摘要：基于“以學(xué)定教”理念，在推進(jìn)“基于前測(cè)、基于學(xué)情的有效教學(xué)”的過(guò)程中，一些薄弱學(xué)校的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課出現(xiàn)了前測(cè)“改而不用”或“用而不精”的現(xiàn)象。對(duì)此指出：前測(cè)能使教學(xué)更有針對(duì)性和連續(xù)性，前測(cè)中的錯(cuò)題能使教學(xué)更有診斷性和優(yōu)化性；前測(cè)與錯(cuò)題使用的教學(xué)路徑包括全方位掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，多層面挖掘?qū)W生的錯(cuò)誤原因，針對(duì)性解決學(xué)生的重大困難，精致化落實(shí)學(xué)生的強(qiáng)化補(bǔ)償。

關(guān)鍵詞：前測(cè)錯(cuò)題數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課二次根式

“以學(xué)定教”是提高教學(xué)有效性的基本理念，為此，筆者所在的地區(qū)正在努力推進(jìn)“基于前測(cè)、基于學(xué)情的有效教學(xué)”。實(shí)際教學(xué)中，很多教師普遍認(rèn)為復(fù)習(xí)課最難上，也最需要了解學(xué)情，因?yàn)椤皩W(xué)過(guò)一遍”后學(xué)情會(huì)更加復(fù)雜、更加差異化。

最近，筆者參加了所在地區(qū)的專項(xiàng)教學(xué)視導(dǎo)工作，專門聆聽了一些薄弱學(xué)校（教學(xué)有效性不夠彰顯的學(xué)校）的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教師均按照備課組的安排使用了統(tǒng)一的講學(xué)案，認(rèn)真地選編了前測(cè)試題，及時(shí)地對(duì)學(xué)生完成的前測(cè)進(jìn)行了全批或半批（有些教師還在講學(xué)案上標(biāo)注了試題做錯(cuò)的情況以及做錯(cuò)學(xué)生的姓名），但是在教學(xué)過(guò)程中卻出現(xiàn)了前測(cè)“改而不用”或“用而不精”的現(xiàn)象：有些教師批改時(shí)沒(méi)有走心，沒(méi)有對(duì)結(jié)果和錯(cuò)題歸因等作深入的分析，只是做個(gè)樣子，應(yīng)對(duì)檢查，還是不知道學(xué)生哪些內(nèi)容已經(jīng)掌握、哪些內(nèi)容還是不懂，也就沒(méi)辦法作出有效的教學(xué)設(shè)計(jì)；有些教師不重視得到的學(xué)情，還是更多地憑借自己的經(jīng)驗(yàn)和想象行事，比如，盡管有了一些詳略之別，但還是按部就班地逐題講解，對(duì)

學(xué)生一百個(gè)不放心。總之，課堂上很少見到依據(jù)前測(cè)的批改與反饋的實(shí)情而及時(shí)地調(diào)控教學(xué)過(guò)程的痕跡，也很少見到把學(xué)生的錯(cuò)題看作一種重要的教學(xué)資源而充分挖掘其價(jià)值的痕跡。因此，“如何使用前測(cè)，挖掘錯(cuò)題的價(jià)值，以提升薄弱學(xué)校數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效性”的問(wèn)題引起了筆者的深思。

一、前測(cè)與錯(cuò)題使用的教學(xué)意義

（一）前測(cè)能使教學(xué)更有針對(duì)性和連續(xù)性

美國(guó)教育心理學(xué)家奧蘇伯爾在其《教育心理學(xué)——認(rèn)知觀點(diǎn)》一書中指出：“影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué)?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。因此，有效的教學(xué)必須了解學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)水平（包括已經(jīng)掌握哪些、還沒(méi)掌握哪些），將其作為教學(xué)的起點(diǎn)，對(duì)學(xué)生展開有針對(duì)性和連續(xù)性的指導(dǎo)。

顧名思義，前測(cè)是指教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，將學(xué)習(xí)內(nèi)容編制成測(cè)試題目，然后在教學(xué)之前，對(duì)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)知識(shí)和方法儲(chǔ)備的預(yù)先測(cè)試。前測(cè)的結(jié)果能夠顯示學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)水平。因此，前測(cè)能為教師提供更為準(zhǔn)確、動(dòng)態(tài)的學(xué)生學(xué)習(xí)信息，幫教師找到學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)、“最近發(fā)展區(qū)”以及真實(shí)問(wèn)題、內(nèi)在需求。在此基礎(chǔ)上，教師便可以研制可發(fā)展、可提升的學(xué)習(xí)目標(biāo)，選擇（增刪、調(diào)換）恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容，采用（調(diào)整、改進(jìn)）適宜的教學(xué)策略，開展更有針對(duì)性和連續(xù)性的教學(xué)，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突、探索行為，讓不同學(xué)生的有效學(xué)習(xí)真正發(fā)生。總之，基于前測(cè)的教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也符合“關(guān)注全體”“尊重差異”“分層發(fā)展”“因材施教”等“以學(xué)定教”的理念。

