摘要：對參加全國數學奧林匹克競賽獲得省一等獎及以上獎項或在近幾年江蘇省數學高考中取得140分以上成績的學生的數學學習特點進行研究，發(fā)現他們在學習方法方面，自學經歷豐富，認真聽講與獨立思考緊密結合，歸納總結與糾錯訂正緊密結合，擁有一些個性化的學習方法；在知識理解方面，特別關注數學知識結構的整體性、聯系性、靈活性、發(fā)散性；在素養(yǎng)形成方面，具有濃厚的數學興趣、突出的求異思維、較強的批判性思維、強烈的數學意識、良好的解題習慣。

關鍵詞：數學資優(yōu)生學習方法知識理解素養(yǎng)形成

本文所說的數學“資優(yōu)生”（以下簡稱“數優(yōu)生”）是指參加全國數學奧林匹克競賽獲得省一等獎及以上獎項或在近幾年江蘇省數學高考中取得140分以上成績的學生。從某種意義上說，我們的數學教學就是要培養(yǎng)這樣的“數優(yōu)生”。近幾年來，我們對江蘇省三所四星級老牌重點高中200多位“數優(yōu)生”進行了跟蹤訪談、問卷調查、課堂觀察、作業(yè)分析和實驗統(tǒng)計，與10多位任教實驗班和競賽輔導班的數學教師進行了當面交流，并通過校友與一些清華、北大等校的在校學生書面聯系，獲得了大量的數據資料。

據此，我們從數學的學習方法、知識理解、素養(yǎng)形成等方面進行了分析研究，發(fā)現了“數優(yōu)生”的一些學習特點，以期給數學教學一些啟發(fā)。

一、學習方法

學習方法是指學生通過學習實踐總結出的快速掌握知識的方法。學習方法沒有統(tǒng)一的規(guī)定，因學習條件、環(huán)境、主體、對象的不同而不同。

（一）自學經歷豐富

許多“數優(yōu)生”在高一學年結束時已經自學完高中數學教材中有關奧賽的知識，理解了高中數學內容，能解決教材中的例題。他們充分利用自己的時間，閱讀參考書，做習題（尤其是綜合題與應用題），通過大量解題，熟能生巧，鞏固課堂學習和自學的效果。

（二）認真聽講與獨立思考緊密結合許多“數優(yōu)生”認為教師在課上講的內容才是最系統(tǒng)全面的，也特別關注新授知識的發(fā)生、形成過程，注重新授定理的證明與應用，重視新舊知識的區(qū)別與聯系。他們認為熟悉的題目也可能有新穎的方法，教師的一個好方法可能比多做幾道題有用得多，專注聽講的學習效率更高，可以從教師的思維中獲得解題方法。他們還會在認真聽講的同時獨立思考，多問幾個為什么，從中發(fā)現更多的問題，而不盲目地相信。

（三）歸納總結與糾錯訂正緊密結合很多“數優(yōu)生”認為數學學習最重要的是不斷歸納總結，使知識形成體系，完善的知識體系可以讓自己在拿到題目時很快通過知識網絡的延伸找到下一步的做法；

對于一種方法類型的題目，只要整理出最有代表性的一兩道，使得做一道題就有一道題的收獲，即從類似的題目中找到相似或相同的方法，從整體上把握一類題目的方法，并且尋找一些適合自己的解題思路和技巧，不斷優(yōu)化方案，提高解題速度和水平。

此外，他們還認為學好數學的關鍵是利用好錯題，總結錯題背后的原因，在每一道錯題旁邊注上思考與注意點，并及時訂正，鞏固復習，訂正時搞清楚改動過程中每一步的原因。

（四）擁有一些個性化的學習方法有些“數優(yōu)生”還有一些個性化的學習方法，下面是幾位“數優(yōu)生”的“語錄”——生我做的數學題并不是很多，但是我證明的定理、結論比別人多很多。我覺得證明定理比做大量數學題有趣。書本上每一個定理的證明方法我?guī)缀醵紩?，參加競賽輔導時老師講的每一個定理我都力求掌握其證明方法。有時我也問老師，

