shí)、思考，將曲線交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解問(wèn)題，得到如下解法2。

解法2直線y=x+b與曲線x=1-y2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程x2=1-（x+b）2，0≤x≤1只有一個(gè)解。將方程化為2x2+2bx+b2-1=0，令f（x）=2x2+2bx+b2-1。（1）令Δ=（2b）2-4×2（b2-1）=0，得b=±2，當(dāng)b=2時(shí)，x=-22，不滿足題意，當(dāng)b=-2時(shí)，x=22，滿足題意；（2）令f（0）=b2-1=0，得b=±1，當(dāng)b=1時(shí)，x=0或-1，滿足題意，當(dāng)b=-1時(shí)，x=0或1，不滿足題意；（3）令f（1）=（b+1）2=0，得b=-1，不滿足題意；（4）令f（0）f（1）=（b2-1）·（b+1）2<0，得-1

解法2不是將簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化，而是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到有些方程的解問(wèn)題由于受未知數(shù)范圍的限制以及參數(shù)的參與，討論起來(lái)相對(duì)復(fù)雜，但是如果轉(zhuǎn)化成曲線交點(diǎn)問(wèn)題，發(fā)揮形的直觀作用，求解就會(huì)變得簡(jiǎn)單，進(jìn)而體會(huì)到方程的解與曲線的交點(diǎn)之間等價(jià)轉(zhuǎn)化關(guān)系的作用。

當(dāng)然，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生將對(duì)y的消元改變成對(duì)x的消元，提出下列錯(cuò)誤的解法3。

解法3直線y=x+b與曲線x=1-y2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程（y-b）2= 1-y2，-1≤y≤1只有一個(gè)解。將方程化為2y2-2by+b2-1=0，令f（y）=2y2-2by+b2-1。（1）令Δ=（-2b）2-4×2（b2-1）=0，得b=±2，當(dāng)b=2時(shí)，y=22，滿足題意，當(dāng)b=-2時(shí)，y=-22，滿足題意；（2）令f（-1）=（b+1）2=0，得b=-1，此時(shí)y=0或1，不滿足題意；（3）令f（1）=（b-1）2=0，得b=1，此時(shí)y=0或-1，不滿足題意；（4）令f（-1）f（1）=（b+1）2（b-1）2<0，無(wú)解。綜上，b∈{±2}。

解法3不是對(duì)學(xué)生進(jìn)行誤導(dǎo)，而是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平方后x的取值范圍0≤x≤1能決定y的取值范圍-1≤y≤1，能保證曲線是右半圓，而y的取值范圍-1≤y≤1不能決定x的取值范圍0≤x≤1，不能保證曲線是右半圓，所以解法2正確，解法3錯(cuò)誤，從而認(rèn)識(shí)到有些方程（組）中未知數(shù)的取值范圍有一定的獨(dú)立性，消元容易帶來(lái)錯(cuò)誤，進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)越性。

（二）變換呈現(xiàn)知識(shí)的不同表征

數(shù)學(xué)概念和命題往往都有多種表征。強(qiáng)化不同表征的聯(lián)系與統(tǒng)一，幫助學(xué)生建構(gòu)概念域（系）、命題域（系），才能真正地提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升學(xué)生思維的深刻性和靈活性。

解決上述教材原題時(shí)，學(xué)生往往發(fā)現(xiàn)不了式子x=1-y2表示半圓（甚至?xí)J(rèn)為它表示類似拋物線形的圖形），因而不能利用圓的性質(zhì)，不能想到數(shù)形結(jié)合方法。這種現(xiàn)象要求教師在教學(xué)中呈現(xiàn)圓的不同表征，提升學(xué)生對(duì)圓的理解。

具體地，教師可以在教學(xué)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，以圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程為基礎(chǔ)，呈現(xiàn)如下問(wèn)題或結(jié)論：（1）畫(huà)出函數(shù)f（x）=1-x2的圖像。（2）畫(huà)出方程x-1=1-y2表示的曲線。（3）已知點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0）、A（3，1）的距離之比為12，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？畫(huà)出滿足條件的點(diǎn)M所構(gòu)成的曲線。（4）已知點(diǎn)A（1，0）、B（-1，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，且PA2+PB2=4，則滿足條件的點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線是圓。（5）已知點(diǎn)A（1，0）、B（-1，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，且PA·PB=0，則滿足條件的點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線是圓。（6）已知點(diǎn)A（1，0）、B（-1，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，且kPA·kPB=-1，則滿足條件的點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線是圓（除去兩點(diǎn)）……引導(dǎo)學(xué)生多角度地認(rèn)識(shí)圓，思考圓。

（三）變換呈現(xiàn)問(wèn)題的不同形式

基于概念和命題的數(shù)學(xué)問(wèn)題同樣都有多種形式。呈現(xiàn)問(wèn)題的不同形式，才能真正地強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題的體驗(yàn)；而凸顯它們之間的聯(lián)系與統(tǒng)一，才能真正地促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)。也就是說(shuō)，教師要讓學(xué)生解決不同形式的問(wèn)題，從中提煉思想，生長(zhǎng)智慧。

解決上述教材原題時(shí)，學(xué)生往往認(rèn)識(shí)不到直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)、數(shù)形結(jié)合方法的普遍價(jià)值，從而發(fā)現(xiàn)不了這類問(wèn)題的普遍模式和策略。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該呈現(xiàn)這類問(wèn)題的不同形式，幫助學(xué)生把握這類問(wèn)題的本質(zhì)。

具體地，教師可以在教學(xué)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，以這道題目為基礎(chǔ)，呈現(xiàn)如下問(wèn)題：（1）若直線y=x+b與曲線y=1-x2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。（2）討論方程1-x2=x-b的解的情況。（3）已知函數(shù)f（x）=2-x2-x+b有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。（4）求函數(shù)f（x）=1-x2x+2的值域。（5）求函數(shù)f（x）=x+1-x2的值域。

上述問(wèn)題有的以兩條曲線有公共點(diǎn)的形式呈現(xiàn)，有的以解方程的形式呈現(xiàn)，有的以函數(shù)有零點(diǎn)的形式呈現(xiàn)，有的以求函數(shù)值域的形式呈現(xiàn)。學(xué)生求解第二題和第三題時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)很難或不能直接求解，從而自覺(jué)地將它們轉(zhuǎn)化成曲線交點(diǎn)問(wèn)題。對(duì)于第四題和第五題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分別將原函數(shù)解析式變換成（x+2）f（x）=1-x2和-x+f（x）=1-x2，從而分別把原函數(shù)的函數(shù)值看成直線的“斜率”和“截距”，利用直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)、數(shù)形結(jié)合方法求解。

此外，考慮到學(xué)生對(duì)一些基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不夠牢固，容易出現(xiàn)混淆，在呈現(xiàn)問(wèn)題的不同形式時(shí)，還可以對(duì)一些細(xì)節(jié)做適當(dāng)變換，從而幫助學(xué)生辨析相關(guān)知識(shí)，加深印象。比如，教學(xué)上述教材原題時(shí)，可以把直線方程變成y=x-b、x=y+b等。

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“提升高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)研究”（編號(hào)：D/2016/02/04）的階段性研究成果。