摘要：基于初中數(shù)學教學中滲透集合觀念的價值和現(xiàn)狀，分析現(xiàn)行的義務(wù)教育階段數(shù)學教材中與集合相關(guān)的內(nèi)容有哪些及造成學生集合觀念淡薄的原因何在；提出初中數(shù)學教學中滲透集合觀念的途徑，即在建構(gòu)概念時滲透集合觀念，在探究結(jié)論時運用集合工具，在解決問題時嘗試集合方法；并指出初中數(shù)學教學中滲透集合觀念應把握好度。

關(guān)鍵詞：集合觀念初中數(shù)學教學途徑

一、問題提出

集合是“刻畫一類事物的語言與工具”，能“簡潔、準確地表述數(shù)學的研究對象”；集合是一種數(shù)學思想和思維方法，能清晰地描述事物的屬性與它們之間的關(guān)系，解釋數(shù)學問題。集合論已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學的重要基礎(chǔ)，對數(shù)學的學習、研究和發(fā)展有著不可替代的重要作用。

在初中數(shù)學教學中適度滲透集合觀念，對于培養(yǎng)學生符號表達能力、抽象思維能力和數(shù)學認知、解題能力，幫助學生形成正確的認識觀和方法論等，具有積極的意義；而且根據(jù)螺旋上升的認知規(guī)律，可以為學生在高中數(shù)學課程中系統(tǒng)學習集合知識做好鋪墊（減少障礙）。

然而，在初中數(shù)學教學中滲透集合觀念的現(xiàn)狀不容樂觀，很多與集合觀念相關(guān)的問題測試結(jié)果都不盡人意。

比如，2014年江蘇省義務(wù)教育學業(yè)水平監(jiān)測的一道數(shù)學試題：

為了說明各種三角形之間的關(guān)系，小明畫了如下的結(jié)構(gòu)圖（如圖1）。請你采用適當?shù)姆绞秸f明下述幾個概念之間的關(guān)系：

正方形、四邊形、梯形、平行四邊形、菱形、矩形。

此題旨在讓學生通過類比三角形的分類方法，對四邊形進行分類，將每一類圖形看成一個集合，利用韋恩圖表示這些集合之間的關(guān)系，考查了幾種特殊的四邊形之間的關(guān)系和集合觀念。從全省測試結(jié)果來看，能通過描述或畫圖正確表示圖形關(guān)系的人數(shù)只占

37.8%；得0分的人數(shù)占比高達61.8%，其中不能辨別圖形之間關(guān)系得0分的占13.3%，其他錯誤答案得0分的占39.1%，未作答的占9.2%，讓人難以置信。

又如，2017年泰州市中考的一道數(shù)學試題：

平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（m+1，m-1）。

（1）試判斷點P是否在一次函數(shù)y=x-2的圖像上，并說明理由；

（2）如圖2，一次函數(shù)y=-12x+3的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，若點P在△AOB的內(nèi)部，求m的取值范圍。

此題處于試卷的中間位置（共10道解答題的第4道），實測得分率僅為51.1%，

學生失分主要在第（2）問，

出乎命題者的預料。其實，只要有一點集合常識（交集思想），這一問便迎刃而解。點P在一次函數(shù)y=x-2的圖像上，又在△AOB內(nèi)部，即點P在直線y=x-2在△AOB內(nèi)部的線段（不包括端點A、B）上。用集合的觀點思考，點P既屬于坐標滿足一次函數(shù)y=x-2的點的集合，又屬于一次函數(shù)y=-12x+3的圖像與x軸、y軸圍成的三角形內(nèi)的點的集合，故滿足條件的點實質(zhì)上在兩個集合的交集中。因此，只要分別求出一次函數(shù)y=x-2的圖像與x軸、一次函數(shù)y=-12x+3的圖像的交點橫坐標2和103，即有2

這一現(xiàn)象引起了筆者的關(guān)注與思考：現(xiàn)行的義務(wù)教育階段數(shù)學教材中與集合相關(guān)的內(nèi)容有哪些？造成學生集合觀念淡薄的原因何在？初中數(shù)學教學中如何滲透集合觀念？初中數(shù)學教學中如何把握好滲透集合觀念的度？