但是有些定理老師也不會證明，這時我會上網查找資料。我發(fā)現這個方法很管用，可以幫助我解決許多問題。

生我的格言是：“還應該有一種更簡單的方法?！币郧拔易鰯祵W題的速度并不是很快，但是我經常想要找出至少兩種解題方法，并比較它們的差異和優(yōu)劣（其實許多方法本身不存在優(yōu)劣，只是在應對不同的題目時顯示出繁與簡而已）。經常這樣“折騰”自己，我的解題速度就快了許多。雖然并不是每道題目我都能想出新的解法，但是我經常去想新的方法。不知不覺間，許多同學們認為難度較大的問題，我往往很快就能找到解決的思路和技巧。

生我平時記錄的數學課堂筆記較少，主要記書本沒有的、老師補充強調的和自己沒有當堂掌握的要點。我覺得聽課的關鍵是弄清老師提出的問題，然后自己獨立思考，不會的地方關注老師是如何分析的。但是我用的草稿紙很多：首先是嘗試實施我的各種解題“念頭”；其次是親自算一遍、證一下我認為不是顯然的結論；第三是懷疑一切結論，換一種說法就是經常

提出一些新的問題，然后不停地在草稿紙上推算。不知不覺間，我的數學成績越來越好了。

生我對高中數學中的幾何圖形情有獨鐘。

對于有圖形的數學問題，我會先看圖形掌握整體輪廓，再讀題目并把條件標注在圖形上。只要可以畫出圖形的題目，我都會畫出圖形。我覺得圖形具有直觀性、整體性、和諧性、對稱性等特性。我對圖形的幾何特征（性質）有獨到的認識，每個特征（性質）我都要反復嘗試用不同的數量

關系來表示，因而經常會出人意料地得到比較簡捷的方法。久而久之，我對數學解題的直覺判斷越來越準確了。

生我認為不一定要做很多的題目，我對每一道題目的思考可能比別人多很多。

我會思考：第一，這個題目和我做過的題目是否有相似之處；第二，這個題目的解法是否具有推廣價值（通法），這個題目的結論是否具有一般性（通性）；第三，這個題目的條件和結論倒過來是否成立。我常常為自己獲得一個新的結論、新的題目、新的解法而自豪。我會用我編的題目去考其他同學，一起討論研究，一起進步。

此外，還有幾位學生也提出了一些有特色的學習方法。比如，有的學生喜歡提前做書本后的習題，等老師講解時，邊聽邊對比，看看老師的做法和自己的解法有哪些不同；有的學生喜歡嘗試逆向分析問題，即從問題的結論出發(fā)逆序而上，尋找解題思路。

二、知識理解

“數優(yōu)生”理解數學知識時特別關注數學知識結構的整體性、聯系性、靈活性、發(fā)散性：善于發(fā)覺知識的原理（即知識的來龍去脈），喜歡刨根求源；

善于發(fā)現知識中蘊含的思想方法，喜歡概括提煉

；長于對知識進行變式遷移，能夠將

知識以多種形式表示；長于將知識系統(tǒng)化，能夠在不同的知識和方法之間建立聯系，構建出比較完整的網絡

；熟悉大量背景知識和常用結論，并用來指導自己分析問題。

特別地，我們對江蘇省三所四星級老牌重點高中理科實驗班的學生進行過一項問卷調查，內容是：以“垂直”為關鍵詞寫出相關的內容結論，要求越多越好。

結果顯示，“數優(yōu)生”與一般學生相比，對“垂直”相關知識的表示、理解具有以下特點：（1）“數優(yōu)生”聯想的結論多，一般學生在10個左右，而“數優(yōu)生”最多的有26個；（2）“數優(yōu)生”的結論內容涉及面廣，一般學生往往只把垂直看作平面幾何中的概念，只從平面幾何的角度敘述相關的結論，而“數優(yōu)生”的結論涉及平面幾何、三角函數、解析幾何、空間幾何、矩陣、物理、生物、語文、美術、生活等多方面