（二）錯(cuò)題能使教學(xué)更有診斷性和優(yōu)化性

教學(xué)的根本任務(wù)是教學(xué)生學(xué)，讓學(xué)生學(xué)，幫學(xué)生學(xué)。從學(xué)的角度看，學(xué)生是唯一主體。從教的角度看，教師是組織者、引導(dǎo)者、輔助者?！耙詫W(xué)定教”理念要求教師，在教學(xué)過(guò)程中設(shè)法促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，然后把主要精力放在發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的失敗和不足（還沒(méi)掌握的內(nèi)容），展開有針對(duì)性和連續(xù)性的指導(dǎo)上。這樣，才能真正幫助學(xué)生成長(zhǎng)。否則，就是在學(xué)生學(xué)習(xí)的成功和優(yōu)勢(shì)（已經(jīng)掌握的內(nèi)容）上做重復(fù)無(wú)效的勞動(dòng)。

這里所說(shuō)的錯(cuò)題是指學(xué)生在前測(cè)中做錯(cuò)的題目。它充分顯示了學(xué)生學(xué)習(xí)的失敗和不足。因此，錯(cuò)題能為教師提供更為準(zhǔn)確、動(dòng)態(tài)的學(xué)生學(xué)習(xí)困難，幫教師找到學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)問(wèn)題、內(nèi)在需求。在此基礎(chǔ)上，教師便可以因勢(shì)利導(dǎo)，開展更有診斷性和優(yōu)化性的教學(xué)，觸發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與再度探究，引導(dǎo)學(xué)生追本溯源，以錯(cuò)引“措”，以誤換“悟”，在尋找錯(cuò)因和糾正錯(cuò)誤的過(guò)程中對(duì)之前模糊不清或殘缺不全的認(rèn)知圖式構(gòu)建清晰和完整的印象?？傊?，基于錯(cuò)題的教學(xué)能夠幫助學(xué)生找準(zhǔn)短板，消滅死角，磨煉意志，反思學(xué)法，不斷突破。

二、前測(cè)與錯(cuò)題使用的教學(xué)路徑

（一）全方位掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)

對(duì)于學(xué)生完成的前測(cè)，教師首先要及時(shí)批改，可以在課前自己批改，也可以在課上讓學(xué)生互相批改而自己巡視檢查。在批改或巡視檢查的基礎(chǔ)上，則要適當(dāng)記錄，并合理分析、理性歸納，從而全方位掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，并重點(diǎn)了解哪些問(wèn)題需要個(gè)別“拾遺”、哪些問(wèn)題需要集體“補(bǔ)缺”等。在此基礎(chǔ)上，還要初步設(shè)計(jì)整節(jié)課的教學(xué)思路和重點(diǎn)，讓教學(xué)起點(diǎn)與學(xué)習(xí)起點(diǎn)基本保持一致。

例如，一次“二次根式”復(fù)習(xí)課中，教師批改學(xué)生完成的前測(cè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些簡(jiǎn)單計(jì)算題的類似“

-11-125=-235，

122-2=12”這樣的錯(cuò)誤共有12次之多。由此，教師通過(guò)分析歸納，認(rèn)為這節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)較低，存在知識(shí)點(diǎn)和算理方面的一些障礙：主要是同類二次根式的概念以及合并法則模糊不清。進(jìn)而，教師得出這節(jié)課節(jié)奏要放慢，“拾遺補(bǔ)闕”的任務(wù)和時(shí)間要充足的教學(xué)思路與重點(diǎn)。