二、問題分析

（一）現(xiàn)行的義務(wù)教育階段數(shù)學教材中與集合相關(guān)的內(nèi)容有哪些？

雖然專門的集合知識最早出現(xiàn)在高中階段的數(shù)學教材中，但是集合的語言、工具、思想、方法等觀念已經(jīng)滲透在義務(wù)教育階段的數(shù)學教材中，可以說伴隨著學生數(shù)學學習的全過程。

1.小學數(shù)學教材中與集合相關(guān)的內(nèi)容。

有些小學數(shù)學教材中直接安排了以集合為主題的內(nèi)容。比如人教版小學數(shù)學三年級上冊第九單元《數(shù)學廣角——集合》，其中安排了這樣的例題：“下面（表1）是三（1）班參加跳繩、踢毽比賽的學生名單。參加這兩項比賽的共有多少人？”試圖引導學生：（1）在具體情境中感受集合的思想，感知集合圈的產(chǎn)生過程；（2）滲透多種方法解決重疊問題的意識，重點突破對“重疊部分”的理解；（3）能夠借助直觀圖，利用集合的思想，解決簡單的實際問題，進一步體會集合的思想。學生只要畫出如圖3所示的韋恩圖，就能解決問題。

此外，小學數(shù)學教材中有很多可以滲透集合觀念的內(nèi)容。比如，最大公約數(shù)，分數(shù)與真分數(shù)、假分數(shù)，方程與等式，自然數(shù)與奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、合數(shù)，三角形與直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等都可以通過集合的觀點加深對它們之間聯(lián)系與區(qū)別的理解。

2.初中數(shù)學教材中與集合相關(guān)的內(nèi)容。

初中數(shù)學教材中與集合有關(guān)的內(nèi)容比比皆是。下面，以蘇科版初中數(shù)學教材為例來說明。

在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，七年級上冊第2章《有理數(shù)》和八年級上冊第4章《實數(shù)》中都設(shè)置了“把下列各數(shù)填入相應的集合內(nèi)”的問題，這些集合有的用橢圓圈（內(nèi)有省略號）表示，也有的用大括號（內(nèi)有省略號）表示；七年級下冊第11章《一元一次不等式》中明確提出不等式和不等式組的解集概念，即“一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集”，“不等式組中所有不等式的解集的公共部分叫作這個不等式組的解集”，這里集合、交集思想呼之欲出；八年級上冊第5章《平面直角坐標系》中給出的由坐標（2，-3）確定點的方法是畫出“在y軸右側(cè)且到y(tǒng)軸距離為2的一條直線”和“在x軸下方且到x軸距離為3的一條直線”，得到它們的交點，這里同樣滲透了交集思想；此外，教材中求兩個一次函數(shù)圖像的交點坐標、求二次函數(shù)圖像與坐標軸的交點坐標等問題的研究，都體現(xiàn)了交集思想的運用。

在“空間與圖形”領(lǐng)域，與集合有關(guān)的內(nèi)容可以分為三類：（1）用集合語言描述圖形。比如，八年級上冊第2章《軸對稱圖形》中這樣定義線段的垂直平分線：“線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合”；九年級上冊第2章《對稱圖形——圓》中這樣定義圓：“圓是到定點距離等于定長的點的集合”。（2）用集合方法解決問題。比如，八年級上冊第2章《軸對稱圖形》中有這樣的可以用集合方法解決的練習：“要在公路旁設(shè)一個公共汽車站，設(shè)在什么地方，才能使A、B兩村莊到車站的距離相等？直線l外有兩點A、B，若要在l上找一點，使這點與點A、B的距離相等，這樣的點一定能找到嗎？請你畫圖表示各種可能的情況”；九年級上冊第2章《對稱圖形——圓》中有這樣的可以用集合方法解決的練習：“線段PQ=2 cm，到點P的距離等于1 cm且到點Q的距離等于1.5 cm的點有幾個？在圖中將它們表示出來。到點P的距離小于或等于1 cm且到點Q的距離大于或等于1.5 cm的點的集合是怎樣的圖形？也在圖中將它表示出來”。（3）用交集思想分析尺規(guī)作圖思路。比如，七年級上冊第6章《平面圖形的認識（一）》中的“作一個角等于已知角”，八年級上冊第1章《全等三角形》中的“作一個三角形與已知三角形全等”“作角的平分線”，第2章《軸對稱圖形》中的“作線段的垂直平分線”，九年級上冊第2章《對稱圖形——圓》中的“作三角形的外接圓”“作三角形的內(nèi)切圓或旁切圓”等，都可以用交集思想準確快捷地分析解決。