；（3）一般學生表述比較雜亂，而“數優(yōu)生”善于分類描述；（4）一般學生只能呈現簡單

的知識結論，而“數優(yōu)生”能從知識結論中呈現思想方法，如“二維空間—三維空間—四維空間”的結論，分類

討論思想、數形結合思想明晰；（5）“數優(yōu)生”的知識結構清晰完整，

知識之間建立了密切的聯系，聯想豐富；（6）“數優(yōu)生”呈現知識的形式多樣，往往圖文并茂，數形結合，表格、符號多樣呈現

。

三、素養(yǎng)形成

數學素養(yǎng)是指學生對數學知識的理解、掌握與運用的程度，能夠在實踐中自覺地將所學的數學知識用以解決實際問題的意識與能力。

（一）濃厚的數學興趣

幾乎所有“數優(yōu)生”都認為：興趣是一個人能夠深入學習、取得成功最根本的動力；興趣也許是

天生的，但更多的是在持續(xù)專注、不斷進步的學習中因為充實感和成就感而逐漸產生的。他們也都認為：數學是一門很有趣的學科，對于思維的訓練非常有幫助；只要用心學習，就能在數學解題，特別是解決難題中獲得樂趣，感到自我的充實和成就。

（二）優(yōu)異的思維品質

“數優(yōu)生”

求異思維突出。他們能多角度、全方位地看問題。比如，一般學生看到的是一道三角函數題，可在“數優(yōu)生”眼中卻變成了一道解析幾何中的軌跡題；一般學生看到的是一個比較復雜的代數不等式問題，可在“數優(yōu)生”的眼中卻變成了一道聯系生活的糖水濃度問題；等等。

“數優(yōu)生”在解題時從不墨守成規(guī)，常常會突破一些固有的解題模式，創(chuàng)造出自己的

解法。久而久之，“數優(yōu)生”的數學學習就比一般學生更深刻和牢固了。

“數優(yōu)生”的批判性思維較強。他們具有追求真理的質疑精神，敢于否定書本的答案和教師的想法。他們不會盲目地去相信某種結果或解法一定是對的，一定是最好的。他們說：“看數學書，要用懷疑的眼光、挑戰(zhàn)的心態(tài)，不斷質疑，深入思考，只有這樣，才能有所得。有些參考書的答案是不科學的，不像教材和高考試卷，經過縝密的審查和多方的協商，這時就要敢于運用自己所學的知識，經過科學的分析，果斷地否決它?！薄袄蠋熤v解一道題的時候，如果解法不是那么自然與流暢，我一定會默默地思考、研究，爭取給出一個驚艷的解法?！薄皵祪?yōu)生”普遍喜歡提問，這不僅是對懷疑精神的挖掘，也是一個自我認證的過程。

（三）強烈的數學意識

數學意識是對數量關系和空間形式自覺、主動的認識，是用數學的眼光發(fā)現問題、分析問題的一種素養(yǎng)。

“數優(yōu)生”善于從眾多的現象中提取數學問題，并運用已有的知識解決這些問題。他們審題理解能力強，對于題目細節(jié)比較敏感，善于發(fā)現隱含條件；直覺判斷能力強，對于解題方向比較清醒，善于把控解題過程。他們能夠洞察數學問題的本質，簡化問題，迅速判斷出數學問題考查的知識、思想方法，甚至其他命題意圖；有較強的化歸能力，能將一些陌生的問題進行分解與重組，轉化為熟悉的問題。

（四）良好的解題習慣

“數優(yōu)生”都有良好的解題習慣，因而會做的題極少出錯。他們語言表達規(guī)范，草稿和卷面都井井有條；善于反思，解題后會確認步驟、結果是否合理；尤其是對比較機械煩瑣的數學運算，有方向的判斷意識，有方法的簡化意識，有直覺靈感，同時熟悉各種運算法則，能夠耐心地進行各種復雜的數式運算。

四、對教師的期望

對于“數優(yōu)生”，我們除了試圖了解他們的學習特點，還試圖了解他們對教師的期望，因為這在一定程度上反映了他們的學習需求，特別是教師能滿足的那部分學習需求，可以給數學教學更多、更加直接的啟發(fā)。

從對調查問卷的分析研究中，我們發(fā)現，“數優(yōu)生”最希望教師介紹書本結論背后的奧秘，提供更多、更合理、更簡捷的想法，展示思考問題的不同角度，闡明數學的思想方法，從而幫助他們拓寬視野，擴充思路，學會思考問題；還希望教師和他們一起討論問題，幫助他們形成“有沒有更好的想法”的思維習慣，并從多種角度發(fā)現數學的意義；也希望教師對不同的學生，提供不同的教學內容，采取不同的教學方法，培養(yǎng)學生對數學的興趣。