（二）多層面挖掘?qū)W生的錯(cuò)誤原因

錯(cuò)題歸因是錯(cuò)題訂正的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，這是一個(gè)再思考、再認(rèn)識(shí)的過(guò)程，有助于學(xué)生真正理解知識(shí)，掌握方法，確保不再犯同樣的錯(cuò)誤，同時(shí)學(xué)會(huì)反思，提升能力。錯(cuò)題歸因并不簡(jiǎn)單，常見情況就有很多種，如粗心失誤、知識(shí)混亂、思維障礙、方法錯(cuò)誤、負(fù)面信息干擾等。對(duì)于學(xué)生前測(cè)中的錯(cuò)題，教師在批改的過(guò)程中應(yīng)該對(duì)錯(cuò)因有一個(gè)基本的把握，但是不能僅以此為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生糾錯(cuò)，而更要引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)主動(dòng)地尋找錯(cuò)因，從而多層面挖掘?qū)W生的錯(cuò)誤原因，把學(xué)生的學(xué)習(xí)引向深處。首先，要讓學(xué)生靜下心來(lái)獨(dú)自思考，審視錯(cuò)題、查找錯(cuò)因；其次，要讓學(xué)生在輕松的氛圍中小組討論，陳述知識(shí)理解、展示思維過(guò)程、辨析錯(cuò)誤原因；再次，要讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)因進(jìn)行分類和匯總，以降低記憶難度，提高分析能力；最后，要讓學(xué)生基于錯(cuò)因?qū)﹀e(cuò)題進(jìn)行搜集和整理，形成錯(cuò)題集。經(jīng)過(guò)這樣的深入研究與思考，形成的錯(cuò)題集就成了寶貴的復(fù)習(xí)資料，經(jīng)常翻閱可以有效降低學(xué)生的錯(cuò)題率。

例如，上述“二次根式”復(fù)習(xí)課中，有一道前測(cè)題是“化簡(jiǎn)

50

”，有學(xué)生的答案竟然是“

55”或“25

”。對(duì)此，教師苦思冥想，卻不解其錯(cuò)因。于是，教師直接讓出錯(cuò)的幾個(gè)學(xué)生講講自己是怎么想的、怎么做的。但是，幾個(gè)學(xué)生都說(shuō)不出所以然，只好說(shuō)是粗心。對(duì)此，教師并不滿足，認(rèn)為不夠清楚。于是，教師接著讓全體學(xué)生小組討論，共同尋找解題過(guò)程中的具體錯(cuò)誤及其根本原因。結(jié)果，學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題過(guò)程是“

50=25×5=25×5=55

”，錯(cuò)誤原因不在整體思路，而在具體計(jì)算，即基本計(jì)算粗心、憑感覺(jué)、生疏、少?gòu)?qiáng)化。這一原因的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生十分慚愧，從而印象深刻，主動(dòng)訓(xùn)練；也讓教師哭笑不得，從而意識(shí)到要在教學(xué)中連續(xù)滲透，不斷強(qiáng)化。

（三）針對(duì)性解決學(xué)生的重大困難

學(xué)生前測(cè)中有時(shí)會(huì)有一部分錯(cuò)題很難具體歸因（只能概括為幾乎不會(huì)做），主要表現(xiàn)為很多學(xué)生給不出答案或給出的答案五花八門。這類“疑難雜癥”往往是“高頻概念殘缺”“核心公式模糊”或“解法直接短路”等深層、綜合的原因造成的，是學(xué)生學(xué)習(xí)中遇到的重大困難。常規(guī)錯(cuò)題歸因分析到位后，教師便可以集中精力突破這樣的“疑難雜癥”，從而針對(duì)性解決學(xué)生的重大困難。首先，要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)回顧教材，理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，強(qiáng)化反思習(xí)慣，構(gòu)建清晰圖式；其次，要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件，理清解題思路，掌握解題方法，并且有意識(shí)記一些解題規(guī)律；再次，要讓學(xué)生小組討論，充分展示自己、借鑒他人，從而打開思路、豐富方法，完善自己；最后，要引導(dǎo)學(xué)生在比較和爭(zhēng)辯中學(xué)會(huì)堅(jiān)持和放棄，從而既了解“多樣化”，又學(xué)會(huì)“最優(yōu)法”，由此拾級(jí)而上。

例如，上述“二次根式”復(fù)習(xí)課中，有一道前測(cè)題是“12的負(fù)平方根介于。A.-5和-4之間；B.-4和-3之間；C.-3和-2之間；D.-2和-1之間”，學(xué)生給出的答案五花八門（四個(gè)選項(xiàng)都有）。這類題目對(duì)于薄弱學(xué)校的學(xué)生來(lái)說(shuō)的確有點(diǎn)“著急”了：很多學(xué)生對(duì)正平方根的范圍還未弄清楚，遇到負(fù)平方根自然就兩眼一抹黑，思維被繞進(jìn)死胡同了。這時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深度讀題，抓住核心條件（關(guān)鍵詞語(yǔ)），即明顯的“平方根”“負(fù)的”和潛在的“負(fù)數(shù)大小比較”，從而認(rèn)清困難之處。厘清題眼后，應(yīng)讓學(xué)生先查閱教材上的相關(guān)概念、法則，

再小組討論解題思路和方法，從而循序漸進(jìn)地開展解題教學(xué)。如果學(xué)生還有困難，可以補(bǔ)充兩道小題來(lái)鋪墊引導(dǎo)：（1）