（二）造成學生集合觀念淡薄的原因何在？

一方面，課標沒有安排涉及集合的內(nèi)容，甚至全文沒有提到“集合”這個名詞；同時，教材雖然出現(xiàn)了不少與集合有關(guān)的內(nèi)容，但是對“什么是集合”只字未提，因而安排得不連貫、不銜接，使學生毫無認知準備。另一方面，雖然初中數(shù)學中集合的“影子”無處不在，但是不少教師對其內(nèi)涵理解不到位；同時，不少教師對集合觀念的價值缺乏清醒的認識，認為課標和教材沒有明確要求，就沒有必要講。

三、問題解決

（一）初中數(shù)學教學中如何滲透集合觀念？

初中數(shù)學教材中與集合相關(guān)的內(nèi)容為教師在

教學中滲透集合觀念提供了大量的素材。由此，教師應該抓住概念建構(gòu)、結(jié)論探究、問題解決等教學環(huán)節(jié)落實簡單的集合與集合的關(guān)系、元素與集合的關(guān)系、交集的思想等集合觀念的滲透。

1.在建構(gòu)概念時滲透集合觀念。

概念的基本要素是內(nèi)涵和外延。相應地，明確概念的主要方法是定義（內(nèi)涵或同位概念）和劃分（外延或下位概念）。初中數(shù)學教學中，教師要注意引導學生理解概念定義中的集合語言，把握概念劃分中的集合思想，從而幫助學生建構(gòu)概念，增強學生概括事物本質(zhì)、發(fā)掘事物聯(lián)系的能力。

比如，蘇科版初中數(shù)學八年級上冊第2章《軸對稱圖形》中這樣定義線段的垂直平分線：“線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合?！边@是學生第一次接觸概念定義中的集合語言。教學中，教師要幫助學生理解它的含義：（1）滿足一定條件的點的集合構(gòu)成圖形，這個條件是“到線段兩端的距離相等”，這個圖形叫“線段的垂直平分線”；（2）“條件”和“圖形”之間滿足純粹性（無混珠之目）和完備性（無漏網(wǎng)之魚），即在“圖形”上的點都滿足“條件”，滿足“條件”的點都在“圖形”上。教師還可以畫出如圖4所示的圖形，讓學生結(jié)合上述含義，判斷圖形l是不是到線段AB兩端距離相等的點的集合。學生不難發(fā)現(xiàn)：在圖形l上的點不都滿足條件，如在圖中的曲線上任取一點P，顯然PA≠PB；滿足條件的點不都在圖形l上，如在圖中的虛線上任取一點Q，顯然QA=QB。通過正反兩個方面的例子，學生自然能理解上述集合語言的含義。

類似地，函數(shù)的圖像等概念的定義也可以這樣教學。

又如，蘇科版初中數(shù)學七年級上冊第2章《有理數(shù)》中用這樣兩道習題引導學生劃分有理數(shù)：（1）把下列各數(shù)填入相應的集合（如圖5）內(nèi)：+5，-7.25，-34，0，+125，0.32，-12。（2）按要求在下列大括號中各寫幾個數(shù)：正數(shù)集合{…}；負數(shù)集合{…}。這是學生第一次接觸概念劃分中的集合思想。首先，學生會對集合的表示產(chǎn)生一些困惑：（1）為什么有時用橢圓，有時用大括號？（2）為什么在橢圓或大括號后面要加省略號？因此教學中，教師不能滿足于學生能正確填寫相應的數(shù)，而要進一步讓學生明白：（1）集合既可以用橢圓表示，也可以用大括號表示；它們的本質(zhì)是一樣的，都表示某一類對象的全體。（2）集合中的元素可以是有限個，也可以有無限個；這里，正數(shù)的全體和負數(shù)的全體都有無限個，因此對應的集合所含的元素也有無限個，而橢圓或大括號中能填入的數(shù)是有限的，所以后面要加省略號表示列舉未完（不完）。其次，學生會對有理數(shù)概念的劃分以及相關(guān)下位、上位概念的關(guān)系產(chǎn)生好奇。因此教學中，教師可以引導學生將正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)等相關(guān)概念分別看成集合，厘清它們之間的關(guān)系，并用相應的圖表（結(jié)構(gòu)圖、序列圖等）表示出來，從而滲透集合的思想，幫助學生對概念的分類、集合的表示、概念與集合之間的關(guān)系等問題形成比較清晰的認識。