2、5介于哪兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)之間？

（2）下列無(wú)理數(shù)中，在-2和1之間是。A.-5；B.-3；C.3；D.5。

這樣不僅可以做到“就題論理”，力求“一題多解”，強(qiáng)化“最優(yōu)法”，而且可以做到“一解多題”，最終實(shí)現(xiàn)“解一題，會(huì)一類”。

（四）精致化落實(shí)學(xué)生的強(qiáng)化補(bǔ)償

上述基于前測(cè)和錯(cuò)題的教學(xué)完成后，教師還要針對(duì)教學(xué)的重難點(diǎn)，補(bǔ)充設(shè)計(jì)一些即時(shí)（課上）或延時(shí)（課后）的反饋練習(xí)（作業(yè)），讓學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化和補(bǔ)償。這樣的練習(xí)應(yīng)該是一個(gè)變式性題組，其設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于控制難度和制造學(xué)習(xí)興奮點(diǎn)。首先，要有呼應(yīng)性，即練習(xí)題不僅有價(jià)值、有質(zhì)量，而且呼應(yīng)前測(cè)中存在的問(wèn)題，在潛移默化中鞏固舊知舊難，達(dá)到完全掌握的效果；其次，要有分層性，即練習(xí)題兼顧差、中、優(yōu)學(xué)生，分層設(shè)計(jì)、推進(jìn)，引導(dǎo)部分學(xué)生對(duì)比題組之間的區(qū)別與聯(lián)系，加深理解，提升思辨能力；最后，要有激勵(lì)性，即練習(xí)題有一定的游戲性和挑戰(zhàn)性，讓學(xué)生在做題比較和自我反思中找到一點(diǎn)感覺(jué)，嘗到一些甜頭，掌握良好的解題方法，形成扎實(shí)的認(rèn)知策略，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

例如，上述“二次根式”復(fù)習(xí)課中，根據(jù)前測(cè)和錯(cuò)題的情況，教師已經(jīng)基本摸清并重點(diǎn)突破了“最簡(jiǎn)二次根式的概念和化簡(jiǎn)”“二次根式混合運(yùn)算”“無(wú)理數(shù)大致范圍的估計(jì)”等內(nèi)容。在課堂的最后，可以配套跟進(jìn)如下“ABC同素異質(zhì)題組”進(jìn)行強(qiáng)化和補(bǔ)償?shù)姆答仭?/p>

1.（A類）下列計(jì)算正確的是（）

A.2×3=6B.

2+3=6

C. 8=32D. 4÷2=2

2.（B類）下列二次根式能與48合并的是（）

A.0.15B.18

C.113

D.-50

3.（A類）最簡(jiǎn)二次根式3

與51+2m

可以合并，則m=。

4.（B類）最簡(jiǎn)二次根式3a-8與17-2a

可以合并，則使4a-2x

有意義的x的取值范圍是。

5.（A類）大于-2

且小于1的整數(shù)是。

6.（B類）用“<”把下列各數(shù)連接起來(lái)：-32、3.14、π、-0.13、-23。

。

7.（選做）已知24n

是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為。

8.（選做）化簡(jiǎn)：a2+1a2-2

（0

這里，第1題考查二次根式的化簡(jiǎn)和簡(jiǎn)單的一步計(jì)算；第2題考查被開方數(shù)含小數(shù)、分?jǐn)?shù)的最簡(jiǎn)二次根式的復(fù)雜化簡(jiǎn)；第3題考查最簡(jiǎn)二次根式的概念，可以口算結(jié)果；第4題考查最簡(jiǎn)二次根式的概念、二次根式有意義的條件和一元一次方程；第5題考查無(wú)理數(shù)的比較大小以及整數(shù)概念；第6題考查多種類型無(wú)理數(shù)的比較大小以及估算問(wèn)題；第7題綜合考查算術(shù)平方根的意義、整數(shù)概念、最值問(wèn)題以及枚舉法等數(shù)學(xué)方法；第8題綜合考查含字母系數(shù)的二次根式的化簡(jiǎn)和完全平方公式。這樣的題組達(dá)標(biāo)要求層層遞進(jìn)：所有學(xué)生應(yīng)該完成3道A類基礎(chǔ)題，對(duì)前測(cè)中出現(xiàn)的三類問(wèn)題“再鞏固”“再夯實(shí)”；中等生應(yīng)該努力完成對(duì)應(yīng)前題的綜合三個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)的3道B類中檔題，實(shí)現(xiàn)自我挑戰(zhàn)；A、B類題全部完成的學(xué)生可以嘗試完成最后兩道選做題，訓(xùn)練一下綜合思維，提高學(xué)習(xí)的積極性。這樣，可以讓不同層次的學(xué)生都從簡(jiǎn)單解題逐步走向深刻掌握，也可以確定本節(jié)復(fù)習(xí)課是否讓學(xué)生有收獲、有提升。