類似地，四邊形、相似、函數(shù)等比較上位的概念的分類也可以這樣教學。

2.在探究結(jié)論時運用集合工具。

在初中數(shù)學教學中，運用交集工具探究結(jié)論是一種行之有效的方法。

比如，教學“尺規(guī)作圖：三角形的外接圓”時，可以啟發(fā)學生分析：設(shè)圓心為O，則有OA=OB=OC，在圓心沒有確定之前可以理解為圓心O是動態(tài)的；將OA=OB與OB=OC分別思考，可知滿足OA=OB的點的集合是AB的垂直平分線（如圖6中的①），滿足OB=OC的點的集合是BC的垂直平分線（如圖6中的②）；于是，同時滿足OA=OB與OB=OC的點的集合一定是兩個集合的交集，即兩條垂直平分線的交點（如圖6中的③）；這樣，只要以點O為圓心、OA長為半徑畫圓（如圖6中的④），問題就得以解決。由此，適當滲透交集的思想和分析方法。當然，這其實是交軌法作圖，但是，教學中不必提及這個名詞。

3.在解決問題時嘗試集合方法。

在初中數(shù)學教學中，有些問題運用集合方法處理可以達到事半功倍的效果。

比如：某班共有50名學生，其中參加書法社團的人數(shù)是全班人數(shù)的35，參加舞蹈社團的人數(shù)比參加書法社團的少5人，兩個社團都參加的人數(shù)是兩個社團都不參加的2倍，問兩個社團都參加和兩個社團都不參加的學生各多少人？

解決此題可以利用韋恩圖以形助數(shù)，將幾種對象以及它們之間的關(guān)系區(qū)分得一清二楚。記全班學生組成的集合為U，參加書法社團的學生全體組成的集合為A，參加舞蹈社團的學生全體組成的集合為B。由題意，參加書法社團的人數(shù)為50×35=30，參加舞蹈社團的人數(shù)為30-5=25；設(shè)兩個社團都不參加的人數(shù)為x，則兩個社團都參加的人數(shù)為2x。畫出韋恩圖，如圖7，可得數(shù)量關(guān)系，即（30-2x）+（25-2x）+x+2x=50，解得x=5，2x=10，所以兩個社團都參加和兩個社團都不參加的學生分別是10人、5人。

又如：如圖8，在平面直角坐標系xOy中，x軸為一條國道，AB為一段高速公路，A、B兩點的坐標分別為（8，4）、（12，7）（單位為千米）?，F(xiàn)AB路段因車禍而發(fā)生毒氣泄漏，方圓6千米范圍內(nèi)有危險；為確保安全，要將國道封閉，問應該封閉多長的路段？

從集合的觀點看，應該封閉的路段是“到線段AB

的距離不超過6千米”的點的集合與x軸（即“縱坐標為0”的點的集合）的交集。于是，解決此題關(guān)鍵是表示出“到線段AB的距離不超過6千米”的點的集合：分別以A、B為圓心、6為半徑畫⊙A、⊙B，并作兩個圓的公切線，形成一個封閉圖形，如圖9。由此，所求的交集就是x軸與封閉圖形的兩個交點P1、P2之間的所有點（包括P1、P2）組成的集合?？梢郧蟮肙P1=8-25，OP2=383，故P1P2= OP2-OP1=143+25，即應該封閉的路段長143+25千米。

（二）初中數(shù)學教學中如何把握好滲透集合觀念的度？

作為高中數(shù)學課程中教學更為抽象的集合概念（定義和分類）、符號化表示和簡單運算的初步鋪墊，初中數(shù)學教學中滲透集合觀念要把握好教學的“度”，不可超越課標和教材的要求以及學生的認知水平。初中數(shù)學教學中滲透集合觀念應主要體現(xiàn)在四個方面：一是初步了解集合的簡單表示方法（橢圓圈和大括號）及其意義；二是用集合圖將研究對象簡單分類；三是用韋恩圖解決相關(guān)簡單問題；四是用交集的方法對基本尺規(guī)作圖等問題進行分析。

參考文獻：

[1] 彭漪漣，余式厚.寫給中學生的邏輯學[M].北京：北京大學出版社，2010.